Σελίδα 4 από 4

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 30, 2019 6:29 pm
από petrosqw
Μπορεί κάποιος να ανεβασει μια ακόμα λυση για το πρόβλημα 3 του Αρχιμηδη των μεγάλων;

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μάιος 31, 2019 12:48 am
από christinat
petrosqw έγραψε:
Πέμ Μάιος 30, 2019 6:29 pm
Μπορεί κάποιος να ανεβασει μια ακόμα λυση για το πρόβλημα 3 του Αρχιμηδη των μεγάλων;
Έστω x=\frac{p}{q} και y=\frac{k}{l},όπου p,q,k,l\in \mathbb{N}(\neq 0)

y*x^{y}=y+1\Rightarrow \frac{k}{l}*\left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{l}\Rightarrow \left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{k}

Αφού (p,q)=1\Rightarrow (p^{\frac{k}{l}},q^{\frac{k}{l}})=1 και (k,k+l)=1 τοτε

k=q^{\frac{k}{l}} και k+l=p^{\frac{k}{l}}(1)

\left ( \frac{p}{q} \right )^{\frac{k}{l}}=\frac{k+l}{k}\Rightarrow x=\left ( \frac{k+l}{k} \right )^{\frac{l}{k}}\Rightarrow x=\left ( \frac{k+l}{k} \right )^{\frac{1}{y}}

Επειδή x\in \mathbb{Q} πρέπει k^{\frac{1}{y}}=1\Rightarrow k=1

Όποτε x=(l+1)^{\frac{1}{y}}\Rightarrow x=(l+1)^l και y=\frac{1}{l}