ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

georgenik8 · #21

Είμαι Β Λυκείου και έδωσα σήμερα. Στο Πρόβλημα 1 έκανα στο τέλος ένα αριθμητικό λάθος και αντί για 5 μου βγήκε 43/11. Είναι καθαρά αριθμητικό και αναρωτιέμαι πόσο θα μου κόψουν. Επίσης στο Πρόβλημα 3 βρήκα και τις τρεις λύσεις άλλα δεν απέδειξα ότι είναι μοναδικές. Πόσο λέτε να πάρω από αυτήν?

giannis_drav · #22

sokpanvas έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:08 pm

LeoKoum έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:03 pm
Στο προβλημα 2 της Γ Λυκειου εγω θεωρησα συναρτηση βρηκα το προσημο της και υπολογισα το εμβαδον με ολοκληρωμα και βρηκα m=2.
Μαθητης Γ Λυκειου
Ολοκλήρωμα για να γράψεις το εμβαδόν τραπεζίου συναρτήσει του ; Πάντως και εγώ βρήκα

Κι εγώ με εμβαδόν τραπεζίου, αφού μετασχημάτισα τον τύπο της πρώτης συνάρτησης, βρήκα m=2. Στο πρόβλημα 3 πόσους αριθμούς βρήκατε; Εγώ 252.

Μενέλαος · #23

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:29 pm
Θέμα 1 β' γυμνασίου

Να βρείτε την τιμή της παράστασης

$A=\left ( \dfrac{3\beta ^{2}+a^{2}}{b^{2}}-10 \right )\left ( \dfrac{a^{2}-3b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{13}{3} \right )$
για $\dfrac{a}{\beta}=3$

Λύση:

$A=\left ( \dfrac{3\beta ^{2}}{\beta^{2}}+\dfrac{a^{2}}{\beta^2} -10\right )\left ( \dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{3\beta^{2}}{a^{2}}+\dfrac{13}{3} \right )=\left ( 3+\left ( \dfrac{a}{\beta} \right )^2 -10\right )\left ( 1+3\left ( \dfrac{a}{\beta} \right )^{-2} +\dfrac{13}{3}\right )=...\left ( 3+9-10 \right )\left ( 1-\dfrac{2}{3} +\dfrac{13}{3}\right )=2\cdot \dfrac{15}{3}=5\Leftrightarrow A=5$

Απλά τριάντα δια τρία κάνει 10

#24

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:17 pm

Επίσης θα ήθελα να ρωτήσω : το σχήμα βαθμολογείται ; ( δηλαδή τι γίνεται σε περίπτωση που δεν υπάρχει σχήμα )

Απλά ο διορθωτής θα φτιάξει δικό του σχήμα. Θα τον παιδέψεις λίγο.

Xriiiiistos · #25

2o θέμα β λυκείου συνοπτικαά εκφώνηση

$xyz\neq 0,x+2y=y+3z=z+5x$
a) $\frac{x}{y} \kappa \alpha \iota \frac{z}{y}$ .
$b)x^{2}+z^{2}+y^{2}-2y-144$ τις τιμές των μεταβλητών που την ελαχιστοποιούν

Λύση

Από τις 2 πρώτες εξισώσης $\frac{x+y}{3}=z$ Από την πρώτη και την τελαυταία $x+2y(=+y+5x)=\frac{x+y}{3}+5x\Leftrightarrow 13x=5y\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{5}{13}$

Me τον ίδιο τρόπο βγάζουμε $\frac{z}{y}=\frac{6}{13}$

Στο δεύτερο ερώτημα χαρίς το πρώτο αντικαθισούμε το $x^{2}+z^{2}=\frac{61}{169}y^{2}$

Οπότε η παράσταση γράφεται $(\frac{169}{61}+1)y^{2}-2y-144$ Που ελαχιστοποιείται για y= $-2\frac{-2}{\frac{169}{61}}$ και μετά πράξεις(ζητάει μόνο τις μεταβλητές όχι ποιαν είναι η ελάχιστη παράσταση), Δεν νομίζω να έχω κάνει λάθος τις πράξειςς

#26

ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) Έστω

το μέσο του $B\Delta$ . Τότε τα τρίγωνα BOZ

και $\Gamma O\Delta$ είναι ίσα από (ΠΓΠ), αφού $OB=O\Gamma=R$ , $BZ=\Gamma\Delta=B\Gamma/2$ , και $O\widehat{B}Z=O\widehat{\Gamma}\Delta=30^\circ$ , αφού το τρίγωνο $BO\Gamma$ είναι ισοσκελές με $B\widehat{O}\Gamma=2B\widehat{A}\Gamma=120^\circ.$

Αν $OH\perp B\Gamma$ , τότε από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο OHΖ

έχουμε

$OZ^2=OH^2+ZH^2=OH^2+\dfrac{a^2}{36}$ ,

όπου $a=B\Gamma=3Z\Delta=6ZH.$

Αλλά, στο ορθογώνειο OHB

είναι $BH=\dfrac{\sqrt{3}OB}{2}$ , δηλ. $\dfrac{a}{2}=\dfrac{\sqrt{3}R}{2}$ ή $a=\sqrt{3}R$ και $OH=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{R}{2}.$

Συνεπώς, $OZ^2=\dfrac{R^2}{4}+\dfrac{3R^2}{36}=\dfrac{R^2}{3}$ ,

και άρα $OZ=\dfrac{R}{\sqrt{3}}=\dfrac{a}{3}=Z\Delta,$ που σημαίνει ότι το (ισοσκελές) τρίγωνο $ZO\Delta$ είναι ισόπλευρο. Άρα,

$\Delta\widehat{O}\Gamma=60^\circ-O\widehat{\Gamma}\Delta=60^\circ-30^\circ=30^\circ.$

Επεξεργασία- Προσθήκη- 4:04μμ.

Άλλος τρόπος είναι $\dfrac{BZ}{ZH}=2=\dfrac{BO}{OH}$ , κι άρα η

είναι διχοτόμος της $B\widehat{O}H$ που είναι ίση με $60^\circ$ . Άρα $D\widehat{O}\Gamma=B\widehat{O}Z=30^\circ$ .

(β) Η

είναι παράλληλη στη $B\Gamma$ κι άρα το εμβαδό του $BE\Gamma$ είναι ίσο με το εμβαδό του $BF\Gamma$ .

Συνεπώς, το εμβαδό του τετραπλεύρου $ABE\Gamma$ είναι ίσο με αυτό του $ABF\Gamma$ .

To $ABF\Gamma$ είναι ισοσκελές τραπέζιο που έχει ίσες και κάθετες διαγωνίους $AF=B\Gamma.$ Πράγματι, είναι $F\widehat{B}\Gamma=45^\circ=A\widehat{\Gamma}B$ κι άρα $FB//A\Gamma$ , ενώ εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Gamma FA$ είναι ίσα.

Συνεπώς, το ζητούμενο εμβαδό είναι a^2/2.

LeoKoum · #27

Το εκανα με ολοκληρωμα για μην κανω σχηματα. Βγαινει και με εμβαδο τραπεζιου.

#28

Πρόβλημα 4 Γ Λυκείου

: Ευκλείδης 2019 G Λυκείου.png (18.77 KiB) Προβλήθηκε 3384 φορές

Φέρνω $\displaystyle \Gamma {\rm T}||{\rm A}\Delta .$ Είναι $\displaystyle {\rm B}\Gamma + {\rm A}\Delta = \Gamma \Delta \Leftrightarrow \Gamma {\rm T} + {\rm A}\Delta = \Gamma \Delta$ και από γνωστή άσκηση του σχολικού

$\displaystyle \Gamma \widehat {\rm Z}\Delta = 90^\circ .$ Άρα $\Gamma \Delta$ είναι διάμετρος του κύκλου και εύκολα τώρα το $\Delta$ είναι ορθόκεντρο του τριγώνου $\displaystyle \Gamma \Theta {\rm M}.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #29

Θέμα 2 β' γυμνασίου

Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές με $AB=A\Gamma$ και $\widehat{\Gamma }=2\widehat{A}$ . Το τετράπλευρο $A\Gamma \Delta E$ είναι τετράγωνο.

(α) Να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία $\widehat{AEB}$
(β)Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες $\widehat{BA\Delta}$ και $\widehat{BE\Gamma}$ .

(το ήδη δοσμένο σχήμα της άσκησης είναι αριστερά στο πιο κάτω σχήμα)
Λύση:

(α)
Eίναι $\widehat{B}+\widehat{\Gamma }+\widehat{A}=180\Leftrightarrow 2\cdot 2\widehat{A}=180\Leftrightarrow \widehat{A}=36^{\circ}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat{\Gamma }=\widehat{B}=72^{\circ}$

Επειδή $AE\Delta\Gamma$ τετράγωνο είναι $AB=A\Gamma=AE$ ,δηλαδή ABE

ισοσκελές άρα
$2\cdot \widehat{AEB}+36+90=180^{\circ}\Leftrightarrow \widehat{AEB}=27^{\circ}$
(β)
Οι διαγώνιες του τετραγώνου διχοτομούν τις ορθές του γωνίες άρα
$\widehat{BA\Delta }=\widehat{A}+45=36+45=81^{\circ}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat{BE\Gamma }=45-\widehat{BEA}=45-27=18^{\circ}$
Άλλος τρόπος
Φέρουμε κύκλο με κέντρο

και ακτίνα

.
$\widehat{BE\Gamma} =\dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{36}{2}=18.$
Άρα
$\widehat{AEB}=27$
Υπάρχουν και άλλες πολλές λύσεις της άσκησης ειδικά για το β ερώτημα.

Prødigy · #30

Καλησπέρα.Το θέμα 1 βγαίνει πιο εύκολα με Euler.(Γ' Γυμνασίου)
Γενικά ένας αρκετά δύσκολος Ευκλείδης από κάθε άποψη.
Καλά αποτελέσματα.

ΥΓ Θα μπορούσε κάποιος να σχολιάσει τα θέματα και το πώς τα βρήκαν οι μαθητές;
Καλό θα ήταν να ανέβει το πλάνο βαθμολόγησης στο μέλλον.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #31

Θέμα 3 β' γυμνασίου

Για την φωταγώγηση μιας πλατείας ,σχήματος ορθογωνίου,τοποθετήθηκαν περιμετρικά 182

κολώνες φωτισμού.Τέσσερις από αυτές τοποθετήθηκαν στις γωνίες της πλατείας.Στη συνέχεια τοποθετήθηκαν και οι υπόλοιπες 178

στην περίμετρο της πλατείας έτσι ώστε κάθε δύο διαδοχικές κολώνες απέχουν

μέτρα.Επίσης διαπιστώθηκε ότι η μεγαλύτερη πλευρά της πλατείας είχε διπλάσιες κολώνες από τη μικρή πλευρά,όπου σε κάθε πλευρά μετράμε και τις κολώνες στις γωνίες.Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών της πλατείας.
Σημείωση:Θεωρείστε τις κολώνες πάνω στις πλευρές της πλατείας ως σημεία.

Λύση:

Έστω x,y

τα μήκη της μεγάλης και της μικρής πλευράς αντίστοιχα

.
Έτσι στην μεγάλη πλευρά θα μπουν $\dfrac{x}{4}+1$ κολώνες και στην μικρή $\dfrac{y}{4}+1$ .
Από την εκφώνηση έχουμε $\dfrac{x}{4}+1=2\cdot \left ( \dfrac{y}{4}+1 \right )\Leftrightarrow \dfrac{x}{4}-\dfrac{2y}{4}=1\Leftrightarrow x=2y+4$
Επίσης ο συνολικός αριθμός των κολώνων είναι 182

άρα
$2\cdot \left ( \dfrac{x}{4}+1 \right )+2\cdot \left ( \dfrac{y}{4}-1 \right )=182\Leftrightarrow \dfrac{2x}{4}+\dfrac{2y}{4}=182\Leftrightarrow x+y=364\overset{x=2y+4}{\Leftrightarrow }3y=360\Leftrightarrow y=...=120\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x=244$

Σημείωση: Το $\dfrac{y}{4}-1 \right$ προκύπτει γιατί τις δύο κολόνες στις γωνίες τις μετρήσαμε για την άλλη διάσταση.

#32

Μια άσκηση παρόμοια με αυτή του ΘΕΜΑΤΟΣ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ βρίσκεται εδώ.

Η ιδέας της λύση που δώσαμε τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει μια λύση διαφορετική από αυτή που δώσαμε νωρίτερα σήμερα εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #33

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:24 pm
Θεωρώ.......να ανεβάζονται λύσεις χωρίς να υπάρχουν εκφωνήσεις.ΑΙσθανομαι σαν να ....στο πηγάδι.

Να σημειώσω ότι όταν το έγραψα αυτό οι εκφωνήσεις δεν είχαν ανέβει.
Ταυτόχρονα με το γράψιμο το δικό μου είχε ανεβάσει τα θέματα ο Μπάμπης ο Στεργίου
ο οποίος μετά τα έσβησε όπως είχε πει .
Ακριβώς έτσι είχε γίνει και στον Θαλή.

Nick1990 · #34

Διαφορετικά η Γεωμετρία της Γ, μαζί με μια ανάλυση της σκέψης:

Γενικά, όταν ζητείται τέτοια καθετότητα σε σχήμα αυτού του τύπου, η εμπειρία οδηγεί στο να εξετάσουμε μήπως υπάρχει ορθόκεντρο. Στο συγκεκριμένο σχήμα, όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη λύση, οι άλλες 2 καθετότητες που χρειάζονται ισοδυναμούν με το να είναι διάμετρος η $\Gamma \Delta$ στον περιγεγραμμένο του $\Gamma \Delta \textrm{Z}$ . Εκείνη τη στιγμή, δεν γνωρίζουμε εάν ισχύει αυτό, όμως αξίζει να το εξετάσουμε διότι είναι κάτι που αφορά ένα μικρό μέρος του σχήματος, άρα αναμένουμε να είναι κάτι που μπορούμε εύκολα είτε να το αποδείξουμε είτε να το διαψεύσουμε.

Φέρνουμε λοιπόν την $\Gamma \textrm{A}$ και έστω $\Sigma$ το μέσο της, οπότε $\textrm{E}\Sigma =\parallel \frac{\textrm{A}\Delta}{2}$ , και επιπλέον $\textrm{E}, \Sigma, \textrm{Z}$ είναι συνευθειακά. Αν $\textrm{P}$ είναι το μέσο της $\textrm{A}\textrm{B}$ , τότε $\Sigma\textrm{P} =\parallel \frac{\textrm{B}\Gamma}{2}$ , με $\textrm{P}\Sigma\textrm{Z}$ ισοσκελές (εύκολα απ' τις παραλληλίες). Άρα $\Sigma\textrm{Z} = \Sigma\textrm{P} = \frac{\textrm{B}\Gamma}{2}$ και άρα $\textrm{EZ} = \textrm{E}\Sigma + \Sigma\textrm{Z} = \frac{\textrm{A}\Delta}{2} + \frac{\textrm{B}\Gamma}{2} = \frac{\Gamma\Delta}{2} = \textrm{E}\Gamma = \textrm{E}\Delta$ , και το ζητούμενο έπεται.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #35

Θέμα 4 β' γυμνασίου
(α)Να προσδιορίσετε το μικρότερο δυνατό ακέραιο (διευκρινίστηκε από την Ε.Μ.Ε θετικό ακέραιο) του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο τον αριθμό 12600

.
(β)Να προσδιορίσετε τον μικρότερο δυνατό εξαψήφιο ακέραιο (διευκρινίστηκε από την Ε.Μ.Ε θετικό ακέραιο) του οποίου τα ψηφία έχουν γινόμενο 12600

.

Λύση:

(α)
Αναλύσουμε το 12600

σε γινόμενο πρώτων, $12600=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^2\cdot 7$
Έχουμε

δεκτό σαν ψηφίο

δεκτό σαν ψηφίο

,επειδή είναι μεγαλύτερο του θα πάρουμε τα ψηφία ξεχωριστά

δεκτό

Άρα έχουμε τα ψηφία {5,5,7,8,9}

με τα οποία ο μικρότερος αριθμός είναι ο 55789

(πρέπει να τα χρησιμοποιήσουμε όλα)

(β)
Βάζουμε έναν άσσο μπροστά στον 55789

και για να γίνει εξαψήφιος παίρνουμε 155789

.

Eleftheria · #36

Οι λύσεις για το β ερώτημα του δεύτερου θέματος της β λυκείου ποιες είναι. Δεν τις έχει ανεβάσει κάνεις.

Giorgosnast · #37

Εγώ θα εθελα να μάθω αν γνωρίζετε πόσους βαθμούς πρέπει να συγκεντρώσει ένας μαθητής προκειμένου να περάσει στην επόμενη φάση;

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #38

Eleftheria έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 3:23 pm
Οι λύσεις για το β ερώτημα του δεύτερου θέματος της β λυκείου ποιες είναι. Δεν τις έχει ανεβάσει κάνεις.

Έχουν βγει λύσεις στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε

AquaticLand · #39

Εύχομαι καλά αποτελέσματα σε ολους!Ξερετε Μηπως από που μπορει κανεις να δει το σχήμα βαθμολόγησης οταν ανακοινωθεί;Επισης,θεωρείτε οτι τα θέματα της γ γυμν ηταν πιο δυσκολα από τις υπόλοιπες χρονιές;
Ευχαριστω!

Prødigy · #40

AquaticLand έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 19, 2019 3:29 pm
θεωρείτε οτι τα θέματα της γ γυμν ηταν πιο δυσκολα από τις υπόλοιπες χρονιές;
Ευχαριστω!

Ναι φυσικά και ήταν δυσκολότερα.Στην τάξη μου οι υπόλοιποι δεν έγραψαν σχεδόν τίποτα...Κάποιοι προσπάθησαν να βρουν το 4 με δοκιμές.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Μέλη σε σύνδεση