Μπορούμε να πάρουμε διακρίνουσα;Xriiiiistos έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 1:10 pmΘέμα 3 β λυκείου
Συνοπτικά η εκφώνηση να λυθεί
Λύση
,
Από τον περιορισμό του n καταλήγουμε στο
kai μετά συνεχίζουμε όπως πιο πάνω
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Λέξεις Κλειδιά:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Παω β γυμνασιου Ποσα θεματα πιστευετε επρεπε να εχω απαντησει σωστα για να περασω ;
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Γιατί να μην μπορούμε;ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 20, 2019 9:15 amΜπορούμε να πάρουμε διακρίνουσα;Xriiiiistos έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 1:10 pmΘέμα 3 β λυκείου
Συνοπτικά η εκφώνηση να λυθεί
Λύση
,
Από τον περιορισμό του n καταλήγουμε στο
kai μετά συνεχίζουμε όπως πιο πάνω
-
- Δημοσιεύσεις: 2
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 10:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Εγω έλυσα το πρώτο αλλά λάθος το δεύτερο το β ερώτημα και το τρίτο και πάω β γυμνασίου πως λέτε να τα πήγα;;
-
- Δημοσιεύσεις: 2
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 10:35 am
-
- Δημοσιεύσεις: 7
- Εγγραφή: Κυρ Ιουν 17, 2018 3:58 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Καλησπέρα σας!Μπορει Μηπως κανεις να δημιουργήσει ενα poll για κάθε ταξη για να δούμε ποσα θέματα απαντήσαμε πάνω κάτω;
Ευχαριστω
Ευχαριστω
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Καλησπέρα σας. Θα προτείνω και εγώ τη δική μου λύση για το θεμα 4 Α Λυκείου.
α) Είναι και . Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα προκύπτουν οι σχέσεις και άρα ισχύει και αφού και καταλήγουμε μετά από πράξεις στην τριγωνομετρική εξίσωση άρα .
b) 'Εστω . .
Επίσης, από τη σχέση προκύπτει ότι . Επίσης
Τέλος, .
α) Είναι και . Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα προκύπτουν οι σχέσεις και άρα ισχύει και αφού και καταλήγουμε μετά από πράξεις στην τριγωνομετρική εξίσωση άρα .
b) 'Εστω . .
Επίσης, από τη σχέση προκύπτει ότι . Επίσης
Τέλος, .
τελευταία επεξεργασία από panagiotis iliopoulos σε Δευ Ιαν 21, 2019 7:26 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Μία λύση για το θέμα 1 της Γ Λυκείου είναι να επιλέξουμε και να υπολογίσουμε εύκολα το πλήθος των ως
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
ΘΕΜΑ 4- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Το παρακάτω σχήμα συμπληρώνει απλώς την ωραία λύση του Νίκου εδώ.
είναι το μέσο του και είναι το μέσο του (αντί για και ).
Το παρακάτω σχήμα συμπληρώνει απλώς την ωραία λύση του Νίκου εδώ.
είναι το μέσο του και είναι το μέσο του (αντί για και ).
- Συνημμένα
-
- euclid_C_2019_no4.png (39.62 KiB) Προβλήθηκε 2975 φορές
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Θέμα 3 β λυκείου
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη που είναι λύσεις της εξίσωσης και ανήκουν στο ορθογώνιο
του Καρτεσιανού επιπέδου .
Όμορφο θέμα κατά τη γνώμη μου.
Λύση
Θεωρούμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου:
.
Οπότε, η εξίσωση έχει λύσεις μόνο για .
ή
ή .
Συνεπώς .
Θεωρούμε τώρα τις περιπτώσεις των τεταρτημορίων του δοθέντος ορθογωνίου στο οποίο θέλουμε τις λύσεις:
1ο τεταρτημόριο
Αν έχουμε:
Οπότε .
Αν η εξίσωση γίνεται , οπότε .
Αν η εξίσωση γίνεται , οπότε η οποία εδώ απορρίπτεται γιατί τώρα δουλεύουμε στο 1ο τεταρτημόριο του ορθογωνίου, αλλά θα προκύψει καθώς θα κάνουμε τα ίδια για το
2ο τεταρτημόριο
Έχουμε ότι :
οπότε .
Οπότε .
Αν η εξίσωση γίνεται , οπότε .
Αν η εξίσωση γίνεται , οπότε .
Ομοίως μπορούμε να εργαστούμε για τα άλλα δύο τεταρτημόρια του ορθογωνίου και τελικά οι λύσεις είναι:
.
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη που είναι λύσεις της εξίσωσης και ανήκουν στο ορθογώνιο
του Καρτεσιανού επιπέδου .
Όμορφο θέμα κατά τη γνώμη μου.
Λύση
Θεωρούμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου:
.
Οπότε, η εξίσωση έχει λύσεις μόνο για .
ή
ή .
Συνεπώς .
Θεωρούμε τώρα τις περιπτώσεις των τεταρτημορίων του δοθέντος ορθογωνίου στο οποίο θέλουμε τις λύσεις:
1ο τεταρτημόριο
Αν έχουμε:
Οπότε .
Αν η εξίσωση γίνεται , οπότε .
Αν η εξίσωση γίνεται , οπότε η οποία εδώ απορρίπτεται γιατί τώρα δουλεύουμε στο 1ο τεταρτημόριο του ορθογωνίου, αλλά θα προκύψει καθώς θα κάνουμε τα ίδια για το
2ο τεταρτημόριο
Έχουμε ότι :
οπότε .
Οπότε .
Αν η εξίσωση γίνεται , οπότε .
Αν η εξίσωση γίνεται , οπότε .
Ομοίως μπορούμε να εργαστούμε για τα άλλα δύο τεταρτημόρια του ορθογωνίου και τελικά οι λύσεις είναι:
.
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Θέμα 2 β λυκείου
Αν οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες , να βρείτε:
α) την τιμή των λόγων .
β) τις τιμές των για τις οποίες η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της.
Λύση
Οι τρεις σχέσεις μπορούν να γραφούν ως ένα ομογενές σύστημα 3Χ3 ως εξής:
Παρατήρηση: Το σύστημα, ως ομογενές, αντιστοιχεί σε τρία επίπεδα που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Βλέπε και σχήμα. Τρία τέτοια επίπεδα είτε έχουν μοναδικό κοινό σημείο την αρχή των αξόνων, είτε έχουν άπειρα κοινά σημεία που βρίσκονται σε μία ευθεία. Αν μεταβάλετε για παράδειγμα το συντελεστή 3 της πρώτης εξίσωσης σε -1 θα δείτε τρία επίπεδα που διέρχονται από μοναδικό κοινό σημείο την αρχή των αξόνων και δεν έχουν άλλο κοινό σημείο.
Τώρα, για την μέγιστη τιμή της παράστασης μπορούμε απλά να αντικαταστήσουμε από τις σχέσεις που βρέθηκαν στο α ερώτημα, οπότε έχουμε:
η οποία είναι μία παραβολή ως προς και λαμβάνει όντως ελάχιστη τιμή αφού
για .
Με αντικατάσταση προκύπτει ότι η ελάχιστη τιμή δίνεται για .
$
Αν οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες , να βρείτε:
α) την τιμή των λόγων .
β) τις τιμές των για τις οποίες η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της.
Λύση
Οι τρεις σχέσεις μπορούν να γραφούν ως ένα ομογενές σύστημα 3Χ3 ως εξής:
Παρατήρηση: Το σύστημα, ως ομογενές, αντιστοιχεί σε τρία επίπεδα που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Βλέπε και σχήμα. Τρία τέτοια επίπεδα είτε έχουν μοναδικό κοινό σημείο την αρχή των αξόνων, είτε έχουν άπειρα κοινά σημεία που βρίσκονται σε μία ευθεία. Αν μεταβάλετε για παράδειγμα το συντελεστή 3 της πρώτης εξίσωσης σε -1 θα δείτε τρία επίπεδα που διέρχονται από μοναδικό κοινό σημείο την αρχή των αξόνων και δεν έχουν άλλο κοινό σημείο.
Τώρα, για την μέγιστη τιμή της παράστασης μπορούμε απλά να αντικαταστήσουμε από τις σχέσεις που βρέθηκαν στο α ερώτημα, οπότε έχουμε:
η οποία είναι μία παραβολή ως προς και λαμβάνει όντως ελάχιστη τιμή αφού
για .
Με αντικατάσταση προκύπτει ότι η ελάχιστη τιμή δίνεται για .
$
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3
Έστω το μέσο του . Είναι .
άρα
Έστω το μέσο του . Είναι .
άρα
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Συνοψίζοντας τους συνδέσμους με όλες τις λύσεις
Β γυμνασίου
Θέμα 1ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 33#p307733
Θέμα 2ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 44#p307744
Θέμα 3ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 46#p307746
Θέμα 4ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 1#p307751
Γ γυμνασίου
Θέμα 1ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307860
Θέμα 2ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307860
Θέμα 3ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 1#p307861
Θέμα 4ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307870
Α λυκείου
Θέμα 1ο
Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 6#p307706
Θέμα 2ο
Oi Θετικοί ακέραιοι είναι τέτοιοι, ώστε οι αριθμοί να είναι θετικοί ακέραιοι.
α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση:
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09#p307709
Θέμα 3ο
Na προσδιορίσετε τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιούν τις εξισώσεις:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09#p307709
Θέμα 4ο
Δίνεται τρίγωνο , me . Η διάμετρος ΑΕ του περιγεγραμμένου κύκλου , του τριγώνου τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Δ έτσι, ώστε .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 13#p307713
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 41#p307741
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 99#p307799
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 06#p307806
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p307840
Β λυκείου
Θέμα 1ο
Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11#p307711
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 23#p307823
Θέμα 2ο
Αν οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες , να βρείτε:
α) την τιμή των λόγων .
β) τις τιμές των για τις οποίες η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 52#p307852
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p307740
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 88#p307788
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 18#p307818
Θέμα 3ο
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη που είναι λύσεις της εξίσωσης και ανήκουν στο ορθογώνιο
του Καρτεσιανού επιπέδου .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 08#p307708
Θέμα 4ο
Έστω ΑΒΓΔ τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο τέτοιο, ώστε . Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΔ. Ο κύκλος κέντρου Α και ακτίνας ΑΗ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Ι και Κ. Να αποδείξετε ότι ΓΙ=ΓΚ = ΒΔ.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 10#p307710
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 05#p307805
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 55#p307855
Γ λυκείου
Θέμα 1ο
Να βρειτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: }\displaystyle{
όπου ψηφία με , διαιρούνται με το .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 21#p307821
Θέμα 2ο
Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και ορίζουν κυρτό επίπεδο σχήμα του οποίου το εμβαδό ισούται με τ.μ. Να προσδιορίσετε την τιμή της πραγματικής παραμέτρου .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 25#p307825
Θέμα 3ο
Δίνεται η αλγεβρική παράσταση
Να απλοποιήσετε την παράσταση και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
, για κάθε τιμή της παραμέτρου .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 90#p307790
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 17#p307817
Θέμα 4ο
Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο, ώστε και . Η παράλληλη ευθεία προς την πλευρά ΑΔ από το μέσο Ε της πλευράς ΓΔ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Ζ. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΓΔΖ τέμνει τις ευθείες ΑΔ και ΒΓ στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Αν οι ευθείες ΓΚ και ΔΛ τέμνονται στο σημείο Θ και οι ευθείες ΑΔ και ΒΓ τέμνονται στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΘ είναι κάθετη προς την ευθεία ΓΔ.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 43#p307743
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 49#p307749
Edit: Γιώργο Ρίζο ευχαριστούμε για τη συμπλήρωση των τελευταίων λύσεων. Θα το έκανα, όπως και για τις εκφωνήσεις, αλλά από αύριο γιατί έπρεπε να τελειώσω κάτι διορθώσεις σήμερα !
Β γυμνασίου
Θέμα 1ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 33#p307733
Θέμα 2ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 44#p307744
Θέμα 3ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 46#p307746
Θέμα 4ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 1#p307751
Γ γυμνασίου
Θέμα 1ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307860
Θέμα 2ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307860
Θέμα 3ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 1#p307861
Θέμα 4ο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 0#p307870
Α λυκείου
Θέμα 1ο
Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 6#p307706
Θέμα 2ο
Oi Θετικοί ακέραιοι είναι τέτοιοι, ώστε οι αριθμοί να είναι θετικοί ακέραιοι.
α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση:
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09#p307709
Θέμα 3ο
Na προσδιορίσετε τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιούν τις εξισώσεις:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 09#p307709
Θέμα 4ο
Δίνεται τρίγωνο , me . Η διάμετρος ΑΕ του περιγεγραμμένου κύκλου , του τριγώνου τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Δ έτσι, ώστε .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 13#p307713
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 41#p307741
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 99#p307799
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 06#p307806
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p307840
Β λυκείου
Θέμα 1ο
Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11#p307711
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 23#p307823
Θέμα 2ο
Αν οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ισότητες , να βρείτε:
α) την τιμή των λόγων .
β) τις τιμές των για τις οποίες η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 52#p307852
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 40#p307740
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 88#p307788
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 18#p307818
Θέμα 3ο
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη που είναι λύσεις της εξίσωσης και ανήκουν στο ορθογώνιο
του Καρτεσιανού επιπέδου .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 08#p307708
Θέμα 4ο
Έστω ΑΒΓΔ τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο τέτοιο, ώστε . Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΔ. Ο κύκλος κέντρου Α και ακτίνας ΑΗ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Ι και Κ. Να αποδείξετε ότι ΓΙ=ΓΚ = ΒΔ.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 10#p307710
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 05#p307805
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 55#p307855
Γ λυκείου
Θέμα 1ο
Να βρειτε πόσοι θετικοί ακέραιοι της μορφής: }\displaystyle{
όπου ψηφία με , διαιρούνται με το .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 21#p307821
Θέμα 2ο
Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και ορίζουν κυρτό επίπεδο σχήμα του οποίου το εμβαδό ισούται με τ.μ. Να προσδιορίσετε την τιμή της πραγματικής παραμέτρου .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 25#p307825
Θέμα 3ο
Δίνεται η αλγεβρική παράσταση
Να απλοποιήσετε την παράσταση και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
, για κάθε τιμή της παραμέτρου .
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 90#p307790
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 17#p307817
Θέμα 4ο
Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο, ώστε και . Η παράλληλη ευθεία προς την πλευρά ΑΔ από το μέσο Ε της πλευράς ΓΔ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Ζ. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΓΔΖ τέμνει τις ευθείες ΑΔ και ΒΓ στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Αν οι ευθείες ΓΚ και ΔΛ τέμνονται στο σημείο Θ και οι ευθείες ΑΔ και ΒΓ τέμνονται στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΘ είναι κάθετη προς την ευθεία ΓΔ.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 43#p307743
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 49#p307749
Edit: Γιώργο Ρίζο ευχαριστούμε για τη συμπλήρωση των τελευταίων λύσεων. Θα το έκανα, όπως και για τις εκφωνήσεις, αλλά από αύριο γιατί έπρεπε να τελειώσω κάτι διορθώσεις σήμερα !
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Κυρ Ιαν 20, 2019 11:56 pm, έχει επεξεργασθεί 8 φορές συνολικά.
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Έχω μία ερώτηση...Είμαι μαθητής της Α' Λυκείου και στο 1ο θέμα πήρα και την περιίπτωση που a+b=0 (λόγω απροσεξίας)...Πόσες μονάδες πιστεύετε ότι θα μου αφαιρεθούν;
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Για λόγους πληρότητας κι επειδή ως τώρα δεν υπάρχουν επίσημες λύσεις στην ιστοσελίδα της ΕΜΕ, δίνω κάποιες απαντήσεις στα θέματα της Γ΄ Γυμνασίου.
Επειδή είναι , από ταυτότητα του Euler, είναι
, οπότε
Εναλλακτικά, κάνουμε τις υψώσεις και τις πράξεις …
Είναι , οπότε ο μικρότερος ακέραιος του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο είναι εξαψήφιος και είναι ο .
Ο μικρότερος επταψήφιος ακέραιος του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο είναι ο . Πράγματι, αν αναλύσουμε το σε , τότε ο επταψήφιος θα έχει ψηφίο εκατομμυρίων το .
Δεν μπορούμε να βρούμε τον μεγαλύτερο ακέραιο του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο , αφού μπορούμε να προσθέσουμε όσες φορές θέλουμε το στα ψηφία του.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Κυρ Ιαν 20, 2019 6:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Οι γωνίες είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν στο τόξο , αφού η αντίστοιχη επίκεντρη είναι η , άρα .
Είναι , ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο, άρα και , οπότε το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα .
Για τον ίδιο λόγο και το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα και .
Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων και , είναι
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Ιαν 21, 2019 10:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη προσέγγιση.
Έστω ότι εμφανίζονται φορές το και φορές το
Προσθέτοντας τις δέκα τριάδες έχουμε
οπότε
και αφού είναι
Έστω οπότε
Αν , τότε με δεκτή την περίπτωση .
Τότε
Αν , τότε αδύνατο.
Έστω οπότε
Αν , τότε με δεκτή την περίπτωση
ή αντίστοιχα .
Τότε .
Αν , τότε αδύνατο.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 20, 2019 6:45 pmΕυκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 4ο.jpg
Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη προσέγγιση.
Ας υποθέσουμε ότι τρεις από τους αριθμούς είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, έστω οι . Τότε τα είναι διαφορετικά μεταξύ τους, άτοπο.
Προφανώς δεν μπορούν να είναι όλοι οι αριθμοί ίσοι μεταξύ τους. Άρα έχουμε ακριβώς δύο διαφορετικούς αριθμούς. Ο ένας από αυτούς θα εμφανίζεται τουλάχιστον τρεις φορές, έστω ο . Τότε η μία από τις τριάδες έχει άθροισμα . Πρέπει λοιπόν . Έστω ότι ο άλλος αριθμός είναι το . Τότε μια άλλη τριάδα έχει άθροισμα οπότε πρέπει . Το εμφανίζεται μόνο μία φορά αφού αλλιώς θα είχαμε και το άθροισμα , άτοπο.
Άρα οι αριθμοί μας είναι οι με κάποια σειρά.
- Βασίλης Καλαμάτας
- Δημοσιεύσεις: 200
- Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
- Τοποθεσία: Λαμία
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Καλημέρα, μια λίγο διαφορετική αντιμετώπιση στο Πρόβλημα 3 της Β Γυμνασίου, κυρίως για την καλύτερη προετοιμασία των μαθητών που θα διαβάσουν στο μέλλον αυτά τα θέματα για τους αντίστοιχους διαγωνισμούς που θα γράψουν.
Έστω οι κολώνες που θα μπουν σε μια από τις μεγαλύτερες πλευρές της πλατείας και οι κολώνες που θα μπουν σε μια από τις μικρότερες πλευρές της πλατείας, τότε από τα δεδομένα ισχύει .
Επειδή το συνολικό πλήθος από τις κολώνες είναι 182, ισχύει (τις 4 κολώνες που βάλαμε στις γωνίες στο άθροισμα τις έχουμε μετρήσει 2 φορές, για αυτό και πρέπει να αφαιρέσουμε 4).
Τότε , άρα και από την προηγούμενη σχέση , δηλαδή , άρα
και .
Τελικά στη μεγαλύτερη πλευρά της πλατείας βάλαμε 62 κολώνες που δημιουργούν 61 διαστήματα των 4 μέτρων, οπότε η μεγαλύτερη πλευρά έχει μήκος 61 επί 4, δηλαδή 244 μέτρα, ενώ στη μικρότερη πλευρά της πλατείας βάλαμε 31 κολώνες που δημιουργούν 60 διαστήματα των 4 μέτρων, οπότε η μικρότερη πλευρά έχει μήκος 30 επί 4, δηλαδή 120 μέτρα.
Καλά αποτελέσματα και καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές!!!
Έστω οι κολώνες που θα μπουν σε μια από τις μεγαλύτερες πλευρές της πλατείας και οι κολώνες που θα μπουν σε μια από τις μικρότερες πλευρές της πλατείας, τότε από τα δεδομένα ισχύει .
Επειδή το συνολικό πλήθος από τις κολώνες είναι 182, ισχύει (τις 4 κολώνες που βάλαμε στις γωνίες στο άθροισμα τις έχουμε μετρήσει 2 φορές, για αυτό και πρέπει να αφαιρέσουμε 4).
Τότε , άρα και από την προηγούμενη σχέση , δηλαδή , άρα
και .
Τελικά στη μεγαλύτερη πλευρά της πλατείας βάλαμε 62 κολώνες που δημιουργούν 61 διαστήματα των 4 μέτρων, οπότε η μεγαλύτερη πλευρά έχει μήκος 61 επί 4, δηλαδή 244 μέτρα, ενώ στη μικρότερη πλευρά της πλατείας βάλαμε 31 κολώνες που δημιουργούν 60 διαστήματα των 4 μέτρων, οπότε η μικρότερη πλευρά έχει μήκος 30 επί 4, δηλαδή 120 μέτρα.
Καλά αποτελέσματα και καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές!!!
Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Γ Γυμνασίου 4.Demetres έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 20, 2019 10:40 pmΓιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 20, 2019 6:45 pmΕυκλείδης Γ΄Γυμνασίου 2018-2019 4ο.jpg
Φαντάζομαι θα υπάρχει και απλούστερη προσέγγιση.
Ας υποθέσουμε ότι τρεις από τους αριθμούς είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, έστω οι . Τότε τα είναι διαφορετικά μεταξύ τους, άτοπο.
Προφανώς δεν μπορούν να είναι όλοι οι αριθμοί ίσοι μεταξύ τους. Άρα έχουμε ακριβώς δύο διαφορετικούς αριθμούς. Ο ένας από αυτούς θα εμφανίζεται τουλάχιστον τρεις φορές, έστω ο . Τότε η μία από τις τριάδες έχει άθροισμα . Πρέπει λοιπόν . Έστω ότι ο άλλος αριθμός είναι το . Τότε μια άλλη τριάδα έχει άθροισμα οπότε πρέπει . Το εμφανίζεται μόνο μία φορά αφού αλλιώς θα είχαμε και το άθροισμα , άτοπο.
Άρα οι αριθμοί μας είναι οι με κάποια σειρά.
Κάπως διαφορετικά
1. Κατ' αρχήν δεν μπορεί να υπάρχει κανείς ζυγός (Ζ) στην πεντάδα γιατί τότε σχηματίζεται σε κάθε περίπτωση κάποια τριάδα με άρτιο άθροισμα. Αρα όλοι μονοί (Μ).
2. Εφόσον δύο τριάδες με δύο κοινά χαρτιά και ένα διαφορετικό μπορεί να διαφέρουν ως προς το άθροισμα το πολύ κατά , τότε τα διαφορετικά χαρτιά θα διαφέρουν κατά το πολύ. Επειδή αυτό θα ισχύει σε κάθε δύο τέτοιες τριάδες σημαίνει ότι το ελάχιστο και το μέγιστο από τα χαρτιά θα διαφέρουν το πολύ κατά .
Από τις 1,2 έχουμε ότι οι πιθανές τιμές των χαρτιών είναι δύο διαδοχικοί μονοί αριθμοί και εν προκειμένω ή
Ετσι εύκολα με δοκιμές προκύπτει ότι οι αποδεκτές πεντάδες είναι η εξής μία: με τυχαία σειρά.
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 34 επισκέπτες