Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα της 7ης τάξης.

Πρόβλημα 1. Ο Νιούτ θέλει να μεταφέρει εννιά μαγικά πλάσματα βάρους 2,3,4,5,6,7,8,9

και

κιλών με τρεις βαλίτσες, από τρία πλάσματα στη καθεμία. Κάθε βαλίτσα πρέπει να ζυγίζει λιγότερο από

κιλά. Αν το βάρος κάποιου πλάσματος διαιρείται με το βάρος κάποιου άλλου της ίδιας βαλίτσας, τότε τα πλάσματα μαλώνουν μεταξύ τους. Πως πρέπει να διανείμει ο Νιούτ τα πλάσματα στις βαλίτσες, ώστε κανένα τους να μη μαλώσει; [4 μόρια]

Πρόβλημα 2. Για πρωινό μια ομάδα

ελεφάντων και

ιπποπόταμων έφαγε

σφαιρικά καρπούζια και

κυβικά, και μια ομάδα των

ελεφάντων και

ιπποπόταμων

σφαιρικά και

κυβικά καρπούζια. Όλοι οι ελέφαντες έφαγαν από ίσο αριθμό καρπουζιών (το ίδιο ακέραιο αριθμό). Και οι ιπποπόταμοι έφαγαν από ίσο αριθμό καρπουζιών. Αλλά ένα είδος των θηλαστικών τρώει και σφαιρικά και κυβικά καρπούζια, όμως το άλλο είναι εκλεκτικό και τρώει καρπούζια μόνο τις ίδιας μορφής. Προσδιορίστε, ποιό είδος (ελέφαντες, ιπποπόταμοι) είναι εκλεκτικό και με ποια μορφή καρπουζιών τρέφεται. [5 μόρια]

Πρόβλημα 3. Δυο ίσα τρίγωνα είναι τοποθετημένα στο εσωτερικό ενός τετραγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε τις γωνίες τους. [6 μόρια]

: mmo_2019_class7_pr3.PNG (7.36 KiB) Προβλήθηκε 1201 φορές

Πρόβλημα 4. Υπάρχουν τρεις σωροί των

βότσαλων. Ο Γιώργος και ο Γιάννης παίζουν με την σειρά, ξεκινάει ο Γιώργος. Με μια κίνηση πρέπει να ενωθούν δυο σωροί, ύστερα να μοιραστούν αυτά τα βότσαλα σε τέσσερις σωρούς. Όποιος δεν μπορεί να κάνει κίνηση, χάνει. Ποιος από τους παίκτες (Γιώργος ή Γιάννης) μπορεί να κερδίσει, ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο αντίπαλος; [6 μόρια]

Edit 19/02/19: Αρχικά υπήρχε η λάθος μετάφραση "Με μια κίνηση πρέπει να ενωθούν δυο σωροί, ύστερα να μοιραστούν αυτά τα βότσαλα σε τέσσερις ίσους σωρούς."

Πρόβλημα 5. Ο Μιχάλης σχημάτισε στο τραπέζι με

τετράγωνα και

ισόπλευρα τρίγωνα (χωρίς να τοποθετήσει το ένα πάνω στο άλλο) ένα πολύγωνο. Μπορεί άραγε η περίμετρος αυτού του πολυγώνου να είναι ίση με

εκατοστά, αν όλες οι πλευρές των τετραγώνων και τριγώνων είναι ίσες με

εκατοστό; [9 μόρια]

Πρόβλημα 6. Στη σειρά είναι τοποθετημένα 100

νομίσματα, μερικά με κορόνα προς τα πάνω και τα υπόλοιπα με γράμματα προς τα πάνω. Με μια κίνηση επιτρέπεται να διαλέξουμε εφτά νομίσματα, που κείτονται ανά ίσα διαστήματα (δηλαδή εφτά νομίσματα στη σειρά το ένα δίπλα στο άλλο, ή εφτά νομίσματα στη σειρά διαλέγοντας κάθε μεθεπόμενο κτλ.) και όλα τα εφτά νομίσματα να τα αναποδογυρίσουμε. Να αποδείξετε, ότι με την βοήθεια τέτοιων κινήσεων μπορούμε να τοποθετήσουμε όλα τα νομίσματα με κορόνα προς τα πάνω. [9 μόρια]

Πηγή

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 18, 2019 11:26 am
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα της 7ης τάξης.

Πρόβλημα 1. Ο Νιούτ θέλει να μεταφέρει εννιά μαγικά πλάσματα βάρους και κιλών με τρεις βαλίτσες, από τρία πλάσματα στη καθεμία. Κάθε βαλίτσα πρέπει να ζυγίζει λιγότερο από κιλά. Αν το βάρος κάποιου πλάσματος διαιρείται με το βάρος κάποιου άλλου της ίδιας βαλίτσας, τότε τα πλάσματα μαλώνουν μεταξύ τους. Πως πρέπει να διανείμει ο Νιούτ τα πλάσματα στις βαλίτσες, ώστε κανένα τους να μη μαλώσει; [4 μόρια]

Η μάζα κάθε βαλίτσας (όχι της ίδιας της βαλίτσας αλλά των ζώων που περιέχει) είναι ακέραιος μικρότερος ή ίσος του

Έχουμε τις μάζες 2,3,4,5,6,7,8,9,10

Έστω

η μάζα κάθε βαλίτσας .Έστω ότι στην M_1

περιέχεται το ζώο με τα

κιλά και δύο άλλα ζώα με μάζες a,b,a<b

.
Είναι
$10+a+b\leq 19\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a,b\neq 2,5\Leftrightarrow a+b\leq 9\Leftrightarrow a,b\in \left \{ 3,4,6, \right \}\,\,\acute{o}\mu \omega \varsigma \,\,b\not\equiv 0(mod\,\, a)\Leftrightarrow\ a=\,...=3,b=4$
Οι δύο άλλες έχουν 2,5,6,7,8,9

Έστω ότι η M_2

έχει το ζώο με τα $9\,\,kg$ και άλλα δύο με μάζες c,d,c<d

$9+c+d\leq 19\Leftrightarrow c+d\leq 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d\not\equiv 0(mod\,\,c)\,\,\acute{\alpha} \varrho \alpha \,\,c,d\in \left \{2,7 \right \}\Leftrightarrow c=2,d=7$
Άρα η διαμέριση θα γίνει ως εξής

$\left ( 10,3,4 \right )\,\,\left ( 9,7,2 \right )\,\,\left ( 8,6,5 \right )$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 18, 2019 11:26 am
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα της 7ης τάξης.

Πρόβλημα 2. Για πρωινό μια ομάδα ελεφάντων και ιπποπόταμων έφαγε σφαιρικά καρπούζια και κυβικά, και μια ομάδα των ελεφάντων και ιπποπόταμων σφαιρικά και κυβικά καρπούζια. Όλοι οι ελέφαντες έφαγαν από ίσο αριθμό καρπουζιών (το ίδιο ακέραιο αριθμό). Και οι ιπποπόταμοι έφαγαν από ίσο αριθμό καρπουζιών. Αλλά ένα είδος των θηλαστικών τρώει και σφαιρικά και κυβικά καρπούζια, όμως το άλλο είναι εκλεκτικό και τρώει καρπούζια μόνο τις ίδιας μορφής. Προσδιορίστε, ποιό είδος (ελέφαντες, ιπποπόταμοι) είναι εκλεκτικό και με ποια μορφή καρπουζιών τρέφεται. [5 μόρια]

Έστω ότι κάθε ελέφαντας έφαγε

καρπούζια και κάθε ιπποπόταμος

.
Πρέπει

.
Μία λύση είναι η x_0=2,y_0=3

άρα $y=y_0-\dfrac{5}{\left ( 5,7 \right )}t=3-5t$ που είναι θετικό μόνο για t=0

άρα μοναδική λύση η x=2,y=3

,και η οποία επαληθεύει την 8x+4y=28

.

Αν εκλεκτικό ήταν ο ιπποπόταμος :Αν έτρωγε μόνο σφαιρικά τότε η πρώτη ομάδα θα έφαγε 21>11

άτοπο.
Αν έτρωγε μόνο κυβικά τότε η δεύτερη ομάδα θα έφαγε 12>8

άτοπο.
Άρα εκλεκτικό είναι ο ελέφαντας.Αν έτρωγαν μόνο κυβικά τότε η δεύτερη ομάδα θα έφαγε 16>8

,άρα οι ελέφαντες τρώνε μόνο σφαιρικά.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 18, 2019 11:26 am
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα της 7ης τάξης.

Πρόβλημα 3. Δυο ίσα τρίγωνα είναι τοποθετημένα στο εσωτερικό ενός τετραγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε τις γωνίες τους. [6 μόρια]
mmo_2019_class7_pr3.PNG

: Μόσχα 2019-7.png (11.46 KiB) Προβλήθηκε 1180 φορές

Επειδή

το

ανήκει στη μεσοκάθετο του

δηλαδή στην AC,

οπότε $\boxed{B\widehat AM=M\widehat KD=45^\circ}$

Αλλά τα δύο αυτά τρίγωνα είναι ίσα και με το AMD,

άρα η καθεμία από τις αμβλείες γωνίες είναι $120^\circ.$

Τέλος οι γωνίες που απομένουν είναι $\boxed{\theta=15^\circ}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 18, 2019 11:26 am
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα της 7ης τάξης.

Πρόβλημα 4. Υπάρχουν τρεις σωροί των βότσαλων. Ο Γιώργος και ο Γιάννης παίζουν με την σειρά, ξεκινάει ο Γιώργος. Με μια κίνηση πρέπει να ενωθούν δυο σωροί, ύστερα να μοιραστούν αυτά τα βότσαλα σε τέσσερις ίσους σωρούς. Όποιος δεν μπορεί να κάνει κίνηση, χάνει. Ποιος από τους παίκτες (Γιώργος ή Γιάννης) μπορεί να κερδίσει, ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο αντίπαλος; [6 μόρια]

Θα δείξουμε ότι ο Γιώργος έχει στρατηγική νίκης.

Για την πρώτη κίνηση υπάρχει μόνο μία επιλογή,χάνει αυτός στου οποίου τη σειρά δεν υπάρχουν δύο σωροί έτσι το άθροισμα των βοτσάλων τους να είναι πολλαπλάσιο του

.

Ο Γιώργος αναγκαστικά ενώνει δύο των

: $40\,\,20\,\,20\,\,20\,\,20$

α)
Ο Γιάννης ενώνει τον

με έναν

: $15\,\,15\,\,15\,\,15\,\,20\,\,20\,\,20$
Ο Γιώργος αναγκαστικά ενώνει

των

: $15\,\,15\,\,15\,\,15\,\,10\,\,10\,\,10\,\,10\,\,20$
Είναι φανερό ότι τώρα θα ενωθούν τα

και μετά τα

με τα

και θα τελειώσει το παιχνίδι,αυτό θα γίνει σε

κινήσεις(εύκολο).Άρα νικητής ο Γιώργος.
β)
Ο Γιάννης ενώνει δύο των

: $40\,\,20\,\,20\,\,10\,\,10\,\,10\,\,10$
Ο Γιώργος ενώνει(όχι αναγκαστικά) δύο των

: $40\,\,10\,\,10\,\,10\,\,10\,\,10\,\,10\,\,10\,\,10$
Το παιχνίδι θα λήξει μετά από

κινήσεις άρα νικητής ο Γιώργος.

Al.Koutsouridis · #6

Στο 4ο θέμα έχω αφήσει λάθος στη μετάφραση. Η πρόταση

"Με μια κίνηση πρέπει να ενωθούν δυο σωροί, ύστερα να μοιραστούν αυτά τα βότσαλα σε τέσσερις ίσους σωρούς." πρέπει να γίνει

"Με μια κίνηση πρέπει να ενωθούν δυο σωροί, ύστερα να μοιραστούν αυτά τα βότσαλα σε τέσσερις σωρούς.".

Δηλαδή οι σωροί δεν είναι απαραίτητα ίσοι. Θα το διορθώσω και στην αρχική ανάρτηση. Να με συγχωρεί ο Πρόδρομος που ασχολήθηκε με το λάθος πρόβλημα.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 19, 2019 9:42 am
Στο 4ο θέμα έχω αφήσει λάθος στη μετάφραση. Η πρόταση

"Με μια κίνηση πρέπει να ενωθούν δυο σωροί, ύστερα να μοιραστούν αυτά τα βότσαλα σε τέσσερις ίσους σωρούς." πρέπει να γίνει

"Με μια κίνηση πρέπει να ενωθούν δυο σωροί, ύστερα να μοιραστούν αυτά τα βότσαλα σε τέσσερις σωρούς.".

Δηλαδή οι σωροί δεν είναι απαραίτητα ίσοι. Θα το διορθώσω και στην αρχική ανάρτηση. Να με συγχωρεί ο Πρόδρομος που ασχολήθηκε με το λάθος πρόβλημα.

Για να χάσει κάποιος από τους δύο πρέπει να μην υπάρχουν σωροί ώστε το άθροισμα τους να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του

.

Παρατηρούμε ότι μετά από

κινήσεις οι σωροί θα είναι $3+58\cdot 2=119$ όμως όλα τα βόσταλα είναι 120

άρα όλοι οι σωροί θα έχουν από ένα βότσαλο εκτός ενός που θα έχει

.Έτσι είναι αδύνατο να γίνει και άλλη κίνηση άρα νικά ο Γιάννης που έχει κάνει την 58η κίνηση.

Al.Koutsouridis · #8

post_id=308941 έγραψε:
Δευ Φεβ 18, 2019 11:26 am
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα της 7ης τάξης.

Πρόβλημα 5. Ο Μιχάλης σχημάτισε στο τραπέζι με τετράγωνα και ισόπλευρα τρίγωνα (χωρίς να τοποθετήσει το ένα πάνω στο άλλο) ένα πολύγωνο. Μπορεί άραγε η περίμετρος αυτού του πολυγώνου να είναι ίση με εκατοστά, αν όλες οι πλευρές των τετραγώνων και τριγώνων είναι ίσες με εκατοστό; [9 μόρια]

Η δυσκολία στο πρόβλημα αυτό έγκειται ότι καλούμαστε να βρούμε ένα σχήμα που φαίνεται να έχει βέλτιστα χαρακτηριστικά ή να δείξουμε ότι δεν υπάρχει.

Το εμβαδόν

του σχήματός μας είναι σταθερό και ίσο με $E=9a^2+19\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 9+19\dfrac{\sqrt{3}}{4} \approx 17,22$ . Σκεπτόμενοι πονηρά με γνώσεις μεγαλύτερων τάξεων: από όλα τα σχήματα με δεδομένο εμβαδό, την ελάχιστη περίμετρο την έχει ο κύκλος. Η περίμετρος

του κύκλου με εμβαδό

είναι

$\pi R^2 =E \quad \Rightarrow \quad R = \sqrt{\dfrac{E}{\pi}} \quad \Rightarrow \quad p =2\pi R = 2\pi \sqrt{\dfrac{E}{\pi}} \approx 14,7$ .

Μικρότερη περίμετρο από 14,7

δεν μπορούμε να έχουμε και εφόσον στην δικιά μας περίπτωση η περίμετρος είναι φυσικός αριθμός, το

είναι το καλύτερο δυνατό που μπορούμε να πετύχουμε. Οδηγούμαστε στο συμπέρασμα, ότι αν υπάρχει ένα τέτοιο σχήμα θα πρέπει να μοιαζει πολύ με κύκλο. Βέβαια παραμένει η δυσκολία να φανταστούμε πως θα είναι.

Altrian · #9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 05, 2019 10:29 am

post_id=308941 έγραψε:
Δευ Φεβ 18, 2019 11:26 am
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα της 7ης τάξης.

Πρόβλημα 5. Ο Μιχάλης σχημάτισε στο τραπέζι με τετράγωνα και ισόπλευρα τρίγωνα (χωρίς να τοποθετήσει το ένα πάνω στο άλλο) ένα πολύγωνο. Μπορεί άραγε η περίμετρος αυτού του πολυγώνου να είναι ίση με εκατοστά, αν όλες οι πλευρές των τετραγώνων και τριγώνων είναι ίσες με εκατοστό; [9 μόρια]

Η δυσκολία στο πρόβλημα αυτό έγκειται ότι καλούμαστε να βρούμε ένα σχήμα που φαίνεται να έχει βέλτιστα χαρακτηριστικά ή να δείξουμε ότι δεν υπάρχει.

Το εμβαδόν του σχήματός μας είναι σταθερό και ίσο με $E=9a^2+19\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 9+19\dfrac{\sqrt{3}}{4} \approx 17,22$ . Σκεπτόμενοι πονηρά με γνώσεις μεγαλύτερων τάξεων: από όλα τα σχήματα με δεδομένο εμβαδό, την ελάχιστη περίμετρο την έχει ο κύκλος. Η περίμετρος του κύκλου με εμβαδό είναι

$\pi R^2 =E \quad \Rightarrow \quad R = \sqrt{\dfrac{E}{\pi}} \quad \Rightarrow \quad p =2\pi R = 2\pi \sqrt{\dfrac{E}{\pi}} \approx 14,7$ .

Μικρότερη περίμετρο από δεν μπορούμε να έχουμε και εφόσον στην δικιά μας περίπτωση η περίμετρος είναι φυσικός αριθμός, το είναι το καλύτερο δυνατό που μπορούμε να πετύχουμε. Οδηγούμαστε στο συμπέρασμα, ότι αν υπάρχει ένα τέτοιο σχήμα θα πρέπει να μοιαζει πολύ με κύκλο. Βέβαια παραμένει η δυσκολία να φανταστούμε πως θα είναι.

Καλησπέρα

#10

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 18, 2019 11:26 am
LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα της 7ης τάξης.

Πρόβλημα 6. Στη σειρά είναι τοποθετημένα νομίσματα, μερικά με κορόνα προς τα πάνω και τα υπόλοιπα με γράμματα προς τα πάνω. Με μια κίνηση επιτρέπεται να διαλέξουμε εφτά νομίσματα, που κείτονται ανά ίσα διαστήματα (δηλαδή εφτά νομίσματα στη σειρά το ένα δίπλα στο άλλο, ή εφτά νομίσματα στη σειρά διαλέγοντας κάθε μεθεπόμενο κτλ.) και όλα τα εφτά νομίσματα να τα αναποδογυρίσουμε. Να αποδείξετε, ότι με την βοήθεια τέτοιων κινήσεων μπορούμε να τοποθετήσουμε όλα τα νομίσματα με κορόνα προς τα πάνω. [9 μόρια]

Κάπου το είχα ξαναδεί. Ίσως από Ολυμπιάδα της ίδιας χρονιάς αλλά μεγαλύτερης τάξης. Διότι θυμάμαι με δυσκόλεψε αρκετά αφού ζητούσε να αποφασίσουμε αν γίνεται και είχα ξοδέψει αρκετό χρόνο πιστεύοντας ότι δεν γίνεται.

Μπορούμε να το κάνουμε ως εξής. Για $n \in \{1,2,\ldots,58\}$ αναποδογυρίζουμε αρχικά τα νομίσματα $n,n+1,\ldots,n+6$ και έπειτα τα $n+1,n+2,\ldots,n+6,n+7$ . Ως τώρα έχουν αλλάξει όψη τα

και

. Ομοίως αλλάζουμε την όψη των n+14,n+21

και των

. Τώρα, αναποδογυρίζουμε τα $n,n+7,\ldots,n+35,n+42$ και παρατηρούμε ότι μετά από όλες αυτές τις κινήσεις άλλαξε όψη μόνο το n+42

. Δηλαδή μπορούμε να αναποδογυρίσουμε όποιο από τα νομίσματα $43,\ldots,100$ θέλουμε μόνο του. Με την ίδια διαδικασία από δεξιά μπορούμε να αναποδογυρίσουμε μόνο του όποιο νόμισμα θέλουμε από τα $1,2,\ldots,58$ . Άρα μπορούμε να αναποδογυρίσουμε όποιο νόμισμα θέλουμε μόνο του. Ασφαλώς αναποδογυρίζουμε αυτά που είναι γράμματα.

Al.Koutsouridis · #11

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 06, 2019 11:50 am

Πρόβλημα 6. Στη σειρά είναι τοποθετημένα νομίσματα, μερικά με κορόνα προς τα πάνω και τα υπόλοιπα με γράμματα προς τα πάνω. Με μια κίνηση επιτρέπεται να διαλέξουμε εφτά νομίσματα, που κείτονται ανά ίσα διαστήματα (δηλαδή εφτά νομίσματα στη σειρά το ένα δίπλα στο άλλο, ή εφτά νομίσματα στη σειρά διαλέγοντας κάθε μεθεπόμενο κτλ.) και όλα τα εφτά νομίσματα να τα αναποδογυρίσουμε. Να αποδείξετε, ότι με την βοήθεια τέτοιων κινήσεων μπορούμε να τοποθετήσουμε όλα τα νομίσματα με κορόνα προς τα πάνω. [9 μόρια]

Κάπου το είχα ξαναδεί. Ίσως από Ολυμπιάδα της ίδιας χρονιάς αλλά μεγαλύτερης τάξης. Διότι θυμάμαι με δυσκόλεψε αρκετά αφού ζητούσε να αποφασίσουμε αν γίνεται και είχα ξοδέψει αρκετό χρόνο πιστεύοντας ότι δεν γίνεται.

Στην ολυμπιάδα της Μόσχας χρησιμοποιήθηκε μόνο για την 7η τάξη. Ίσως στο τουρνουά των πόλεων της άνοιξης να υπήρχε κάποια παραλλαγή καθώς συχνά χρησιμοποιούνται εκεί προβλήματα της ολυμπιάδας, αλλά δεν βρίσκω τα θέματα για επιβεβαίωση...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (7η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση