Εσωτερικός Προκριματικός 2010

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3998
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εσωτερικός 2010

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Μαρ 29, 2010 1:40 am

Dimitris X έγραψε:Το 4ο είναι:
Nα προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R^*} \to \mathbb{R^*} οι οποίες ικανοποιούν την ισότητα:
f\left(\frac{f(x)}{f(y)} \right)=\frac{1}{y} \cdot f(f(x)),
για κάθε x,y \in \mathbb{R^*} και είναι γνησίως μονότονες στo (0,+\infty).
Για x=y η αρχική γίνεται: f(1)=\displaystyle\frac{1}{x}f(f(x)) άρα f(f(x))=f(1)x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star}

Θέτουμε a=f(1) κι έτσι η παραπάνω γίνεται f(f(x))=ax, \ \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star}.

Για x=\displaystyle\frac{1}{a} στην παραπάνω παίρνουμε f\left(f\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)\right)=1 \ \ (1).

Ενώ για y=f\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right) στην αρχική χρησιμοποιώντας την (1) παίρνουμε: f(f(x))=\displaystyle\frac{1}{f\left(\frac{1}{a}\right)}f(f(x)), \ \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star} δηλαδή

ax= \displaystyle\frac{1}{f\left(\frac{1}{a}\right)}ax, \ \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star} που για x=1 δίνει: f\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)=1 δηλαδή λόγω της (1): \boxed{f(1)=1} οπότε a=1.

Tώρα η (1) γίνεται: \boxed{f(f(x))=x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star}} (που δείχνει ότι η συνάρτηση που ψάχνουμε είναι 1-1 αλλά ΚΑΙ επί του \mathbb{R}^{\star}) και η αρχική συναρτησιακή γίνεται:

f\left(\displaystyle\frac{f(x)}{f(y)}\right)=\displaystyle\frac{x}{y}, \ \ \forall x,y \in\mathbb{R}^{\star} \ \ (2).

Στην τελευταία θέτουμε όπου x το 1 και όπου y το f(y) και παίρνουμε:

f\left(\displaystyle\frac{1}{y}\right)=\displaystyle\frac{1}{f(y)}, \forall y\in\mathbb{R}^{\star} \ \ (3)

οπότε θέτουμε στην (2) όπου y το \displaystyle\frac{1}{y} και χρησιμοποιούμε την (3) για να πάρουμε:

\boxed{f(xy)=f(x)f(y), \ \ \forall x,y\in\mathbb{R}^{\star}}

Για x=y=-1 παίρνουμε f(-1)=1 ή f(-1)=-1. Όμως δε γίνεται f(-1)=1 γιατί τότε η f δε θα ήταν 1-1. Άρα \boxed{f(-1)=-1}.

Περιοριζόμαστε πλέον στο διάστημα (0,+\infty) όπου η συνάρτηση f είναι γν. μονότονη και θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=\ln{f(e^x)}, για την οποία ισχύει g(x+y)=g(x)+g(y) που είναι η συναρτησιακή του Cauchy για την οποία είναι γνωστό ότι αν η συνάρτηση g είναι γν. μονότονη (εδώ είναι αφού είναι σύνθεση γν. μονότονων συναρτήσεων), τότε ισχύει g(x)=ax για κάποιο a \in\mathbb{R}.

Συνεπώς για x>0 παίρνουμε \ln{f(e^x)}=ax δηλαδή f(x)=x^a για κάποιο a\in\mathbb{R}.

Όμως η συνάρτηση αυτή πρέπει να ικανοποιεί την f(f(x))=x άρα a^2=1 οπότε a=1 ή a=-1 δηλαδή f(x)=x ή f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}, \ \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star}.

Επειδή η συνάρτηση f είναι γν. μονότονη στο (0,+\infty) άρα f(x)=x, \ \ \forall x\in (0,+\infty) ή f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}, \ \ \forall x\in(0,+\infty).

Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις:

A) Αν f(x)=x, \ \ \forall x\in(0,+\infty) τότε θα δείξουμε ότι f(x)=x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star}.

Ας πάρουμε x<0 και y<0. Τότε xy>0 οπότε από τη σχέση f(x)f(y)=f(xy) παίρνουμε f(x)f(y)=xy η οποία για y=-1 δίνει f(x)(-1)=-x δηλαδή f(x)=x για κάθε x\in (-\infty,0).

(Αν πάρουμε x>0 και y<0. Τότε από τη σχέση f(x)f(y)=f(xy) παίρνουμε xf(y)=f(xy) που για y=-1 δίνει: f(-x)=-x για κάθε x>0 άρα f(x)=x για κάθε x<0 και απλά επιβεβαιώνουμε το παραπάνω αποτέλεσμα. Όμοια εργαζόμαστε για την περίπτωση όπου x<0 και y>0.)

B) Αν f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}, \ \ \forall x\in(0,+\infty) τότε θα δείξουμε ότι f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}, \ \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star}.

Η διαδικασία είναι εντελώς όμοια με την παραπάνω.

Τελικά \boxed{f(x)=x, \ \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star}} ή \boxed{f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}, \ \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star}}

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5450
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εσωτερικός 2010

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Μαρ 29, 2010 1:48 am

Nick1990 έγραψε:Τα εχω και εγω τα θεματα ολα, αλλα απ οσο μου ειπαν δεν θελουν να δημοσιευτουν τα θεματα πρωτου ανεβουν στη σελιδα της ΕΜΕ, επισης απ οσο ξερω το ιδιο ζητημα υπαρχει καθε χρονο μετα απο τον εσωτερικο διαγωνισμο ενω το νοημα του συγκεκριμενου ζητηματος δεν το εχω καταλαβει...
Αν σας είπαν τέτοιο πράγμα, να το σκεφτώ λίγο ακόκα. Όχι για την ΕΜΕ αλλά για τους διαγωνιζόμενους .Δεν θα ήθελα άθελά μας να στεναχωρήσουμε κάποιον.
Σίγουρα όμως, μια τέτοια υπόδειξη στερείται λογικής και ουσίας .
Ας βγουν με το καλό οι βαθμολογίες και δεν χάθηκε ο κόσμος για μια δυο μέρες. Εδώ είναι τα θεματα και θα τα βάλουμε όλα για το αρχείο του mathematica .Γράψτε μετά τις λύσεις σας και ό,τι άλλο νομίζετε.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
John13
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Απρ 13, 2009 11:09 am
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Εσωτερικός 2010

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από John13 » Δευ Μαρ 29, 2010 8:48 pm

Ας περιμένουνε τότε. Αύριο-μεθαύριο θα ανακοινώσουν τα θέματα και τα αποτελέσματα.


Γελάτε με εμένα γιατί είμαι διαφορετικός, γελάω με εσάς γιατι είστε όλοι ιδιοι!
\boxed{\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx = \left[\displaysyle\int f(x)\,dx \right]^b_a}
Djimmakos
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 8:35 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Djimmakos » Τετ Μαρ 31, 2010 8:31 pm

Ανακοινώθηκαν τα αποτελέσματα.

http://www.hms.gr/index.php?option=com_ ... cle&id=146

Συγχαρητήρια σ' όλα τα παιδιά!!


1+1 δεν κάνει απαραίτητα 2.

Μπορεί να κάνει και \sqrt{4} ή \sqrt[3]{8}

**Eίμαι μαθητής**
Άβαταρ μέλους
Stavroulitsa
Δημοσιεύσεις: 455
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 14, 2009 1:44 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη (Πολίχνη)

Re: Εσωτερικός 2010

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stavroulitsa » Τετ Μαρ 31, 2010 9:40 pm

Συγχαρητήρια σε όλους!!!! Καλη συνέχεια!!! :winner_first_h4h:


"Millions long for immortality who do not know what to do with themselves on a rainy Sunday afternoon"
Susan Ertz
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5450
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εσωτερικός 2010

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Μαρ 31, 2010 9:50 pm

Συγχαρητήρια !

Εύχομαι να ανταμειφθούν οι κόποι σας με ένα μετάλλιο ή με μια διάκριση !

Καλή συνέχεια λοιπόν και καλή επιτυχία !

Μπάμπης


ξαροπ
Δημοσιεύσεις: 35
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 8:53 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ξαροπ » Τετ Μαρ 31, 2010 10:49 pm

Συγχαρητήρια σε όλους και σε όλες, ανεξαρτήτως κατάταξης!

(και προσωπικά να συγχαρώ τον φίλο μου Πέτρο που τα πήγε περίφημα στον Προκριματικό)

Να ρωτήσω κάτι, οι αναπληρωματικοί στους Νέους τι ακριβώς ρόλο έχουν? Καλούνται μόνο αν πχ. κάποιος από τους βασικούς δεν μπορέσει να πάει στη ΒΜΟΝ? Το λέω επειδή βλέπω ότι για τους μεγάλους (βασικούς & αναπληρωματικούς) υπάρχει η Μεσογειάδα.


Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Τετ Μαρ 31, 2010 11:54 pm

ξαροπ έγραψε: Να ρωτήσω κάτι, οι αναπληρωματικοί στους Νέους τι ακριβώς ρόλο έχουν? Καλούνται μόνο αν πχ. κάποιος από τους βασικούς δεν μπορέσει να πάει στη ΒΜΟΝ? Το λέω επειδή βλέπω ότι για τους μεγάλους (βασικούς & αναπληρωματικούς) υπάρχει η Μεσογειάδα.
Από ότι ξέρω οι αναπληρωματικοί γράφουν την ΒΜΟ στην αθήνα.
Και στη συνέχεια βγένει ο μέσος όρος από τον Αρχιμήδη,τον εσωτερικό και την ΒΜΟ (20-20-40) νομίζω συντελεστής για να το ποιοι θα πάνε ΙΜΟ....Αλλά στους μικρούς δεν ξέρω τι κάνουν οι αναπληρωματικοι.....


k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Εσωτερικός 2010

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Πέμ Απρ 01, 2010 3:00 am

Dimitris X έγραψε:Το 4ο είναι:
Nα προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R^*} \to \mathbb{R^*} οι οποίες ικανοποιούν την ισότητα:
f\left(\frac{f(x)}{f(y)} \right)=\frac{1}{y} \cdot f(f(x)), για κάθε x,y \in \mathbb{R^*} \color{red}(1)
και είναι γνησίως μονότονες στo (0,+\infty).
.
Αν και αργά διακινδυνεύω μια λύση και αν κάπου έχω λάθος είναι λόγω... πρωαπριλιάς και μόνο!
Από \color{red}(1) για y=x είναι: f(f(x))=x\cdot f(1) \color{red}(2).

Από τη \color{red}(2) εύκολα δείχνουμε το 1-1 της f.

Στη \color{red}(2) για x=1 είναι: f(f(1))=f(1) και λόγω του 1-1 της f είναι f(1)=1.

Άρα f(f(x))=x για κάθε x, \in \mathbb{R^*} \color{red}(3)
και
\displaystyle f\left(\frac{f(x)}{f(y)} \right)=\frac{x}{y}, για κάθε x,y \in \mathbb{R^*} \color{red}(4)

Στην \color{red}(4) για x=1, \ \ y=-1 έχουμε: \displaystyle f\left(\frac{f(1)}{f(-1)} \right)=-1 \Rightarrow f\left(\frac{1}{f(-1)} \right)=f(f(-1)) και έτσι, εύκολα καταλήγουμε, f(-1)=-1.

Στην \color{red}(4) για y=-x έχουμε: \displaystyle f\left(\frac{f(x)}{f(-x)} \right)=-1=f(-1) και αφού η f: 1-1 θα είναι f(-x)=f(x), οπότε η f είναι περιττή.

Στην \color{red}(4) για x=1 , y=x έχουμε:\displaystyle f\left(\frac{1}{f(x)} \right)=\frac{1}{x} \Rightarrow  f\left[f\left(\frac{1}{f(x)} \right)\right]=f\left(\frac{1}{x}\right) \Rightarrow f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{f(x)} \color{red}(5).

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +\infty) τότε:
Για x>1 \Rightarrow f(x)>f(1)=1>0 και για \displaystyle 0<x<1 \Rightarrow \frac{1}{x}>1 \Rightarrow f\left(\frac{1}{x}\right)>f(1)=1>0 και από \color{red}(5) f(x)>0.
Άρα για κάθε x>0 είναι f(x)>0.
Αφού η f είναι περιττή θα είναι γνησίως αύξουσα και στο (-\infty , 0) και ακόμα f(x)<0 για κάθε x<0.
Έτσι, η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R^*}.
Εύκολα τώρα, με άτοπο και τη βοήθεια της \color{red}(3), δείχνουμε ότι:

f(x)=x για κάθε x\in \mathbb{R^*}.

Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +\infty) τότε ακολουθώντας την ίδια τεχνική δείχνουμε ότι: \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} για κάθε x\in \mathbb{R^*}.
Υ.γ.: Τώρα βλέπω ότι απάντησε και ο Αλέξανδρος. Αλέξανδρε, πληκτρολογούσα την ώρα που έδωσες τη λύση και δεν την πρόσεξα. Από ότι βλέπω, τα αποτελέσματά μας συμφωνούν αν και δεν ακολουθήσαμε την ίδια οδό!
Καλό βράδυ.


Κώστας Σερίφης
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Κυρ Απρ 18, 2010 12:45 am

απορώ ποτε η εμε θα δημοσιεύσει τα θεματα αλλα και τισ λυσεις του προκριματικου.....????
τελευταία επεξεργασία από kwstas12345 σε Πέμ Οκτ 21, 2010 8:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εσωτερικός 2010

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Κυρ Απρ 18, 2010 10:46 pm

Μπορεί να το ξέχασε :lol:


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
John13
Δημοσιεύσεις: 48
Εγγραφή: Δευ Απρ 13, 2009 11:09 am
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Εσωτερικός 2010

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από John13 » Σάβ Μάιος 08, 2010 12:47 am

Τα θέματα δημοσιεύτηκαν στον Ευκλείδη Β τ. 76 (Απρίλιος- Μάιος- Ιούνιος).
Δυστυχώς δεν έχω scanner για να τα ανεβάσω...


Γελάτε με εμένα γιατί είμαι διαφορετικός, γελάω με εσάς γιατι είστε όλοι ιδιοι!
\boxed{\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx = \left[\displaysyle\int f(x)\,dx \right]^b_a}
Άβαταρ μέλους
mathlete23
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Δευ Μάιος 03, 2010 7:11 pm

Re: Εσωτερικός 2010

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathlete23 » Τετ Μάιος 12, 2010 8:58 pm

Καλώς σας βρήκα!
Μήπως θα μπορούσε κάποιος ν' ανεβάσει τις λύσεις στα θέματα των μικρών;
Θα μείνω με την απορία...
Ευχαριστώ.


nickthegreek
Δημοσιεύσεις: 401
Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Τοποθεσία: Oxford

Re: Εσωτερικός 2010

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickthegreek » Πέμ Αύγ 05, 2010 6:52 pm

Καλησπέρα στo mathematica!

Παρακαλώ ευγενικά όποιον έχει τα θέματα του φετινού προκριματικού των μεγάλων να μας τα κοινοποιήσει διότι δεν μπορώ να τα βρω πουθενά!!
(Έτσι κι αλλιώς πέρασε πολύς καιρός από τον φετινό προκριματικό και δεν νομίζω ότι η ΕΜΕ μπορεί να έχει ακόμη πρόβλημα για την κοινοποίησή τους)
Σας ευχαριστώ πολύ.

Νίκος


Νίκος Αθανασίου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες