LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα της 7ης τάξης.
Πρόβλημα 1. Ο Νιούτ θέλει να μεταφέρει εννιά μαγικά πλάσματα βάρους

και

κιλών με τρεις βαλίτσες, από τρία πλάσματα στη καθεμία. Κάθε βαλίτσα πρέπει να ζυγίζει λιγότερο από

κιλά. Αν το βάρος κάποιου πλάσματος διαιρείται με το βάρος κάποιου άλλου της ίδιας βαλίτσας, τότε τα πλάσματα μαλώνουν μεταξύ τους. Πως πρέπει να διανείμει ο Νιούτ τα πλάσματα στις βαλίτσες, ώστε κανένα τους να μη μαλώσει; [4 μόρια]
Πρόβλημα 2. Για πρωινό μια ομάδα

ελεφάντων και

ιπποπόταμων έφαγε

σφαιρικά καρπούζια και

κυβικά, και μια ομάδα των

ελεφάντων και

ιπποπόταμων

σφαιρικά και

κυβικά καρπούζια. Όλοι οι ελέφαντες έφαγαν από ίσο αριθμό καρπουζιών (το ίδιο ακέραιο αριθμό). Και οι ιπποπόταμοι έφαγαν από ίσο αριθμό καρπουζιών. Αλλά ένα είδος των θηλαστικών τρώει και σφαιρικά και κυβικά καρπούζια, όμως το άλλο είναι εκλεκτικό και τρώει καρπούζια μόνο τις ίδιας μορφής. Προσδιορίστε, ποιό είδος (ελέφαντες, ιπποπόταμοι) είναι εκλεκτικό και με ποια μορφή καρπουζιών τρέφεται. [5 μόρια]
Πρόβλημα 3. Δυο ίσα τρίγωνα είναι τοποθετημένα στο εσωτερικό ενός τετραγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε τις γωνίες τους. [6 μόρια]

- mmo_2019_class7_pr3.PNG (7.36 KiB) Προβλήθηκε 1251 φορές
Πρόβλημα 4. Υπάρχουν τρεις σωροί των

βότσαλων. Ο Γιώργος και ο Γιάννης παίζουν με την σειρά, ξεκινάει ο Γιώργος. Με μια κίνηση πρέπει να ενωθούν δυο σωροί, ύστερα να μοιραστούν αυτά τα βότσαλα σε τέσσερις σωρούς. Όποιος δεν μπορεί να κάνει κίνηση, χάνει. Ποιος από τους παίκτες (Γιώργος ή Γιάννης) μπορεί να κερδίσει, ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο αντίπαλος; [6 μόρια]
Edit 19/02/19: Αρχικά υπήρχε η λάθος μετάφραση "Με μια κίνηση πρέπει να ενωθούν δυο σωροί, ύστερα να μοιραστούν αυτά τα βότσαλα σε τέσσερις ίσους σωρούς."
Πρόβλημα 5. Ο Μιχάλης σχημάτισε στο τραπέζι με

τετράγωνα και

ισόπλευρα τρίγωνα (χωρίς να τοποθετήσει το ένα πάνω στο άλλο) ένα πολύγωνο. Μπορεί άραγε η περίμετρος αυτού του πολυγώνου να είναι ίση με

εκατοστά, αν όλες οι πλευρές των τετραγώνων και τριγώνων είναι ίσες με

εκατοστό; [9 μόρια]
Πρόβλημα 6. Στη σειρά είναι τοποθετημένα

νομίσματα, μερικά με κορόνα προς τα πάνω και τα υπόλοιπα με γράμματα προς τα πάνω. Με μια κίνηση επιτρέπεται να διαλέξουμε εφτά νομίσματα, που κείτονται ανά ίσα διαστήματα (δηλαδή εφτά νομίσματα στη σειρά το ένα δίπλα στο άλλο, ή εφτά νομίσματα στη σειρά διαλέγοντας κάθε μεθεπόμενο κτλ.) και όλα τα εφτά νομίσματα να τα αναποδογυρίσουμε. Να αποδείξετε, ότι με την βοήθεια τέτοιων κινήσεων μπορούμε να τοποθετήσουμε όλα τα νομίσματα με κορόνα προς τα πάνω. [9 μόρια]
Πηγή