Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών , ώστε .
Πρόβλημα 2
Να βρείτε το πλήθος των τριάδων , για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:
i. Τα είναι υποσύνολα του συνόλου .
ii.
iii. και
Πρόβλημα 3
Έστω εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο με κέντρο . Ονομάζουμε το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών , αντίστοιχα. Θεωρούμε τα συμμετρικά των ως προς τις , αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής των ευθειών και . Να δείξετε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Πρόβλημα 4
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί , ώστε . Να αποδείξετε ότι:
Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών , ώστε .
Πρόβλημα 2
Να βρείτε το πλήθος των τριάδων , για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες:
i. Τα είναι υποσύνολα του συνόλου .
ii.
iii. και
Πρόβλημα 3
Έστω εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο με κέντρο . Ονομάζουμε το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών , αντίστοιχα. Θεωρούμε τα συμμετρικά των ως προς τις , αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής των ευθειών και . Να δείξετε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Πρόβλημα 4
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί , ώστε . Να αποδείξετε ότι:
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
αν ΤΌΤΕ πρέπει το οποίο δεν δίνει λύση άρα οπότε ο ένας παό τους 2 διαιρείται με το 3 έστω ΑΦΟΎ πρώτος ( για κάθε x ακέραιο). Οπότε έχουμε kai μετά παίρνουμε περιπτώσεις
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Καλησπέρα, μία λύση για το 1ο.
Θα εξετάσουμε την περίπτωση για διάφοροι του 3.
Τότε, από μικρό θεώρημα έχουμε ότι ,,.
Συνεπώς το αριστερό μέλος είναι ισότιμο 2 modulo 3 ενώ το δεξί, 1 mod 3, άτοπο.
Άρα ένας εκ των τριών είναι 3.
Έστω ότι .
Τότε και διακρίνοντας περιπτώσεις (σαφώς αποκλείουμε αυτές που δεν δίνουν r,q πρώτους) έχουμε ότι ή ή .
Όμοια για θα προκύψουν οι αναδιατάξεις μεταξύ
Για, θα είναι , άρα .(εξετάζω μόνο για τον p και θα προκύψουν αναδιατάξεις των λύσεων)
Διακρίνοντας περιπτώσεις για τους πρώτους που υπάρχουν εώς το 20 παρατηρούμε ότι δεν έχουμε λύσεις.
Συνοψίζοντας μοναδικές λύσεις είναι και οι αναδιατάξεις των τιμών των p,q σε κάθε λύση.
Θα εξετάσουμε την περίπτωση για διάφοροι του 3.
Τότε, από μικρό θεώρημα έχουμε ότι ,,.
Συνεπώς το αριστερό μέλος είναι ισότιμο 2 modulo 3 ενώ το δεξί, 1 mod 3, άτοπο.
Άρα ένας εκ των τριών είναι 3.
Έστω ότι .
Τότε και διακρίνοντας περιπτώσεις (σαφώς αποκλείουμε αυτές που δεν δίνουν r,q πρώτους) έχουμε ότι ή ή .
Όμοια για θα προκύψουν οι αναδιατάξεις μεταξύ
Για, θα είναι , άρα .(εξετάζω μόνο για τον p και θα προκύψουν αναδιατάξεις των λύσεων)
Διακρίνοντας περιπτώσεις για τους πρώτους που υπάρχουν εώς το 20 παρατηρούμε ότι δεν έχουμε λύσεις.
Συνοψίζοντας μοναδικές λύσεις είναι και οι αναδιατάξεις των τιμών των p,q σε κάθε λύση.
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Λόγω κυρτότητας του αριστερού μέλος ως προς κάθε μια από τις μεταβλητές, το μέγιστο της παράστασης πιάνεται στα "άκρα" (δηλαδή κορυφές) του "κύβου" .
Μάλιστα λόγω των συνθηκών, αυτό γίνεται όταν δυο μεταβλητές είναι μηδέν και οι άλλες δύο ίσες με ένα (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με ) ή μια είναι μηδέν και οι άλλες τρεις ίσες με (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με )
Μάγκος Θάνος
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Για τη Γεωμετρία:Αν είναι απλό ότι ,δηλαδή ότι το είναι συμμετρικό του ως προς την .Το ίδιο ισχύει και για τα ,άρα η τομή των βρίσκεται στην (άξονας συμμετρίας)..
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
matha έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 7:29 pmΛόγω κυρτότητας του αριστερού μέλος ως προς κάθε μια από τις μεταβλητές, το μέγιστο της παράστασης πιάνεται στα "άκρα" (δηλαδή κορυφές) του "κύβου" .
Μάλιστα λόγω των συνθηκών, αυτό γίνεται όταν δυο μεταβλητές είναι μηδέν και οι άλλες δύο ίσες με ένα (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με ) ή μια είναι μηδέν και οι άλλες τρεις ίσες με (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με )
Θάνο, νομίζω δεν είναι σωστό αυτό λόγω της επιπλέον συνθήκης .
Π.χ. το μέγιστο της με και δεν λαμβάνεται στα άκρα αλλά στο . [Παρόλο που η συνάρτηση είναι κυρτή σε κάθε μεταβλητή ξεχωριστά.]
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Δημήτρη, έχεις δίκιο. Το παράδειγμα σου δεν αφήνει περιθώρια αμφισβήτησης. Η αλήθεια είναι ότι όταν το έγραψα είχα έναν δισταγμό για την ορθότητα του ισχυρισμού μου, αλλά το προσπέρασα επιπόλαια. Το αφήνω για παραδειγματισμό.Demetres έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 11:39 pmmatha έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 12, 2019 7:29 pmΛόγω κυρτότητας του αριστερού μέλος ως προς κάθε μια από τις μεταβλητές, το μέγιστο της παράστασης πιάνεται στα "άκρα" (δηλαδή κορυφές) του "κύβου" .
Μάλιστα λόγω των συνθηκών, αυτό γίνεται όταν δυο μεταβλητές είναι μηδέν και οι άλλες δύο ίσες με ένα (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με ) ή μια είναι μηδέν και οι άλλες τρεις ίσες με (οπότε η τιμή της παράστασης ισούται με )
Θάνο, νομίζω δεν είναι σωστό αυτό λόγω της επιπλέον συνθήκης .
Π.χ. το μέγιστο της με και δεν λαμβάνεται στα άκρα αλλά στο . [Παρόλο που η συνάρτηση είναι κυρτή σε κάθε μεταβλητή ξεχωριστά.]
Μάγκος Θάνος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Αρκετά δύσκολο θέμα!
Έστω , οπότε , και .
Τότε, αρκεί ή ισοδύναμα .
Αν , τότε είναι , άτοπο.
Άρα, ένας τουλάχιστον εκ των είναι , χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω .
Θα δείξω τώρα το εξής Λήμμα :
Λήμμα
Για κάθε με , ισχύει .
Απόδειξη
Μετά τις πράξεις, αρκεί , που προφανώς ισχύει για .
Πάμε στην απόδειξη της άσκησης.
Από το Λήμμα, για παίρνουμε (χρησιμοποιήθηκε ότι ).
Επίσης, από ΑΜ-ΓΜ, είναι .
Άρα, είναι , οπότε αρκεί :
, με .
Η παραπάνω ανισότητα μετά τις (εξαντλητικές) πράξεις δίνει .
Η παραπάνω όμως γράφεται , που ισχύει διότι :
i)
ii) (αφού )
iii) , αφού .
Η ισότητα, ισχύει όταν δύο εκ των είναι , και οι άλλοι δύο είναι , δηλαδή όταν δύο εκ των είναι , και οι άλλοι δύο είναι .
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Α΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2019
Και εγώ έτσι νομίζω. Δίνω την δική μου λύση. Θα αποδείξω με τις ίδιες συνθήκες ότι
Ισοδύναμα θέλω
Πάλι ισοδύναμα, θέλω
Αρκεί να δείξω ότι
ή ισοδύναμα
Αυτό είναι άμεσο από ΑΜ-ΓΜ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες