Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018 (8η τάξη)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018 (8η τάξη)
[b][i]Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη.[/i][/b]
[b]1.[/b] Σε κύκλο κάθονται άτομα μερικοί από τους οποίους είναι ντόμπροι και οι υπόλοιποι ψεύτες. Ο Αντώνης ρώτησε τον καθένα τους: «Από τα γειτονικά σου άτομα πόσοι είναι ψεύτες;» και άθροισε τους αριθμούς που προέκυψαν. Ύστερα η Άννα έκανε το ίδιο. Απαντώντας στην ερώτηση, οι ντόμπροι λένε πάντα την αλήθεια και οι ψεύτες πάντα ψέματα, αλλά μόνο τους αριθμούς , ή . Θα μπορούσε άραγε το άθροισμα των αριθμών του Αντώνη να είναι κατά μεγαλύτερο, αυτού της Άννας;
[b]2.[/b] Στο εσωτερικό της γωνίας , ίσης με , δίνεται σημείο , τέτοιο ώστε και . Στο τμήμα διαλέγεται σημείο έτσι, ώστε . Να αποδείξετε, ότι .
[b]3.[/b] Ο Βασίλης τοποθέτησε σε όλα τα κελιά ενός πίνακα τους αριθμούς από το έως το από μία φορά. Ο Πέτρος διαλέγει ένα κελί του πίνακα, τοποθετεί σε αυτό ένα πιόνι και θέλει να κάνει όσο το δυνατόν περισσότερες κινήσεις έτσι, ώστε ο αριθμός υπό το πιόνι συνεχώς να αυξάνεται. Με μια κίνηση ο Πέτρος μπορεί να μετακινήσει το πιόνι σε οποιοδήποτε κελί ενός τετραγώνου με κέντρο το κελί της τρέχουσας θέσης του πιονιού (το πιόνι θα πρέπει να παραμένει στα όρια του πίνακα με αυτές τις κινήσεις). Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός κινήσεων που εγγυημένα μπορεί να κάνει ο Πέτρος, ανεξάρτητα από το πως θα τοποθετήσει τους αριθμούς ο Βασίλης.
[b]4.[/b] Στον πίνακα είναι γραμμένος θετικός ακέραιος αριθμός. Κάθε λεπτό στον αριθμό του πίνακα προστίθεται το άθροισμα των πρώτων ψηφίων του. Να αποδείξετε, ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα τρεις συνεχόμενες φορές θα εμφανιστεί αριθμός που δεν διαιρείτε με το .
[b]Καταληκτική αίθουσα[/b]
[b]5.[/b] Στο κυρτό τετράπλευρο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , , και . Να βρείτε την γωνία .
[b]6.[/b] Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να δείξετε, ότι
[b]7.[/b] Μια χώρα έχει πόλεις, μερικά ζεύγη πόλεων είναι συνδεδεμένα με δρόμο, εξάλλου από κάθε πόλη μπορούμε να μεταβούμε μέσο δρόμων σε οποιαδήποτε άλλη. Για οποιεσδήποτε δυο πόλεις και που συνδέονται με δρόμο θα βρεθούν άλλες δυο και τέτοιες, ώστε οποιεσδήποτε δυο εκ των τεσσάρων αυτών πόλεων να συνδέονται με δρόμο. Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να κλείσουμε για έργα μερικούς δρόμους έτσι, ώστε το πλήθος των πόλεων από τις οποίες εξέρχονται ακριβώς δυο δρόμοι, να γίνει μικρότερο του , και σε αυτήν την περίπτωση μεταξύ δυο οποιονδήποτε πόλεων να μείνει μοναδική διαδρομή, που δεν διέρχεται δυο φορές από τον ίδιο δρόμο.
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη.[/i][/b]
[b]1.[/b] Σε κύκλο κάθονται άτομα μερικοί από τους οποίους είναι ντόμπροι και οι υπόλοιποι ψεύτες. Ο Αντώνης ρώτησε τον καθένα τους: «Από τα γειτονικά σου άτομα πόσοι είναι ψεύτες;» και άθροισε τους αριθμούς που προέκυψαν. Ύστερα η Άννα έκανε το ίδιο. Απαντώντας στην ερώτηση, οι ντόμπροι λένε πάντα την αλήθεια και οι ψεύτες πάντα ψέματα, αλλά μόνο τους αριθμούς , ή . Θα μπορούσε άραγε το άθροισμα των αριθμών του Αντώνη να είναι κατά μεγαλύτερο, αυτού της Άννας;
[b]2.[/b] Στο εσωτερικό της γωνίας , ίσης με , δίνεται σημείο , τέτοιο ώστε και . Στο τμήμα διαλέγεται σημείο έτσι, ώστε . Να αποδείξετε, ότι .
[b]3.[/b] Ο Βασίλης τοποθέτησε σε όλα τα κελιά ενός πίνακα τους αριθμούς από το έως το από μία φορά. Ο Πέτρος διαλέγει ένα κελί του πίνακα, τοποθετεί σε αυτό ένα πιόνι και θέλει να κάνει όσο το δυνατόν περισσότερες κινήσεις έτσι, ώστε ο αριθμός υπό το πιόνι συνεχώς να αυξάνεται. Με μια κίνηση ο Πέτρος μπορεί να μετακινήσει το πιόνι σε οποιοδήποτε κελί ενός τετραγώνου με κέντρο το κελί της τρέχουσας θέσης του πιονιού (το πιόνι θα πρέπει να παραμένει στα όρια του πίνακα με αυτές τις κινήσεις). Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός κινήσεων που εγγυημένα μπορεί να κάνει ο Πέτρος, ανεξάρτητα από το πως θα τοποθετήσει τους αριθμούς ο Βασίλης.
[b]4.[/b] Στον πίνακα είναι γραμμένος θετικός ακέραιος αριθμός. Κάθε λεπτό στον αριθμό του πίνακα προστίθεται το άθροισμα των πρώτων ψηφίων του. Να αποδείξετε, ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα τρεις συνεχόμενες φορές θα εμφανιστεί αριθμός που δεν διαιρείτε με το .
[b]Καταληκτική αίθουσα[/b]
[b]5.[/b] Στο κυρτό τετράπλευρο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , , και . Να βρείτε την γωνία .
[b]6.[/b] Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να δείξετε, ότι
[b]7.[/b] Μια χώρα έχει πόλεις, μερικά ζεύγη πόλεων είναι συνδεδεμένα με δρόμο, εξάλλου από κάθε πόλη μπορούμε να μεταβούμε μέσο δρόμων σε οποιαδήποτε άλλη. Για οποιεσδήποτε δυο πόλεις και που συνδέονται με δρόμο θα βρεθούν άλλες δυο και τέτοιες, ώστε οποιεσδήποτε δυο εκ των τεσσάρων αυτών πόλεων να συνδέονται με δρόμο. Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να κλείσουμε για έργα μερικούς δρόμους έτσι, ώστε το πλήθος των πόλεων από τις οποίες εξέρχονται ακριβώς δυο δρόμοι, να γίνει μικρότερο του , και σε αυτήν την περίπτωση μεταξύ δυο οποιονδήποτε πόλεων να μείνει μοναδική διαδρομή, που δεν διέρχεται δυο φορές από τον ίδιο δρόμο.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Ιαν 02, 2022 9:52 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
Απλά τοποθετώ το σχήμα και το συμπέρασμα , για να ασχοληθούν οι νεώτεροι και αργότερα αν χρειαστεί " ανοίγουμε " πλήρως τη λύση :Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Απρ 25, 2018 10:19 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη.
Καταληκτική αίθουσα
5. Στο κυρτό τετράπλευρο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , , και . Να βρείτε την γωνία .
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
Ρε μάγκες, δώστε καμιά βοήθεια εδώ.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Απρ 25, 2018 10:19 pm
6. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να δείξετε, ότι
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
Προσωπικά δεν έχω λύση. Κάποιοι όμως, κατά ευχάριστη έκπληξη αντιγράφουν το . Κάποιες ιδέες στο σύνδεσμο σε απόκρυψηqwerty έγραψε: ↑Δευ Μάιος 21, 2018 7:37 pmΡε μάγκες, δώστε καμιά βοήθεια εδώ.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Απρ 25, 2018 10:19 pm
6. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να δείξετε, ότι
Για την ιστορία το πρόβλημα αυτό δυσκόλεψε αρκετά τους μαθητές αφού το έλυσε μόνο ένας, μάλιστα μαθητής της 7ης τάξης. Επίσης το 7ο πρόβλημα δεν κατάφερε να το λύσει κανείς.
Πάντως λόγο τάξης υποψιάζομαι θα υπάρχει κατι έξυπνο που θα χρειάζεται μόνο την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου. Περιμένουμε ...
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
Τις λύσεις που έχει στο AOPS δεν μπορώ να τις καταλάβω πλήρως, τα πετάν όλα έτσι, πχ στην τελευταία λύση δεν μπορώ να καταλάβω πώς εφαρμόζει την ανισότητα των δυνάμεων, επίσης στην πρώτη λύση ποια είναι η tagent line method ?
Σε μια άλλη ενδιάμεση λύση κάποιος καταλήγει σε ανισότητα που θεωρεί οτι ισχύει χωρίς να την αποδεικνύει.
Έχουν ανεβάσει οι διοργανωτές του διαγωνισμού επίσημες λύσεις ;;;
Σε μια άλλη ενδιάμεση λύση κάποιος καταλήγει σε ανισότητα που θεωρεί οτι ισχύει χωρίς να την αποδεικνύει.
Έχουν ανεβάσει οι διοργανωτές του διαγωνισμού επίσημες λύσεις ;;;
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
Θα αποδειχθεί η βέλτιστη ανισότητα .qwerty έγραψε: ↑Δευ Μάιος 21, 2018 7:37 pmΡε μάγκες, δώστε καμιά βοήθεια εδώ.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Απρ 25, 2018 10:19 pm
6. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να δείξετε, ότι
Από C-S. . Επίσης, .
Άρα, το πρώτο κλάσμα είναι από .
Επομένως, , και αρκεί
(*).
Θα βρούμε ώστε (1), για κάθε .
Η ισότητα στην αρχική ανισότητα ισχύει για , άρα και στην (1), η ισότητα θέλουμε να ισχύει για .
Τώρα, δοκιμάζοντας τιμές ( ) βρίσκουμε ότι για η (1) γράφεται , που ισχύει.
Άρα, εφαρμόζοντας την για διαδοχικά και προσθέτοντας κατά μέλη, .
Η ισότητα, για .
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Δευ Μάιος 21, 2018 10:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
Για την μέθοδο της εφαπτομένης υπάρχουν θυμάμαι δημοσιεύσεις και εδώ στο αλλά δε της βρίσκω. Με μια μικρή αναζήτηση βρήκα αυτά που θα βοηθήσουν στην κατανόησή τηςqwerty έγραψε: ↑Δευ Μάιος 21, 2018 9:39 pmΤις λύσεις που έχει στο AOPS δεν μπορώ να τις καταλάβω πλήρως, τα πετάν όλα έτσι, πχ στην τελευταία λύση δεν μπορώ να καταλάβω πώς εφαρμόζει την ανισότητα των δυνάμεων, επίσης στην πρώτη λύση ποια είναι η tagent line method ?
Σε μια άλλη ενδιάμεση λύση κάποιος καταλήγει σε ανισότητα που θεωρεί οτι ισχύει χωρίς να την αποδεικνύει.
Έχουν ανεβάσει οι διοργανωτές του διαγωνισμού επίσημες λύσεις ;;;
https://arxiv.org/pdf/1412.5413.pdf
https://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n5.pdf
Την λύση με την ανισότητα δυνάμεων δεν την έχω κοιτάξει είναι η αλήθεια. Επίσημες λύσεις της ολυμπιάδας της Πετρούπολης δημοσιεύονται την επόμενη χρονιά σε βιβλίο με τα θέματα και λύσεις των δυο φάσεων,θέματα και λύσεις της ολυμπιάδας του φυσικό-μαθηματικού λυκείου 239, θέματα και λύσεις της τρέχουσας ολυμπιάδας Tyumaada καθώς και ένα δυο άρθρα γενικεύσεις, θεωρία με αφορμή κάποιο θέμα. (σε αντιθέση με της Μόσχας π.χ που οι λύσεις δημοσιεύονται με το πέρας της ολυμπιάδας, για τις μικρές τάξεις και σε βίντεο από αμφιθέατρο).
Πιστεύω μια από τις επίσημες λύσεις θα είναι με την μέθοδο της εφαπτομένης, αλλά η πρώτη μόνο με ανισότητα Α-Γ μέσου.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τρί Μάιος 22, 2018 2:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
[quote=Al.Koutsouridis post_id=298184 time=1524683986 user_id=11448]
[b]6.[/b] Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να δείξετε, ότι
[/quote]
Είναι
,
αφού
Απομένει να αποδειχθεί ότι
Αυτό είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας Jensen στην κυρτή συνάρτηση :
[b]6.[/b] Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να δείξετε, ότι
[/quote]
Είναι
,
αφού
Απομένει να αποδειχθεί ότι
Αυτό είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας Jensen στην κυρτή συνάρτηση :
τελευταία επεξεργασία από matha σε Τρί Μάιος 22, 2018 2:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση πράξης.
Λόγος: Διόρθωση πράξης.
Μάγκος Θάνος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
Φέρνουμε τους κύκλους , που τέμνονται στο .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Απρ 25, 2018 10:19 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη.
2. Στο εσωτερικό της γωνίας , ίσης με , δίνεται σημείο , τέτοιο ώστε και . Στο τμήμα διαλέγεται σημείο έτσι, ώστε . Να αποδείξετε, ότι .
Προφανώς, .
Επομένως, και τα τρίγωνα είναι ίσα (), άρα .
Άρα, , όπου στο τέλος χρησιμοποιήθηκε η τριγωνική ανισότητα στο .
Η ισότητα ισχύει όταν το είναι πάνω στην .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
Έχεις δίκιο. Έκανα λάθος στην πράξη. Κάνω τη διόρθωση. Ωστόσο, η απόδειξη κυλάει κανονικά.
Μάγκος Θάνος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Απρ 25, 2018 10:19 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη.
6. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να δείξετε, ότι
Μπορούμε να αποφύγουμε Jensen / Μέθοδο εφαπτομένης ως εξής:
Είναι
όπου θέσαμε . Είναι θετικοί με .
Παρατηρούμε τώρα ότι αν τότε:
και άρα και
και άρα .
Οπότε από την ανισότητα Chebyshev έχουμε
Αλλά οπότε
Επίσης (*):
και
Επειδή , παίρνουμε ότι και
Βάζοντας τα όλα μαζί παίρνουμε ότι το αρχικό άθροισμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο από
(*) Εδώ θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και Holder αντί των δύο Cauchy-Schwarz.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης (ΦΙΙ τάξη 8)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Απρ 25, 2018 10:19 pmΜαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη.
6. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να δείξετε, ότι
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Δευ Μάιος 21, 2018 8:28 pm
Για την ιστορία το πρόβλημα αυτό δυσκόλεψε αρκετά τους μαθητές αφού το έλυσε μόνο ένας, μάλιστα μαθητής της 7ης τάξης. Επίσης το 7ο πρόβλημα δεν κατάφερε να το λύσει κανείς.
Πάντως λόγο τάξης υποψιάζομαι θα υπάρχει κατι έξυπνο που θα χρειάζεται μόνο την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου. Περιμένουμε ...
Πράγματι, η επίσημη λύση σε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιεί μόνο την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, την οποία και μεταφέρω παρακάτω:
"Παρατηρούμε, ότι . Οπότε
,
ομοίως δουλεύουμε και για τα υπόλοιπα κλάσματα. Εφαρμόζοντας στα τέσσερα νέα κλάσματα την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου, λαμβάνουμε το ζητούμενο."
Επίσης, δίνονται άλλες δυο λύσεις η μία με την μέθοδο Sturm και η άλλη με κυρτότητα, παρόμοια με τις λύσεις δόθηκαν παραπάνω.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: andrei.eckstein και 17 επισκέπτες