ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

petrosqw
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Παρ Φεβ 01, 2019 6:46 pm

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από petrosqw » Πέμ Μάιος 30, 2019 6:29 pm

Μπορεί κάποιος να ανεβασει μια ακόμα λυση για το πρόβλημα 3 του Αρχιμηδη των μεγάλων;



Λέξεις Κλειδιά:
christinat
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christinat » Παρ Μάιος 31, 2019 12:48 am

petrosqw έγραψε:
Πέμ Μάιος 30, 2019 6:29 pm
Μπορεί κάποιος να ανεβασει μια ακόμα λυση για το πρόβλημα 3 του Αρχιμηδη των μεγάλων;
Έστω x=\frac{p}{q} και y=\frac{k}{l},όπου p,q,k,l\in \mathbb{N}(\neq 0)

y*x^{y}=y+1\Rightarrow \frac{k}{l}*\left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{l}\Rightarrow \left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{k}

Αφού (p,q)=1\Rightarrow (p^{\frac{k}{l}},q^{\frac{k}{l}})=1 και (k,k+l)=1 τοτε

k=q^{\frac{k}{l}} και k+l=p^{\frac{k}{l}}(1)

\left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{k}\Rightarrow x=\left ( \frac{k+l}{k} \right )^{\frac{l}{k}}\Rightarrow x=\left ( \frac{k+l}{k} \right )^{\frac{1}{y}}

Επειδή x\in \mathbb{Q} πρέπει k^{\frac{1}{y}}=1\Rightarrow k=1

Όποτε x=(l+1)^{\frac{1}{y}}\Rightarrow x=(l+1)^l και y=\frac{1}{l}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες