Εννιάδες

#1

Τροποποιώντας ελαφρά το Πρόβλημα 2 του JBMO 2018 (και εμπνεόμενος από την 'εξοντωτική' μου λύση εδώ) προτείνω (χωρίς λύση προς το παρόν):

Να βρεθούν όλες οι εννιάδες τριψήφιων αριθμών με τις παρακάτω ιδιότητες

(1) Όλα τα ψηφία τους είναι διαφορετικά από το

.
(2) Το άθροισμα των ψηφίων κάθε αριθμού είναι πολλαπλάσιο του

.
(3) Τα ψηφία των μονάδων δύο οποιονδήποτε αριθμών είναι διαφορετικά.
(4) Τα ψηφία των δεκάδων δύο οποιονδήποτε αριθμών είναι διαφορετικά.
(5) Τα ψηφία των εκατοντάδων δύο οποιονδήποτε αριθμών είναι διαφορετικά.

Μία προφανής λύση είναι η εννιάδα { 117, 225, 333, 441, 558, 666, 774, 882, 999

}. Πιθανώς να υπάρχουν πολύ περισσότερες, ίσως όμως και όχι...

#2

Ας συμβολίσουμε τις εννιάδες ως $(a_{11},a_{12},a_{13}),\ldots,(a_{91},a_{92},a_{93})$ . Τα $a_{13},\ldots,a_{93}$ καθορίζονται πλήρως από τα $a_{11}+a_{12},\ldots,a_{91}+a_{92}$ . Ουσιαστικά λοιπόν θέλουμε τα $a_{11}+a_{12},\ldots,a_{91}+a_{92}$ να είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους.

Αυτό αντιστοιχεί σε κάτι που ονομάζεται Latin transversal. Πιο συγκεκριμένα φτιάχνουμε ένα πίνακα με σειρές και στήλες αριθμημένες από το

ως το

. Στο κελί

τοποθετούμε το άθροισμα i+j

modulo

. Κάθε αριθμός εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε κάθε σειρά και κάθε στήλη. Κάθε πίνακας με αυτήν την ιδιότητα ονομάζεται Latin square. Αυτό που ψάχνουμε είναι να επιλέξουμε ένα ακριβώς 9 κελιά, ένα από κάθε σειρά και κάθε στήλη ώστε οι τιμές τους να είναι διαφορετικές. Αυτό ονομάζεται Latin transversal.

Η ύπαρξη/απαρίθμηση των Latin transversals είναι εν γένει δύσκολο πρόβλημα. Η απάντηση στο ερώτημα που έθεσες βρίσκεται στην σελίδα

εδώ και είναι $9 \cdot 225 = 2025$ .

Μπορούμε να δούμε ότι η απάντηση είναι πολλαπλάσιο του

αφού για κάθε παράδειγμα, αν προσθέσουμε (modulo 9)

σε κάθε ψηφίο των δεκάδων και αφαιρέσουμε

από κάθε ψηφίο των μονάδων θα πάρουμε ένα καινούργιο παράδειγμα. Έτσι τα παραδείγματα έρχονται σε εννιάδες (εννιάδων).

Εννιάδες

Εννιάδες

Re: Εννιάδες

Μέλη σε σύνδεση