Εσωτερικός Προκριματικός 2010

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Εσωτερικός Προκριματικός 2010

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Σάβ Μαρ 27, 2010 5:51 pm

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΣΥΜΜΕΤΕΧΟΝΤΕΣ
Συνημμένα
img006_.jpg
img006_.jpg (243.86 KiB) Προβλήθηκε 3225 φορές


Γιώργος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3998
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εσωτερικός 2010

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Μαρ 27, 2010 6:00 pm

Καλά αποτελέσματα σε όλους τους συμμετέχοντες!

Αν κάποιος έχει και τα θέματα των μεγάλων ας τα αναρτήσει!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εσωτερικός 2010

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Σάβ Μαρ 27, 2010 6:03 pm

Θεμα 2ο Μικρών

\displaystyle{\frac{{x - 2y}}{y} + \frac{{2y - 4}}{x} + \frac{4}{{xy}} = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2y} \right) + y\left( {2y - 4} \right) + 4 = 0}
\displaystyle{\eqalign{ 
  &  \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + 2{y^2} - 4y + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow   \cr  
  & x = y = 2 \cr} }
Αντικαθιστώντας στη δεύτερη προκύπτει ότι z=1. Αρα (x,y,z)=(2,2,1)


Γιώργος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12432
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εσωτερικός 2010

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 27, 2010 7:25 pm

Για την 1) δεν βλέπω πρόβλημα αφού τα δύο τελευταία ψηφία του τετραγώνου αριθμού της μορφής 100Α + 10Β + Γ (όπου Α, Β, Γ μονοψήφιοι) δεν επηρεάζεται από το Α.
Απάντηση: η ίδια με τα τελευταία δύο ψηφία του 11^2 + 12^2 + ... + 19^2

Μάλλον απλό πρόβλημα για αυτό το επίπεδο.

Για την 4) βλέπω τρεις λύσεις για τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 . Είναι αντίστοιχα

Μ, Μ, Μ, Α, Μ, Μ, Μ, Α
ή Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α
ή Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α, Μ, Μ (όπου Μ = μαύρο, Α = άσπρο)

κάνω λάθος;

Υπόδειξη για την λύση: Το 1 πρέπει να είναι Μ γιατί αν ήταν Α, τότε αν το β είναι το Μ που υπάρχει από την υπόθεση, θα είναι β = 1.β, άρα το β θα είναι Α, άτοπο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


ifaigios
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 11:38 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ifaigios » Σάβ Μαρ 27, 2010 7:46 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Για την 1) δεν βλέπω πρόβλημα αφού τα δύο τελευταία ψηφία του τετραγώνου αριθμού της μορφής 100Α + 10Β + Γ (όπου Α, Β, Γ μονοψήφιοι) δεν επηρεάζεται από το Α.
Μάλλον απλό πρόβλημα για αυτό το επίπεδο.

Για την 4) βλέπω τρεις λύσεις για τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 . Είναι αντίστοιχα

Μ, Μ, Μ, Α, Μ, Μ, Μ, Α
ή Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α
ή Μ, Α, Μ, Α, Μ, Α, Μ, Μ (όπου Μ = μαύρο, Α = άσπρο)

κάνω λάθος;

Υπόδειξη για την λύση: Το 1 πρέπει να είναι Μ γιατί αν ήταν Α, τότε αν το β είναι το Μ που υπάρχει από την υπόθεση, θα είναι β = 1.β, άρα το β θα είναι Α, άτοπο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου
Ισχύει μόνο η 1η λύση από αυτές που δίνεις, γιατί στις άλλες 2 το 8 δεν είναι ούτε μαύρο ούτε άσπρο, αφού δεν προκύπτει από κανένα άθροισμα ή γινόμενο αριθμών διαφορετικού χρώματος. Όμως στην εκφώνηση μας λέει ότι με αυτούς τους κανόνες μπορούν να χρωματιστούν ΟΛΟΙ οι αριθμοί, άρα άτοπο και οι λύσεις απορρίπτονται.

ΥΓ. Έλυσα 1ο, 2ο και 4ο...από 3ο έκανα το σχήμα και βρήκα τη λύση του 1ου ερωτήματος στο τελευταίο λεπτό...αλλά δεν πρόλαβα να τη γράψω χαχα


ξαροπ
Δημοσιεύσεις: 35
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 8:53 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ξαροπ » Σάβ Μαρ 27, 2010 8:01 pm

Εγώ εξ αρχής θεώρησα το 1 ως Μαύρο (είχα και μια απόδειξη για το άσπρο = άτοπο αλλά τη διέγραψα), αφού (1) δεν μπορούμε να βάψουμε κανέναν αριθμό άσπρο (2) κανένα από τα κριτήρια δεν μας δίνει κάποιο αποτέλεσμα αφού 1 = 1 επί 1 (ίδιο χρώμα). Άρα το βάφουμε μαύρο κλπ. (θεώρησα α,β διαφορετικούς αλλά τώρα που το βλέπω και χωρίς αυτό δεν υπάρχει πρόβλημα).

Πιστεύω ότι τα 1, 2 για τους μικρούς ήταν αρκετά εύκολα για το επίπεδο που είναι. Η γεωμετρία ήταν ωραία, ειδικά το (β) ερώτημα το οποίο όμως δεν πρόλαβα την ώρα του διαγωνισμού.

Θα έκανα μια εκτίμηση ότι έλυσα 2ο, 4ο, το μισό 3ο και το περισσότερο από το 1ο (αφού στο τέλος έκανα ένα λάθος λόγω απερισκεψίας, βρίσκοντας έτσι το ένα από τα δυο ψηφία σωστό).

Όπως και να έχει, αν και λίγο σκοτεινή η αίθουσα με τους υπολογιστές, ήταν πολύ ωραίο το 3ωρο-4ωρο. Καλά αποτελέσματα και καλό Πάσχα :logo:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12432
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εσωτερικός 2010

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 27, 2010 9:09 pm

ifaigios έγραψε:
Ισχύει μόνο η 1η λύση από αυτές που δίνεις, γιατί στις άλλες 2 το 8 δεν είναι ούτε μαύρο ούτε άσπρο, αφού δεν προκύπτει από κανένα άθροισμα ή γινόμενο αριθμών διαφορετικού χρώματος. Όμως στην εκφώνηση μας λέει ότι με αυτούς τους κανόνες μπορούν να χρωματιστούν ΟΛΟΙ οι αριθμοί, άρα άτοπο και οι λύσεις απορρίπτονται.
Χμμμμ. Δεν θα συμφωνήσω ή, έστω, θα θεωρήσω ότι η εκφώνηση του πρβλήματος είναι ατυχής:

Όταν λέμε ότι μπορούν να χρωματιστούν όλοι οι αριθμοί, το σωστό είναι να το ερμηνεύσουμε ως "υπάρχει χρωματισμός όλων των αριθμών που είναι συμβατός με τους περιορισμούς"

Το γεγονός ότι ο χρωματισμός του 8 στην δεύτερη και τρίτη μου λύση δεν αντικρούεται
με τα δεδομένα, πρέπει να θεωρηθεί έγκυρος. Πέρα από αυτό, π.χ. ο χρωματισμός του 8 ως μαύρου θα μπορούσε να θεωρηθεί ως χρωματισμός που έγινε στα δεδομένα του προβλήματος, στο σημείο που λεει "υπάρχει τουλάχιστον ένα Μ" .

Φιλικά,

Μιχάλης.


ifaigios
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 11:38 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ifaigios » Σάβ Μαρ 27, 2010 11:25 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ifaigios έγραψε:
Ισχύει μόνο η 1η λύση από αυτές που δίνεις, γιατί στις άλλες 2 το 8 δεν είναι ούτε μαύρο ούτε άσπρο, αφού δεν προκύπτει από κανένα άθροισμα ή γινόμενο αριθμών διαφορετικού χρώματος. Όμως στην εκφώνηση μας λέει ότι με αυτούς τους κανόνες μπορούν να χρωματιστούν ΟΛΟΙ οι αριθμοί, άρα άτοπο και οι λύσεις απορρίπτονται.
Χμμμμ. Δεν θα συμφωνήσω ή, έστω, θα θεωρήσω ότι η εκφώνηση του πρβλήματος είναι ατυχής:

Όταν λέμε ότι μπορούν να χρωματιστούν όλοι οι αριθμοί, το σωστό είναι να το ερμηνεύσουμε ως "υπάρχει χρωματισμός όλων των αριθμών που είναι συμβατός με τους περιορισμούς"

Το γεγονός ότι ο χρωματισμός του 8 στην δεύτερη και τρίτη μου λύση δεν αντικρούεται
με τα δεδομένα, πρέπει να θεωρηθεί έγκυρος. Πέρα από αυτό, π.χ. ο χρωματισμός του 8 ως μαύρου θα μπορούσε να θεωρηθεί ως χρωματισμός που έγινε στα δεδομένα του προβλήματος, στο σημείο που λεει "υπάρχει τουλάχιστον ένα Μ" .

Φιλικά,

Μιχάλης.
Βασικά η εκφώνηση του προβλήματος είναι αρκετά σαφής...αν και θα συμφωνήσω ότι θα μπορούσε να μπερδέψει. Λέει "αν με αυτούς τους κανόνες μπορούν να χρωματιστούν όλοι οι αριθμοί...", δηλαδή οι αριθμοί δεν είναι χρωματισμένοι αλλά πρέπει να χρωματιστούν χρησιμοποιώντας αυτούς τους κανόνες.
Όμως ο χρωματισμός του 8 ως μαύρου ή άσπρου στις λύσεις 2 και 3 δεν μπορεί να στηριχτεί σε κανέναν από τους κανόνες (ούτε φυσικά στο "υπάρχει τουλάχιστον ένα Μ", αφού για να φτάσουμε στο σημείο να πούμε ότι το 8 είναι μαύρο ή άσπρο, θα πρέπει να έχουμε ήδη χρωματίσει τουλάχιστον το 1 μαύρο. (αυτό ισχύει σε όλες τις λύσεις)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12432
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εσωτερικός 2010

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 28, 2010 12:13 am

ifaigios έγραψε: Λέει "αν με αυτούς τους κανόνες μπορούν να χρωματιστούν όλοι οι αριθμοί...", δηλαδή οι αριθμοί δεν είναι χρωματισμένοι αλλά πρέπει να χρωματιστούν χρησιμοποιώντας αυτούς τους κανόνες.
Το πρόβλημα δεν είναι εκεί. Για να γίνω πιο κατανοητός:

1) Τι σου δίνει δικαίωμα να χρωματίσεις τι 1; Αν ακολουθήσουμε αυτό που γράφεις, τίποτα δεν σου δίνει το δικαίωμα! Πράγματι, οι υποθέσεις λένε ότι ΑΝ είναι χρωματισένα τα α και β τότε (υπό κάποιες ακόμα προυποθέσεις) χρωματίζονται τα α+β, αβ.
Ρωτάω λοιπόν, ποια είναι τα α και β που μας επιτρέπουν να βάψουμε το 1; Δεν υπάρχουν!

2) Δες σε παρακαλώ το (α) της εκφώνησης και πες μου γιατί το μαύρο που ζωγραφίζεται με τα δεδομένα του προβλήματος αποκλείεται να είναι το 8.

Μ.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2236
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Εσωτερικός 2010

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Μαρ 28, 2010 8:43 am

Μια λύση της γεωμετρίας

1)έστω ότι η ε τέμνει την ΑΒ στην προέκταση της προς το Β
\displaystyle{\widehat{A_1MO} =\widehat{ A_1AO} } αφού τα\displaystyle{A_1,O} ανήκουν στην μεσοκάθετο ε του ΑΜ
\displaystyle{\widehat{ A_1AO}=\widehat{ A_1A_2O}} αφού\displaystyle{OA=OA_1=R}
άρα \displaystyle{\widehat{A_1MO}=\widehat{A_1A_2O}}...

2)\displaystyle{\widehat{ABO}=\widehat{OAB}} αφού \displaystyle{OA=OB=R}
\displaystyle{\widehat{OAB}=\widehat{OMC_1}}αφού τα\displaystyle{A_1,O,C_1} ανήκουν στην μεσοκάθετο ε του ΑΜ
άρα και ο c2 περνά από τα Ο,Μ...


Eagle
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 29, 2009 6:08 pm
Τοποθεσία: Ναύπλιο

Re: Εσωτερικός 2010

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eagle » Κυρ Μαρ 28, 2010 5:51 pm

Θα ήθελα να ρωτήσω κάτι.

Στο επίσημο site της ΕΜΕ λέει ότι η γραπτη εξέταση θα γίνει στις 9 το Σαββατο και η προφορική την Κυριακή.Τί είναι η προφορική εξέταση????

Ευχαριστώ εκ των προτέρων


Δημήτρης.
Άβαταρ μέλους
Κώστας Παππέλης
Δημοσιεύσεις: 261
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εσωτερικός 2010

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Κυρ Μαρ 28, 2010 7:26 pm

Είναι κυρίως για τη γνωριμία των παιδιών με την επιτροπή των διαγωνισμών. Συνήθως γίνεται κουβέντα για τις γνώσεις του καθενός, τι έχει διαβάσει και ενίοτε εξετάζουν και κανά θεώρημα... Παίζει μηδενικό ρόλο στην επιλογή της ομάδας πλέον.


Άβαταρ μέλους
John13
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Απρ 13, 2009 11:09 am
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Εσωτερικός 2010

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από John13 » Δευ Μαρ 29, 2010 12:23 am

Έχει κανένας τα θέματα των μεγάλων?
Στο site της ΕΜΕ δεν τα έχουν βάλλει...


Γελάτε με εμένα γιατί είμαι διαφορετικός, γελάω με εσάς γιατι είστε όλοι ιδιοι!
\boxed{\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx = \left[\displaysyle\int f(x)\,dx \right]^b_a}
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εσωτερικός 2010

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Δευ Μαρ 29, 2010 12:26 am

Κοιταξα και εγω αλλα δεν τα βρήκα ακομα.


Στραγάλης Χρήστος
Djimmakos
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 8:35 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Djimmakos » Δευ Μαρ 29, 2010 12:53 am

Το πρώτο πρόβλημα ήταν σύστημα

Nα λυθεί στους θετικούς πραγματικούς το σύστημα

x+y+z+w=4

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}=5-\frac{1}{xyzw}

Η δική μου λύση είναι η εξής:

Από την πρώτη με AM-GM έχουμε ότι xyzw<=1
Από τη δεύτερη με Andreescu στο πρώτο μέλος και χρησιμοποιώντας το δεύτερο έχουμε ότι xyzw>=1
Οπότε xyzw=1
Οπότε, λόγω της πρώτης ανισότητας έχουμε ότι x=y=z=w και με το xyzw=1 προκύπτει ότι (x,y,z,w)=(1,1,1,1)

Μακάρι να το είχανε βάλει στον Αρχιμήδη αυτό...Αχχ :(

Tα υπόλοιπα δυστυχώς δεν τα γνωρίζω..Όπως και να έχει, καλή επιτυχία σ' όλους τους διαγωνιζόμενους!!!!


1+1 δεν κάνει απαραίτητα 2.

Μπορεί να κάνει και \sqrt{4} ή \sqrt[3]{8}

**Eίμαι μαθητής**
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εσωτερικός 2010

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Δευ Μαρ 29, 2010 12:59 am

Εβαλαν τετοιο θεμα στους μεγαλους.Τι ήταν?Πρώτο?


Στραγάλης Χρήστος
Djimmakos
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 8:35 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Djimmakos » Δευ Μαρ 29, 2010 1:00 am

Ναι. Έτσι μου είπανε, τουλάχιστον.


1+1 δεν κάνει απαραίτητα 2.

Μπορεί να κάνει και \sqrt{4} ή \sqrt[3]{8}

**Eίμαι μαθητής**
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5450
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εσωτερικός 2010

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Μαρ 29, 2010 1:04 am

Τα έχω τα θέματα, αλλά δεν έχω σκάνερ.

Αύριο θα προσπαθήσω να βάλω τη συναρτησιακή και τη γεωμετρία.

Πέρασα το Σάββατο από την ΕΜΕ, βρήκα πολλά παιδιά εκεί αλλά και παλιότερους ολυμπιονίκες ! Μακάρι να είχα μαζί μου και καμιά .... διακοσαριά ασκήσεις γεωμετρίας να του δώσω για έλεγχο των λύσεων !!!

Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε όλους τους διαγωνιζόμενους!

Μπάμπης


Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Δευ Μαρ 29, 2010 1:05 am

Το 4ο είναι:
Nα προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R^*} \to \mathbb{R^*} οι οποίες ικανοποιούν την ισότητα:
f\left(\frac{f(x)}{f(y)} \right)=\frac{1}{y} \cdot f(f(x)),
για κάθε x,y \in \mathbb{R^*} και είναι γνησίως μονότονες στo (0,+\infty).


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: Εσωτερικός 2010

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Δευ Μαρ 29, 2010 1:19 am

Τα εχω και εγω τα θεματα ολα, αλλα απ οσο μου ειπαν δεν θελουν να δημοσιευτουν τα θεματα πρωτου ανεβουν στη σελιδα της ΕΜΕ, επισης απ οσο ξερω το ιδιο ζητημα υπαρχει καθε χρονο μετα απο τον εσωτερικο διαγωνισμο ενω το νοημα του συγκεκριμενου ζητηματος δεν το εχω καταλαβει...


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες