11η τάξη, Δεύτερη μέρα. Θέματα της 3ης φάσης
6. Δίνονται τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του
. Να δείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε τρεις από αυτούς, το άθροισμα των οποίων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο τριών διαφορετικών φυσικών αριθμών μεγαλύτερων του 
.7. Δίνεται θετικός αριθμός
. Να δείξετε, ότι η ακολουθία 
, όπου ![x_{n}= 2^{n} \left ( \sqrt[2^{n}]{a}-1\right)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6a52e52a152d880a46354e0758cc7c7b.png "x_{n}= 2^{n} \left ( \sqrt[2^{n}]{a}-1\right)")
, φθίνει.8. Στις πλευρές
και 
τριγώνου 
βρέθηκαν σημεία 
και 
αντίστοιχα τέτοια, ώστε 
. Τα ευθύγραμμα τμήματα 
και 
τέμνονται στο σημείο 
. Να αποδείξετε, ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων 
και 
, τέμνονται στο κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .9. Μια τάξη έχει
μαθητές. Κατά την διάρκεια του Σεπτεμβρίου ο καθένας τους μερικές φορές έκανε χρήση του κολυμβητήριου, κανένας δεν έκανε χρήση για δεύτερη φορά την ίδια μέρα. Την πρώτη Οκτωβρίου προέκυψε, ότι όλοι οι αριθμοί παρουσιών των μαθητών στο κολυμβητήριο είναι διαφορετικοί. Επιπλέον αυτού, για οποιουσδήποτε δυο από αυτούς οπωσδήποτε υπήρξε μέρα, κατά την οποία ο πρώτος εξ αυτών έκανε χρήση του κολυμβητηρίου και ο δεύτερος όχι, και μέρα με το ανάποδο, ο δεύτερος εξ αυτών έκανε χρήση και ο πρώτος όχι. Να βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή του . (Ο Σεπτέμβριος έχει 
μέρες.) 10. Δίνεται φυσικός αριθμός
. Ο Πέτρος και ο Βασίλης παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Ο Πέτρος διαλέγει 
(όχι απαραίτητα διαφορετικούς) μη αρνητικούς αριθμούς 
, το άθροισμα των οποίων είναι ίσο με . Ο Βασίλης τοποθετεί αυτούς τους αριθμούς σε κύκλο με κάποια διάταξη της δικής του αντίληψης. Μετά από αυτό υπολογίζει το γινόμενο ζεύγους γειτονικών αριθμών και καταγράφει στο πίνακα το μεγαλύτερο εκ των γινομένων που προέκυψαν. Ο Πέτρος θέλει, ο αριθμός που καταγράφεται στο πίνακα να είναι όσο το δυνατόν μεγαλύτερος και ο Βασίλης όσο το δυνατό μικρότερος. Ποιος αριθμός θα προκύψει στο πίνακα σε σωστό παιχνίδι; Πηγή
είναι ![2^i(\sqrt[2^i]{a}-1)> 2^{i+1}\left ( \sqrt[2^{i+1}]{a}-1 \right )\Leftrightarrow \sqrt[2^i]{a}> 2\left ( \sqrt[2^i\cdot 2]{a}-1 \right )](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3593cb4d2e0cf1fd68c01caab9f66e1b.png "2^i(\sqrt[2^i]{a}-1)> 2^{i+1}\left ( \sqrt[2^{i+1}]{a}-1 \right )\Leftrightarrow \sqrt[2^i]{a}> 2\left ( \sqrt[2^i\cdot 2]{a}-1 \right )")
![\sqrt[2^i]{a}=b](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e355a360bb21a6009377e9b6f0f7d814.png "\sqrt[2^i]{a}=b")
και αρκεί 
ως κατακορυφήν και αφού στους κύκλους έχουμε αυτές τις 2 εγγεγραμμένες γωνίες ίσες που βαίνουν σε ίσα τόξα οι κύκλοι είναι ίσοι. Έστω 
το σημείο που τέμνονται οι κύκλοι, επειδή οι κύκλοι είναι ίσοι θα έχουμε 
δηλαδή 
ισοσκελές με βάση 
μεσοκάθετη ή και διχοτόμος της 
. Oμοίως 
διχοτόμος 
Άρα