ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Γ' Λυκείου
Πρόβλημα 3 Δίνεται η αλγεβρική παράσταση
Να απλοποιήσετε την παράσταση και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
, για κάθε τιμή της παραμέτρου .
Λύση:
Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα
.
1. Για η εξίσωση γράφεται
Ο αριθμός των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί με τα σημεία τομής της ευθείας και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης . Για την είναι . Οπότε είναι γνησίως αύξουσα σε καθέ ένα από τα διαστήματα ορισμού της και θα τέμενει σε μοναδικό σημείο την σε καθένα από αυτά. Σχεδιαζουμε την γραφική παράστασή της
απλή εποπτεία της οποίας μας δίνει τον αριθμό των λύσεων για τις διάφορες τιμές του .
Δυο λύσεις αν .
Μια λύση αν ή
2. Για η εξίσωση γίνεται ή .
Οπότε σε αυτή την περίπτωση έχουμε:
Mια λύση αν
Δυο λύσεις αν
Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά
Δυο ρίζες αν
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν
Πρόβλημα 3 Δίνεται η αλγεβρική παράσταση
Να απλοποιήσετε την παράσταση και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
, για κάθε τιμή της παραμέτρου .
Λύση:
Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα
.
1. Για η εξίσωση γράφεται
Ο αριθμός των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί με τα σημεία τομής της ευθείας και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης . Για την είναι . Οπότε είναι γνησίως αύξουσα σε καθέ ένα από τα διαστήματα ορισμού της και θα τέμενει σε μοναδικό σημείο την σε καθένα από αυτά. Σχεδιαζουμε την γραφική παράστασή της
απλή εποπτεία της οποίας μας δίνει τον αριθμό των λύσεων για τις διάφορες τιμές του .
Δυο λύσεις αν .
Μια λύση αν ή
2. Για η εξίσωση γίνεται ή .
Οπότε σε αυτή την περίπτωση έχουμε:
Mια λύση αν
Δυο λύσεις αν
Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά
Δυο ρίζες αν
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Σάβ Ιαν 19, 2019 10:14 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 28
- Εγγραφή: Τρί Οκτ 04, 2016 3:07 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Για τη β λυκείου τι πιστεύετε; Που θα κυμανθούν οι βάσεις;
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Όχι πάλι η ίδια συζήτηση.....!Eleftheria έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 6:58 pmΓια τη β λυκείου τι πιστεύετε; Που θα κυμανθούν οι βάσεις;
Παρακαλούμε θερμά, οι αναρτήσεις να περιορισθούν σε λύσεις και παρατηρήσεις επί των θεμάτων.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε στο forum γιατί οι λύσεις δεν ανοίγουν στο site της ΕΜΕ, μπορούμε;thanos-mathimatika έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 6:38 pmΑυτή τη στιγμή στις 18:40 οι λύσεις στο site της ΕΜΕ δεν ανοίγουν.....μάλλον τις κατέβασαν για να διορθώσουν τα λάθη??giannis_drav έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 5:39 pmΟι επίσημες λύσεις της ΕΜΕ έχουν αναρτηθεί και δεν δίνουν για κάθε τιμή του α τουλάχιστον δύο ρίζες. - Γ' λυκείου
Επίσης, εν τω μεταξύ, έχετε όλο το χρόνο να ανεβάσετε κάποια λύση σας εδώ.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pmΓ' Λυκείου
Πρόβλημα 3 Δίνεται η αλγεβρική παράσταση
Να απλοποιήσετε την παράσταση και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών λύσεων της εξίσωσης
, για κάθε τιμή της παραμέτρου .
Λύση:
Η παράσταση γράφεται ισοδύναμα
.
1. Για η εξίσωση γράφεται
Ο αριθμός των λύσεων της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί με τα σημεία τομής της ευθείας και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης . Για την είναι . Οπότε είναι γνησίως αύξουσα σε καθέ ένα από τα διαστήματα ορισμού της και θα τέμενει σε μοναδικό σημείο την σε καθένα από αυτά. Σχεδιαζουμε την γραφική παράστασή της
eukleidhs_2019_glukeiou_pr3.png
απλή εποπτεία της οποίας μας δίνει τον αριθμό των λύσεων για τις διάφορες τιμές του .
Δυο λύσεις αν .
Μια λύση αν ή
2. Για η εξίσωση γίνεται ή .
Οπότε σε αυτή την περίπτωση έχουμε:
Mια λύση αν
Δυο λύσεις αν
Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά
Μία ρίζα αν
Δυο ρίζες αν
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν
Τι να πω. Παντως εγω βρηκα οτι για ολους τους πραγματικους α η εξισωση εχει τουλαχιστον 2 πραγματικες ριζες. για παραδειγμα για α=7 η εξισωση εχει 2 ακριβως ριζες τις χ=0 και χ=8 και για α=-7 χ=0 και χ=-8
τελευταία επεξεργασία από LeoKoum σε Σάβ Ιαν 19, 2019 7:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
ΘΕΜΑ 4-Α ΛΥΚΕΙΟΥ
(α) (Άλλος τρόπος από αυτόν που δώσαμε εδώ)
Εάν είναι το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το , τότε το είναι ρόμβος,ως παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους (ή απλώς επειδή όλες οι πλευρές του είναι ίσες με την ακτίνα).
Αφού το διαιρεί τη διάμεσο σε λόγο είναι το βαρύκεντρο του ισόπλευρου τριγώνου .
Συνεπώς, η διχοτομεί την γωνία κι άρα
Φιλικά,
Αχιλλέας
(α) (Άλλος τρόπος από αυτόν που δώσαμε εδώ)
Εάν είναι το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το , τότε το είναι ρόμβος,ως παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους (ή απλώς επειδή όλες οι πλευρές του είναι ίσες με την ακτίνα).
Αφού το διαιρεί τη διάμεσο σε λόγο είναι το βαρύκεντρο του ισόπλευρου τριγώνου .
Συνεπώς, η διχοτομεί την γωνία κι άρα
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Συνημμένα
-
- euclid_A_2019_no4_2.png (25.27 KiB) Προβλήθηκε 2712 φορές
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
-
- Δημοσιεύσεις: 28
- Εγγραφή: Τρί Οκτ 04, 2016 3:07 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
ΘΕΜΑ 4- Β ΛΥΚΕΙΟΥ
**********************************************************************************************
Το πρόβλημα αυτό βγαίνει άμεσα από τις παρακάτω "γνωστές" ιδιότητες του ορθόκεντρου ενός τριγώνου:
(1) Το συμμετρικό του ορθόκεντρου ενός τριγώνου ως προς (κάθε) πλευρά του ανήκει στον περιγεγραμμένο κυκλο του τριγώνου.
(2) Αν είναι το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής τριγώνου , τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
**********************************************************************************************
Λύση: Από την ιδιότητα (1), τα συμμετρικά σημεία και του ως προς τις πλευρές και είναι συνευθειακά με τα και αντίστοιχα, και θα ανήκουν στον . Επίσης, ισχύει , κι άρα θα ταυτίζονται με τα και , αντίστοιχα.
Έτσι, τα τμήματα και είναι εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το , αφού , κι άρα είναι ίσα.
Από την ιδιότητα (2), αφού το είναι αντιδιαμετρικό του , το τετράπλευρο είναι παραληλόγραμμο. Βέβαια, ο ισχυρισμός αυτός έπεται άμεσα αφού , και ,
Συνεπώς, το είναι ισοσκελές τραπέζιο, αφού και , κι άρα
Φιλικά,
Αχιλλέας
**********************************************************************************************
Το πρόβλημα αυτό βγαίνει άμεσα από τις παρακάτω "γνωστές" ιδιότητες του ορθόκεντρου ενός τριγώνου:
(1) Το συμμετρικό του ορθόκεντρου ενός τριγώνου ως προς (κάθε) πλευρά του ανήκει στον περιγεγραμμένο κυκλο του τριγώνου.
(2) Αν είναι το αντιδιαμετρικό σημείο της κορυφής τριγώνου , τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
**********************************************************************************************
Λύση: Από την ιδιότητα (1), τα συμμετρικά σημεία και του ως προς τις πλευρές και είναι συνευθειακά με τα και αντίστοιχα, και θα ανήκουν στον . Επίσης, ισχύει , κι άρα θα ταυτίζονται με τα και , αντίστοιχα.
Έτσι, τα τμήματα και είναι εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το , αφού , κι άρα είναι ίσα.
Από την ιδιότητα (2), αφού το είναι αντιδιαμετρικό του , το τετράπλευρο είναι παραληλόγραμμο. Βέβαια, ο ισχυρισμός αυτός έπεται άμεσα αφού , και ,
Συνεπώς, το είναι ισοσκελές τραπέζιο, αφού και , κι άρα
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Συνημμένα
-
- euclid_B_2019_no4.png (28.31 KiB) Προβλήθηκε 2641 φορές
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Α Λυκείου Θέμα 4 ( Γεωμετρία) .
Επικεντρώνουμε στο τρίγωνο . Λόγω της - ρας και Π.Θ. ( επιτρέπεται ; ) ,
βρίσκουμε και το τρίγωνο προκύπτει ορθογώνιο ...
Επικεντρώνουμε στο τρίγωνο . Λόγω της - ρας και Π.Θ. ( επιτρέπεται ; ) ,
βρίσκουμε και το τρίγωνο προκύπτει ορθογώνιο ...
-
- Δημοσιεύσεις: 7
- Εγγραφή: Κυρ Ιουν 17, 2018 3:58 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Γειά σας!Ξέρει μήπως κανείς από ποιά ιστοσελίδα μπορούμε να δούμε το σχέδιο βαθμολόγησης όταν ανακοινωθεί;
Ευχαριστώ
Ευχαριστώ
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Καλησπέρα μέλη του Mathematica!! Πώς σας φάνηκαν τα θέματα της Β Λυκείου; Συγκριτικά με τα περσινά, τι άποψη έχετε ;
-
- Δημοσιεύσεις: 3
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:14 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Συμφωνώ στα αποτελέσματα εκτός για α=2 ή α=-2Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pmΓ' Λυκείου
Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά
Δυο ρίζες αν
Δυο ρίζες αν
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν
π.χ. για α =2 η εξίσωση γίνεται η οποία έχει ξεκάθαρα 3 λύσεις.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Ναι σωστά, διόρθωσα και την αρχική ανάρτησή μου. Νομίζω η απάντηση είναι, αν δεν έχω αφήσει λάθοςthanos-mathimatika έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 10:11 pmΣυμφωνώ στα αποτελέσματα εκτός για α=2 ή α=-2Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pmΓ' Λυκείου
Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά
Δυο ρίζες αν
Δυο ρίζες αν
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν
π.χ. για α =2 η εξίσωση γίνεται η οποία έχει ξεκάθαρα 3 λύσεις.
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 19, 2019 6:56 pmΓ' Λυκείου
Συνοψίζοντας τις περιπτώσεις (1),(2) έχουμε τελικά
Δυο ρίζες αν
Τρεις ρίζες αν
Τέσσερις ρίζες αν
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Πρόβλημα-3 Γ Λυκείου
Η ευθεία στο σχήμα, περιστρέφεται γύρω απ' το σημείο (εξαιρουμένης της κατακόρυφης).
Είναι φανερό ότι τέμνει την καμπύλη τουλάχιστον σε δύο σημεία (από δύο έως και τέσσερα).
Αυτή δεν είναι λύση, απλώς μία διαπίστωση.
Είναι φανερό ότι τέμνει την καμπύλη τουλάχιστον σε δύο σημεία (από δύο έως και τέσσερα).
Αυτή δεν είναι λύση, απλώς μία διαπίστωση.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
ΘΕΜΑ 2- Β ΛΥΚΕΙΟΥ
(α) Είναι και . Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη παίρνουμε
, κι άρα .
Έτσι, .
Εύκολα έπεται ότι και
(β) Αν εργαστούμε συναρτήσει του οι πράξεις είναι (ίσως) πιο εύκολες.
Έχουμε και .
Η παράσταση είναι ίση με
και άρα παρουσιάζει ελάχιστο για , και
και
Φιλικά,
Αχιλλέας
(α) Είναι και . Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη παίρνουμε
, κι άρα .
Έτσι, .
Εύκολα έπεται ότι και
(β) Αν εργαστούμε συναρτήσει του οι πράξεις είναι (ίσως) πιο εύκολες.
Έχουμε και .
Η παράσταση είναι ίση με
και άρα παρουσιάζει ελάχιστο για , και
και
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
ΘΕΜΑ 1- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Παρατηρούμε ότι , και άρα ο
είναι πολλαπλάσιο του 37 αν και μόνο αν ο είναι πολλαπλάσιο του 37.
Αφού , υπάρχουν αριθμοί της μορφής που είναι πολ/σια του 37, οι:
, , ...,
Αφού το μπορεί να λάβει 9 δυνατές τιμές: , υπάρχουν συνολικά τέτοιοι αριθμοί .
Παρατηρούμε ότι , και άρα ο
είναι πολλαπλάσιο του 37 αν και μόνο αν ο είναι πολλαπλάσιο του 37.
Αφού , υπάρχουν αριθμοί της μορφής που είναι πολ/σια του 37, οι:
, , ...,
Αφού το μπορεί να λάβει 9 δυνατές τιμές: , υπάρχουν συνολικά τέτοιοι αριθμοί .
-
- Δημοσιεύσεις: 3
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:21 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Τις λύσεις τις έσβησαν και λογικά θα τις ανεβάσουν ξανά χωρίς λάθη.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
ΘΕΜΑ 1- Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Μετά την ενδεδειγμένη λύση του Γιώργου εδώ, ας δώσουμε μια εναλλακτική.
Η λύση αυτή βασίζεται στην εύρεση των τιμων που μηδενίζουν τις παραστάσεις μέσα στα "απόλυτα": και και τη διάκριση περιπτώσεων στη συνέχεια.
Λύση. Προφανώς και εύκολα βρίσκουμε
Έχουμε τις περιπτώσεις:
1)
Τότε , κι άρα η εξίσωση γίνεται , που δίνει (δεκτή).
2) .
Τότε , οπότε η εξίσωση γράφεται , ή ισοδύναμα
, που δίνει (δεκτή).
3) .
Η εξίσωση είναι αδύνατη αφού τότε
Φιλικά,
Αχιλλέας
Μετά την ενδεδειγμένη λύση του Γιώργου εδώ, ας δώσουμε μια εναλλακτική.
Η λύση αυτή βασίζεται στην εύρεση των τιμων που μηδενίζουν τις παραστάσεις μέσα στα "απόλυτα": και και τη διάκριση περιπτώσεων στη συνέχεια.
Λύση. Προφανώς και εύκολα βρίσκουμε
Έχουμε τις περιπτώσεις:
1)
Τότε , κι άρα η εξίσωση γίνεται , που δίνει (δεκτή).
2) .
Τότε , οπότε η εξίσωση γράφεται , ή ισοδύναμα
, που δίνει (δεκτή).
3) .
Η εξίσωση είναι αδύνατη αφού τότε
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
ΘΕΜΑ 2-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Παρατηρούμε ότι
με το ίσο αν και μόνο αν από την τριγωνική ανισότητα, δηλαδή, αφού , αν και μόνο αν
.
Αν , τότε , ενώ αν , τότε .
Συνεπώς, οι κορυφές του πολυγώνου είναι , , , .
Το εμβαδό του πολυγώνου μπορεί να υπολογιστεί ως εμβαδό τραπεζίου.
Γενικότερα, όμως, από shoelace formula, αφού και , το εμβαδό του είναι
Άρα, αφού , έπεται ότι
Φιλικά,
Αχιλλέας
Παρατηρούμε ότι
με το ίσο αν και μόνο αν από την τριγωνική ανισότητα, δηλαδή, αφού , αν και μόνο αν
.
Αν , τότε , ενώ αν , τότε .
Συνεπώς, οι κορυφές του πολυγώνου είναι , , , .
Το εμβαδό του πολυγώνου μπορεί να υπολογιστεί ως εμβαδό τραπεζίου.
Γενικότερα, όμως, από shoelace formula, αφού και , το εμβαδό του είναι
Άρα, αφού , έπεται ότι
Φιλικά,
Αχιλλέας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες