EGMO 2018/6

#1

(α) Αποδείξτε πως για κάθε πραγματικό αριθμό

τέτοιο ώστε $0 < t < \frac{1}{2}$ , υπάρχει ένας θετικός ακέραιος

με την ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε σύνολο

που αποτελείται από

θετικούς ακεραίους, υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία x, y

του

και ένας μη αρνητικός ακέραιος

(δηλαδή $m \geqslant 0$ ), ώστε

$\displaystyle |x - my| \leqslant ty$

(β) Εξετάστε εάν για κάθε πραγματικό αριθμό

τέτοιο ώστε $0 < t < \frac{1}{2}$ , υπάρχει ένα άπειρο σύνολο

θετικών ακεραίων ώστε

$\displaystyle |x - my| > ty$

για κάθε ζευγάρι διαφορετικών στοιχείων x, y

του

και για κάθε θετικό ακέραιο

(δηλαδή

).

#2

(α) Παίρνω

αρκετά μεγάλο το οποίο θα καθοριστεί αργότερα. (Θα εξαρτάται από το

.)

Έστω σύνολο

με

στοιχεία, και έστω $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ τα στοιχεία του

. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι |x_2 - x_1| > tx_1

αφού σε διαφορετική περίπτωση το ζητούμενο αποδείχθηκε. Άρα x_2/x_1 > 1+t

ή

. Η δεύτερη περίπτωση απορρίπτεται αφού x_2 > x_1

. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι x_2 > (1+t)x_1

. Ομοίως μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x_{k+1} > (1+t)x_k$ για κάθε $k \in \{1,2,\ldots,n-1\}$ .

Επαγωγικά έχουμε $x_n > (1+t)^{n-1} x_i \geqslant (1 + (n-1)t)x_1$ χρησιμοποιώντας και την ανισότητα Bernoulli. Τότε όμως

$\displaystyle |x_1 - 0x_n| < \frac{x_n}{1+(n-1)t} \leqslant tx_n$

Η τελευταία ανισότητα ισχύει όταν $t + (n-1)t^2 \geqslant 1$ . Αυτό μπορεί να επιτευχθεί για

αρκετά μεγάλο. (Π.χ. για n = 1 + 1/t^2

.

(β) Θα δείξω ότι γίνεται. Θα επιλέγω τα στοιχεία του

ένα προς ένα. Θα ζητώ επιπλέον να έχουν τις εξής ιδιότητες.
(1) Όλα τα στοιχεία του να είναι πρώτοι.
(2) Κάθε στοιχείο του να είναι μεγαλύτερο από 3/(1-2t)

Έστω ότι έχω ήδη επιλέξει τα στοιχεία $p_1,\ldots,p_n$ ώστε να ικανοποιούνται τα (1) και (2). Για κάθε στοιχείο p_i

που έχω ήδη επιλέξει, υπάρχει πραγματικός r_i

με

και

ακέραιος σχετικά πρώτος με τον

. Αυτό ισχύει επειδή

$\displaystyle (1-t)p_i - tp_i = (1-2t)p_i > 3$

από το (2). Άρα στο διάστημα [p_i,(1-t)p_i]

υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερις διαδοχικοί ακέραιοι. Οι δύο είναι στο εσωτερικό και τουλάχιστον ο ένας, έστω ο n_i

, δεν είναι πολλαπλάσιο του

. Τότε μπορώ να πάρω r_i = n_i/p_i

.

Ισχυρίζομαι ότι για κάθε

στο σύνολο $P_i = \{kp_i + n_i: k \in \mathbb{N}\}$ ισχύει η ανισότητα |x-mp_i| > tp_i

για κάθε θετικό ακέραιο

. Πράγματι αυτή είναι ισοδύναμη με την |(k-m+r_i)p_i| > tp_i

, δηλαδή με την |k-m+r_i| > t

το οποίο ισχύει αφού t < r_i < 1-t

.

Προφανώς ισχύει και η ανισότητα |p_i-my| > ty

για κάθε

στο σύνολο P_i

, αφού $\displaystyle (1-t)y \geqslant (1-t)r_ip_i > \frac{1-t}{t}p_i > p_i.$

Αν λοιπόν τα $P_1,\ldots,P_n$ έχουν τουλάχιστον ένα κοινό στοιχείο το οποίο είναι πρώτος μεγαλύτερος του 3/(1-2t)

τότε μπορώ να πάρω αυτό το στοιχείο ως το $p_{n+1}$ .

Όμως η τομή των P_i

είναι μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά $d=p_1\cdots p_n$ και πρώτο όρο σχετικά πρώτο με κάθε p_i

. Από το θεώρημα Dirichlet η τομή των P_i

έχει άπειρους πρώτους. Άρα μπορώ να επιλέξω τον ζητούμενο πρώτο.

Προχωρώντας επαγωγικά μπορώ να κάνω το σύνολο

άπειρο.

EGMO 2018/6

EGMO 2018/6

Re: EGMO 2018/6

Μέλη σε σύνδεση