Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Πρόβλημα 1
Βρείτε όλες τις πραγματικές τιμές των , έτσι ώστε:
Πρόβλημα 2
Κάποιος έγραψε σε χαρτάκια από έναν διαφορετικό ακέραιο αριθμό από το μέχρι και το . Στη συνέχεια, ανακάτεψε τα χαρτάκια και τα έβαλε σε φακέλους, έτσι ώστε ο κάθε φάκελος να περιέχει χαρτάκια. Τέλος, έγραψε σε κάθε φάκελο την απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που περιέχει. Αν το τελευταίο ψηφίο των αριθμών που αναγράφονται στους φακέλους είναι μόνο και , να υπολογίσετε το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος των αριθμών που είναι αναγραμμένοι στους φακέλους.
Πρόβλημα 3
Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο . Φέρουμε από το σημείο ευθεία κάθετη προς την ευθεία και από το σημείο ευθεία κάθετη προς την ευθεία . Έστω το σημείο τομής των ευθειών . Αν ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα τέμνει την ευθεία στο σημείο και την ευθεία στο σημείο , αποδείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο .
Πρόβλημα 4
Δίνονται δύο σημεία στο επίπεδο και ένας πραγματικός αριθμός , όπου . Παίζουμε το εξής παιγνίδι:
Σε κάθε βήμα επιλέγουμε ένα από τα δύο σημεία, και το περιστρέφουμε αριστερόστροφα κατά γωνία γύρω από το άλλο σημείο.
Για να κερδίσουμε το παιχνίδι, θα πρέπει να καταφέρουμε να ανταλλάξουμε τις αρχικές θέσεις των δύο σημείων.
(α) Αν , να αποδείξετε ότι δεν μπορούμε να κερδίσουμε το παιχνίδι.
(β) Να εξετάσετε αν υπάρχει , για το οποίο μπορούμε να κερδίσουμε το παιχνίδι, περιγράφοντας με σαφήνεια την σκέψη σας.
Βρείτε όλες τις πραγματικές τιμές των , έτσι ώστε:
Πρόβλημα 2
Κάποιος έγραψε σε χαρτάκια από έναν διαφορετικό ακέραιο αριθμό από το μέχρι και το . Στη συνέχεια, ανακάτεψε τα χαρτάκια και τα έβαλε σε φακέλους, έτσι ώστε ο κάθε φάκελος να περιέχει χαρτάκια. Τέλος, έγραψε σε κάθε φάκελο την απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που περιέχει. Αν το τελευταίο ψηφίο των αριθμών που αναγράφονται στους φακέλους είναι μόνο και , να υπολογίσετε το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος των αριθμών που είναι αναγραμμένοι στους φακέλους.
Πρόβλημα 3
Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο . Φέρουμε από το σημείο ευθεία κάθετη προς την ευθεία και από το σημείο ευθεία κάθετη προς την ευθεία . Έστω το σημείο τομής των ευθειών . Αν ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα τέμνει την ευθεία στο σημείο και την ευθεία στο σημείο , αποδείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο .
Πρόβλημα 4
Δίνονται δύο σημεία στο επίπεδο και ένας πραγματικός αριθμός , όπου . Παίζουμε το εξής παιγνίδι:
Σε κάθε βήμα επιλέγουμε ένα από τα δύο σημεία, και το περιστρέφουμε αριστερόστροφα κατά γωνία γύρω από το άλλο σημείο.
Για να κερδίσουμε το παιχνίδι, θα πρέπει να καταφέρουμε να ανταλλάξουμε τις αρχικές θέσεις των δύο σημείων.
(α) Αν , να αποδείξετε ότι δεν μπορούμε να κερδίσουμε το παιχνίδι.
(β) Να εξετάσετε αν υπάρχει , για το οποίο μπορούμε να κερδίσουμε το παιχνίδι, περιγράφοντας με σαφήνεια την σκέψη σας.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Αφαιρώ από την πρώτη εξίσωση τη δεύτερη και από τη δεύτερη την τρίτη και έχω:
κι επειδή θα είναι
Αντικαθιστώ αυτή τη σχέση στη η εξίσωση και είναι:
Έχουμε λοιπόν τις τριάδες
Τέλος αντικαθιστώντας σε μία από τις άλλες δύο εξισώσεις:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Μία αρχική γρήγορη σκέψη (άρα και πιθανές επιφυλάξεις) και επάνοδο για επί πλέον λεπτομέρειες.Soteris έγραψε: ↑Σάβ Απρ 28, 2018 3:29 pmΠρόβλημα 3
Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο . Φέρουμε από το σημείο ευθεία κάθετη προς την ευθεία και από το σημείο ευθεία κάθετη προς την ευθεία . Έστω το σημείο τομής των ευθειών . Αν ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα τέμνει την ευθεία στο σημείο και την ευθεία στο σημείο , αποδείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο .
Άρα
(*) Χρησιμοποιήθηκαν τα εξής: 1ο) Το κατασκευάστηκε παραλληλόγραμμο, 2ο) Τα τρίγωνα είναι όμοια.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Καταρχάς Καλή πρωτομαγιά ... έστω και με επίλυση ασκήσεων, αρκεί βέβαια να τις βλέπουμε ... ως μοσχοβολούντα άνθη.
Απλά και μόνο για διδακτικούς λόγους θα ήθελα να αναφερθώ στην βασική μέθοδο που ακολουθούμε στα ομογενή πολυώνυμα συγκεκριμένου βαθμού ομογένειας (προφανώς τα πρώτα μέλη είναι ομογενή πολυώνυμα δευτέρου βαθμού, ως προς τις μεταβλητές που περιέχουν), όπου αν εκεί έχουμε τις μεταβλητές δεσπόζει η αντικατάσταση με αρχικό στόχο τον προσδιορισμό του Έτσι για αυτόν που γνωρίζει την κλασική αυτή μέθοδο το πρώτο θέμα θα μπορούσε, εκτός της άριστης πράγματι επίλυσης από τον Γιώργο Βισβίκη, να λυθεί και ως εξής:
Θέτουμε Έτσι παίρνουμε ή με απαλοιφή του , παίρνουμε από όπου έχουμε ή (συμπλήρωση για «παραγωγή» ταυτότητας) ή , με χρήση πλέον της οποίας προσδιορίζονται εύκολα οι άρα και οι
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Ωραίο πρόβλημα. Γράφω τη λύση μου.Soteris έγραψε: ↑Σάβ Απρ 28, 2018 3:29 pm
Πρόβλημα 2
Κάποιος έγραψε σε χαρτάκια από έναν διαφορετικό ακέραιο αριθμό από το μέχρι και το . Στη συνέχεια, ανακάτεψε τα χαρτάκια και τα έβαλε σε φακέλους, έτσι ώστε ο κάθε φάκελος να περιέχει χαρτάκια. Τέλος, έγραψε σε κάθε φάκελο την απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που περιέχει. Αν το τελευταίο ψηφίο των αριθμών που αναγράφονται στους φακέλους είναι μόνο και , να υπολογίσετε το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος των αριθμών που είναι αναγραμμένοι στους φακέλους.
Σε κάθε ζεύγος μέσα στον φάκελο υπάρχει ο μεγάλος αριθμός και ο μικρός. Μαζεύουμε τους μεγάλους σε ένα σύνολο και τους μικρούς σε ένα σύνολο . Επομένως αν είναι το άθροισμα όλων των αριθμών που είναι αναγραμμένοι στους φακέλους, τότε
Επομένως αν από τους αναγραφόμενους τελειώνουν σε , τότε τελειώνουν σε .
Οπότε παίρνοντας στην παραπάνω παίρνουμε:
Έπεται ότι περιττός, έστω . Τότε
άρα το το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος των αριθμών που είναι αναγραμμένοι στους φακέλους είναι το .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 13 επισκέπτες