Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Βρείτε όλες τις πραγματικές τιμές των $\displaystyle{a, b, c}$ , έτσι ώστε:
$\displaystyle{\begin{cases} a^2-bc=42 \\ b^2-ac=6 \\ c^2-ab=-30 \end{cases}}$

Πρόβλημα 2

Κάποιος έγραψε σε $\displaystyle{2018}$ χαρτάκια από έναν διαφορετικό ακέραιο αριθμό από το $\displaystyle{1}$ μέχρι και το $\displaystyle{2018}$ . Στη συνέχεια, ανακάτεψε τα χαρτάκια και τα έβαλε σε φακέλους, έτσι ώστε ο κάθε φάκελος να περιέχει $\displaystyle{2}$ χαρτάκια. Τέλος, έγραψε σε κάθε φάκελο την απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που περιέχει. Αν το τελευταίο ψηφίο των αριθμών που αναγράφονται στους φακέλους είναι μόνο $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{6}$ , να υπολογίσετε το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος των αριθμών που είναι αναγραμμένοι στους φακέλους.

Πρόβλημα 3

Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο $\displaystyle{{\rm AB\Gamma\Delta}}$ . Φέρουμε από το σημείο $\displaystyle{{\rm \Gamma}}$ ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ κάθετη προς την ευθεία $\displaystyle{{\rm A\Gamma}}$ και από το σημείο $\displaystyle{{\rm A}}$ ευθεία $\displaystyle{(\delta)}$ κάθετη προς την ευθεία $\displaystyle{{\rm B\Delta}}$ . Έστω $\displaystyle{{\rm P}}$ το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{(\varepsilon), (\delta)}$ . Αν ο κύκλος με κέντρο το σημείο $\displaystyle{{\rm P}}$ και ακτίνα $\displaystyle{{\rm P\Gamma}}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{{\rm B\Gamma}}$ στο σημείο $\displaystyle{{\rm T} ({\rm T}\neq {\rm \Gamma})}$ και την ευθεία $\displaystyle{{\rm \Delta\Gamma}}$ στο σημείο $\displaystyle{{\rm Y ({\rm Y}\neq {\rm \Gamma})}$ , αποδείξτε ότι η ευθεία $\displaystyle{{\rm AT}}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{{\rm Y}}$ .

Πρόβλημα 4

Δίνονται δύο σημεία στο επίπεδο και ένας πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\vartheta}$ , όπου $\displaystyle{0<\vartheta\leqslant \dfrac{\pi}{2}}$ . Παίζουμε το εξής παιγνίδι:

Σε κάθε βήμα επιλέγουμε ένα από τα δύο σημεία, και το περιστρέφουμε αριστερόστροφα κατά γωνία $\displaystyle{\vartheta}$ γύρω από το άλλο σημείο.

Για να κερδίσουμε το παιχνίδι, θα πρέπει να καταφέρουμε να ανταλλάξουμε τις αρχικές θέσεις των δύο σημείων.

(α) Αν $\displaystyle{\vartheta=\frac{\pi}{2}}$ , να αποδείξετε ότι δεν μπορούμε να κερδίσουμε το παιχνίδι.

(β) Να εξετάσετε αν υπάρχει $\displaystyle{\vartheta\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right]}$ , για το οποίο μπορούμε να κερδίσουμε το παιχνίδι, περιγράφοντας με σαφήνεια την σκέψη σας.

#2

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 3:29 pm
Πρόβλημα 1

Βρείτε όλες τις πραγματικές τιμές των $\displaystyle{a, b, c}$ , έτσι ώστε:
$\displaystyle{\begin{cases} a^2-bc=42 \\ b^2-ac=6 \\ c^2-ab=-30 \end{cases}}$

Αφαιρώ από την πρώτη εξίσωση τη δεύτερη και από τη δεύτερη την τρίτη και έχω:

$\displaystyle (a - b)(a + b + c) = 36 = (b - c)(a + b + c),$ κι επειδή $a+b+c\ne 0$ θα είναι $\boxed{c=2b-a}$

Αντικαθιστώ αυτή τη σχέση στη

η εξίσωση και είναι: $\displaystyle {b^2} - 2ab + {a^2} = 6 \Leftrightarrow b = a + \sqrt 6 \vee b = a - \sqrt 6$

Έχουμε λοιπόν τις τριάδες $\displaystyle (a,b,c) = (a,a + \sqrt 6 ,a + 2\sqrt 6 ) \vee (a,a - \sqrt 6 ,a - 2\sqrt 6 )$

Τέλος αντικαθιστώντας σε μία από τις άλλες δύο εξισώσεις: $\boxed{(a,b,c) = ( - 3\sqrt 6 , - 2\sqrt 6 , - \sqrt 6 ) \vee (3\sqrt 6 ,2\sqrt 6 ,\sqrt 6 )}$

S.E.Louridas · #3

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 3:29 pm
Πρόβλημα 3
Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο $\displaystyle{{\rm AB\Gamma\Delta}}$ . Φέρουμε από το σημείο $\displaystyle{{\rm \Gamma}}$ ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ κάθετη προς την ευθεία $\displaystyle{{\rm A\Gamma}}$ και από το σημείο $\displaystyle{{\rm A}}$ ευθεία $\displaystyle{(\delta)}$ κάθετη προς την ευθεία $\displaystyle{{\rm B\Delta}}$ . Έστω $\displaystyle{{\rm P}}$ το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{(\varepsilon), (\delta)}$ . Αν ο κύκλος με κέντρο το σημείο $\displaystyle{{\rm P}}$ και ακτίνα $\displaystyle{{\rm P\Gamma}}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{{\rm B\Gamma}}$ στο σημείο $\displaystyle{{\rm T} ({\rm T}\neq {\rm \Gamma})}$ και την ευθεία $\displaystyle{{\rm \Delta\Gamma}}$ στο σημείο $\displaystyle{{\rm Y ({\rm Y}\neq {\rm \Gamma})}$ , αποδείξτε ότι η ευθεία $\displaystyle{{\rm AT}}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{{\rm Y}}$ .

Μία αρχική γρήγορη σκέψη (άρα και πιθανές επιφυλάξεις) και επάνοδο για επί πλέον λεπτομέρειες.

$BT \cdot BC - DC \cdot DY = B{P^2} - D{P^2} = A{B^2} - A{D^2}.$
Άρα $BC\left( {BT + BC} \right) = AB\left( {AB + DY} \right) \Rightarrow BC \cdot TL = AB \cdot MY \Rightarrow$ $\displaystyle{\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{MY}}{{TL}} \Rightarrow \frac{{CY}}{{TC}} = \frac{{MY}}{{TL}} \Rightarrow T \in YE \Rightarrow T \in AY}.$

(*) Χρησιμοποιήθηκαν τα εξής: 1ο) Το MYLE

κατασκευάστηκε παραλληλόγραμμο, 2ο) Τα τρίγωνα DCA, TCY

είναι όμοια.

: Κυπρος.png (13.17 KiB) Προβλήθηκε 1138 φορές

S.E.Louridas · #4

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 3:29 pm
Πρόβλημα 1
Βρείτε όλες τις πραγματικές τιμές των $\displaystyle{a, b, c}$ , έτσι ώστε:
$\displaystyle{\begin{cases} a^2-bc=42 \\ b^2-ac=6 \\ c^2-ab=-30 \end{cases}}$

Καταρχάς Καλή πρωτομαγιά ... έστω και με επίλυση ασκήσεων, αρκεί βέβαια να τις βλέπουμε ... ως μοσχοβολούντα άνθη.
Απλά και μόνο για διδακτικούς λόγους θα ήθελα να αναφερθώ στην βασική μέθοδο που ακολουθούμε στα ομογενή πολυώνυμα συγκεκριμένου βαθμού ομογένειας (προφανώς τα πρώτα μέλη είναι ομογενή πολυώνυμα δευτέρου βαθμού, ως προς τις μεταβλητές που περιέχουν), όπου αν εκεί έχουμε τις μεταβλητές $x,\;y$ δεσπόζει η αντικατάσταση y = tx

με αρχικό στόχο τον προσδιορισμό του

Έτσι για αυτόν που γνωρίζει την κλασική αυτή μέθοδο το πρώτο θέμα θα μπορούσε, εκτός της άριστης πράγματι επίλυσης από τον Γιώργο Βισβίκη, να λυθεί και ως εξής:

Θέτουμε $a = xb,\;c = yb.$ Έτσι παίρνουμε ${b^2}\left( {{x^2} - y} \right) = 42,\;\,{b^2}\left( {1 - xy} \right) = 6,\,\;{b^2}\left( {{y^2} - x} \right) = - 30$ ή με απαλοιφή του b^2

, παίρνουμε ${x^2} - y + 7xy = 7,\;\,{y^2} - x + 5xy = - 5,$ από όπου έχουμε ${y^2} + {x^2} - y - x + 2xy = 2$ ή ${\left( {y + x - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}$ (συμπλήρωση για «παραγωγή» ταυτότητας) ή $y + x = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$ , με χρήση πλέον της οποίας προσδιορίζονται εύκολα οι $x,\;y,$ άρα και οι $a,\;b.$

#5

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 3:29 pm

Πρόβλημα 2

Κάποιος έγραψε σε $\displaystyle{2018}$ χαρτάκια από έναν διαφορετικό ακέραιο αριθμό από το $\displaystyle{1}$ μέχρι και το $\displaystyle{2018}$ . Στη συνέχεια, ανακάτεψε τα χαρτάκια και τα έβαλε σε φακέλους, έτσι ώστε ο κάθε φάκελος να περιέχει $\displaystyle{2}$ χαρτάκια. Τέλος, έγραψε σε κάθε φάκελο την απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που περιέχει. Αν το τελευταίο ψηφίο των αριθμών που αναγράφονται στους φακέλους είναι μόνο $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{6}$ , να υπολογίσετε το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος των αριθμών που είναι αναγραμμένοι στους φακέλους.

Ωραίο πρόβλημα. Γράφω τη λύση μου.
Σε κάθε ζεύγος μέσα στον φάκελο υπάρχει ο μεγάλος αριθμός και ο μικρός. Μαζεύουμε τους μεγάλους σε ένα σύνολο

και τους μικρούς σε ένα σύνολο

. Επομένως αν

είναι το άθροισμα όλων των αριθμών που είναι αναγραμμένοι στους φακέλους, τότε

$\displaystyle{S=\sum_{x\in A}x -\sum_{y\in B} y=1+2+\ldots+2018-2\left(\sum_{y\in B} y\right).}$

Επομένως αν

από τους αναγραφόμενους τελειώνουν σε

, τότε

τελειώνουν σε

.

Οπότε παίρνοντας $\pmod{10}$ στην παραπάνω παίρνουμε:

$\displaystyle{k+6(1009-k)\equiv S\equiv 1-2\left(\sum_{y\in B} y\right)\pmod{10}}$

Έπεται ότι

περιττός, έστω k=2m+1

. Τότε
$\displaystyle{S\equiv 2m+1+6(1009-2m-1)\equiv 9\pmod{10},}$
άρα το το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος των αριθμών που είναι αναγραμμένοι στους φακέλους είναι το

.

Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018

Μέλη σε σύνδεση