ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

petrosqw · #61

Μπορεί κάποιος να ανεβασει μια ακόμα λυση για το πρόβλημα 3 του Αρχιμηδη των μεγάλων;

christinat · #62

petrosqw έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2019 6:29 pm
Μπορεί κάποιος να ανεβασει μια ακόμα λυση για το πρόβλημα 3 του Αρχιμηδη των μεγάλων;

Έστω $x=\frac{p}{q}$ και $y=\frac{k}{l}$ ,όπου $p,q,k,l\in \mathbb{N}$ $(\neq 0)$

$y*x^{y}=y+1\Rightarrow \frac{k}{l}*\left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{l}\Rightarrow \left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{k}$

Αφού $(p,q)=1\Rightarrow (p^{\frac{k}{l}},q^{\frac{k}{l}})=1$ και (k,k+l)=1

τοτε

$k=q^{\frac{k}{l}}$ και $k+l=p^{\frac{k}{l}}$ (1)

$\left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{k}\Rightarrow x=\left ( \frac{k+l}{k} \right )^{\frac{l}{k}}\Rightarrow x=\left ( \frac{k+l}{k} \right )^{\frac{1}{y}}$

Επειδή $x\in \mathbb{Q}$ πρέπει $k^{\frac{1}{y}}=1\Rightarrow k=1$

Όποτε $x=(l+1)^{\frac{1}{y}}\Rightarrow x=(l+1)^l$ και $y=\frac{1}{l}$

Joaakim · #63

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 23, 2019 1:24 pm
Θέματα Μικρών

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών που είναι λύσεις του συστήματος
$\displaystyle x^2+y^2+25z^2=6xz+8yz$
$\displaystyle 3x^2+2y^2+z^2=240$

Εναλλακτικά για το Πρόβλημα 1-
Η πρώτη εξίσωση του συστήματος $x^{2}-6xz+y^{2}-8yz+25z^{2}=0$ έχει
$D=(-6z)^{2}-4[(y^{2}-8yz+16y^{2}+9z^{2}]=36z^{2}-36z^{2}-4(y-4z)^{2}=-4(y-4z)^{2} \ge 0 \Rightarrow$
$\Rightarrow -4(y-4z)^{2}=0 \Rightarrow (y-4z)^{2}=0 \Rightarrow y-4z=0 \Rightarrow y=4z \Rightarrow$
$x=\dfrac{-(-6z)}{2 \cdot 1}=\dfrac{6z}{2}=3z \Rightarrow x=3z, y=4z$ ,
και προχωράμε ομοίως με τις παραπάνω λύσεις.

Τσιαλας Νικολαος · #64

Καλησπέρα Ιωακείμ! Περνάνε δυστυχώς τα χρόνια και όλα μοιάζουν σαν να ήταν χτες! Την λύση αυτή είχε κάνει τότε μια μαθήτρια μου

. Ξαναείδα και τα σχόλια περί ελάχιστων διακρίσεων των κοριτσιών και θυμήθηκα τα μετάλλια στην EGMO εκείνη την χρονιά 2 κοριτσιών της χώρας μας!
Μιας και τα ξαναδιάβασα όλα αυτά ήθελα να ανεφέρω ότι φέτος δεν θα στείλουμε γυναικεία ομάδα στην EGMO παρά τις φιλότιμες προσπάθειες της ΕΜΕ. Αυτή την "επιτυχία" ας την καταλογίσουμε στο φοβερό Υπουργείο Παιδείας. Και ας μην βιαστεί κάποιος να πεί ότι έχουμε πανδημία! Γιατί έχουμε την τιμή να είμαστε η μοναδική χώρα που δεν θα στείλει... Για την σημείωση και μόνο θα συμμετάσχουν χώρες όπως Γαλλία, Ιταλία, Ισπανία, Μ.Βρετανία και Βραζιλία οι οποίες καταστράφηκαν από τον κορωνο'ί'ο...

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Μέλη σε σύνδεση