BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
A1. Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε . Να αποδειχθεί ότι:
A2. Αυτό ήταν το πρόβλημα 2 της Βαλκανιάδας.
A3. Έστω θετικός ακέραιος . Να αποδειχθεί ότι:
A4. Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε . Να αποδειχθεί ότι:
A5. Έστω κοίλη συνάρτηση και συνεχής συνάρτηση . Αν
για κάθε , να αποδειχθεί ότι η είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού.
A6. Έστω θετικός ακέραιος και πραγματικοί αριθμοί . Να αποδειχθεί ότι:
A2. Αυτό ήταν το πρόβλημα 2 της Βαλκανιάδας.
A3. Έστω θετικός ακέραιος . Να αποδειχθεί ότι:
A4. Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί ώστε . Να αποδειχθεί ότι:
A5. Έστω κοίλη συνάρτηση και συνεχής συνάρτηση . Αν
για κάθε , να αποδειχθεί ότι η είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού.
A6. Έστω θετικός ακέραιος και πραγματικοί αριθμοί . Να αποδειχθεί ότι:
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 26
- Εγγραφή: Σάβ Απρ 20, 2019 10:00 pm
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Πρόβλημα A1.
Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε
Άρα η αρχική σχέση γίνεται από
Αρκεί όπου κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στο
Όμως όμοια και στις άλλες περιπτώσεις.
Άρα αρκεί που αποδυκνύεται εύκολα από
Σωστά;
Υπάρχει λάθος; Μου φαίνεται πολύ εύκολη για BMO!
Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε
Άρα η αρχική σχέση γίνεται από
Αρκεί όπου κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στο
Όμως όμοια και στις άλλες περιπτώσεις.
Άρα αρκεί που αποδυκνύεται εύκολα από
Σωστά;
Υπάρχει λάθος; Μου φαίνεται πολύ εύκολη για BMO!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Pantelis.N έγραψε: ↑Πέμ Μάιος 02, 2019 9:11 pmΣωστά;
Υπάρχει λάθος; Μου φαίνεται πολύ εύκολη για BMO!
Σωστά. Αυτή ήταν και η επίσημη λύση. Ήταν σχετικά εύκολη. Για αυτό ήταν η Α1. (Παρεμπιπτόντως, ήταν άσκηση της Shortlist, όχι της Βαλκανιάδας.)
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Και το Α4 εύκολο φαίνεται για BMO.
Ισχύει
, διότι ισοδυναμεί με την προφανή
Ακόμη από την ανισότητα αριθμητικού- γεωμετρικού μέσου.
Αρα
Ακόμη από ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου
Αρα τελικά έχουμε
Αν στην τελευταία ανισότητα θέσουμε όπου παίρνουμε την ανισότητα
Προσθέτοντας τις 2 τελευταίες ανισότητες παίρνουμε τη ζητούμενη.
Ισχύει
, διότι ισοδυναμεί με την προφανή
Ακόμη από την ανισότητα αριθμητικού- γεωμετρικού μέσου.
Αρα
Ακόμη από ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου
Αρα τελικά έχουμε
Αν στην τελευταία ανισότητα θέσουμε όπου παίρνουμε την ανισότητα
Προσθέτοντας τις 2 τελευταίες ανισότητες παίρνουμε τη ζητούμενη.
Κώστας
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Θέτοντας η ανίσωση γίνεται
Θα χρεισιμοποιήσουμε την γενίκευση του θεωρήματος Andreescu και ΑΜ-ΓΜ
Oμοίως
Aκολουθώντας το ίδιο τρόπο αλλά μέσο της καταλήγουμε στο εξής
Προσθέτοντας τις 2 παραπάνω έχουμε την
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Ωραία. Οι δυο λύσεις που μας δώσανε για την 4 είναι (εν συντομία) οι εξής:
Πρώτη λύση:
Έχουμε:
Προσθέτοντας παρόμοιες ανισότητες κυκλικά παίρνουμε:
Με παρόμοιο τρόπο παίρνουμε και:
Από Cauchy-Schwarz έχουμε:
και
Άρα:
Το αποτέλεσμα τώρα έπεται από τις (1) και (2).
Δεύτερη λύση:
Γράφουμε . Αναπτύσσοντας η ζητούμενη ανισότητα γίνεται:
όπου .
Αφού (από Muirhead) αρκεί να δείξουμε ότι .
Προσθέτοντας τις ανισότητες Schur για τις τριάδες και παίρνουμε
όπως θέλαμε. (Στην τελευταία ανισότητα πάλι χρησιμοποιήσαμε την Muirhead.)
Πρώτη λύση:
Έχουμε:
Προσθέτοντας παρόμοιες ανισότητες κυκλικά παίρνουμε:
Με παρόμοιο τρόπο παίρνουμε και:
Από Cauchy-Schwarz έχουμε:
και
Άρα:
Το αποτέλεσμα τώρα έπεται από τις (1) και (2).
Δεύτερη λύση:
Γράφουμε . Αναπτύσσοντας η ζητούμενη ανισότητα γίνεται:
όπου .
Αφού (από Muirhead) αρκεί να δείξουμε ότι .
Προσθέτοντας τις ανισότητες Schur για τις τριάδες και παίρνουμε
όπως θέλαμε. (Στην τελευταία ανισότητα πάλι χρησιμοποιήσαμε την Muirhead.)
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Η συγκεκριμένη προτάθηκε από την Κύπρο. Συγκεκριμένα την έφτιαξε ο Μάριος Βοσκού. Θεωρήθηκε υπερβολικά δύσκολη στη συζήτηση του jury. Μάλιστα όταν συζητούσαμε τη δυσκολία των θεμάτων στο jury κάποιοι είχαν πει ότι είναι για Problem 5.
Για να την ευκολύνω βάζω μια άλλη μορφή την οποία μας έδωσε ο Μάριος:
Έστω θετικός ακέραιος και πραγματικοί αριθμοί και . Να αποδειχθεί ότι:
H A6 προκύπτει θέτοντας για κάθε .
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Μία (παρόμοια) λύση για αυτό.
Από Cauchy-Schwarz, .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Έστω, .
Θα αποδείξω πρώτα το εξής :
Ισχυρισμός
Ισχύει .
Απόδειξη
Από AM-ΓΜ, , επομένως αρκεί να δείξω ότι , που είναι προφανές, αφού .
Πίσω στην άσκηση.
Ισοδύναμα, αρκεί .
Εφαρμόζουμε την Cauchy-Schwarz δύο φορές :
α) , οπότε αρκεί (1).
β) , οπότε αρκεί (2).
Για να δείξω την ισχύ της (1) ή της (2), αρκεί να δείξω ότι
, που ισχύει από τον Ισχυρισμό.
Η ισότητα, όταν .
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Κυρ Μάιος 05, 2019 12:08 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Θα αποδείξω το παρακάτω Λήμμα :
Λήμμα
Για κάθε , με ισχύει ότι .
Πριν το αποδείξω, ας δούμε γιατί αποδεικνύει την άσκηση.
Πράγματι, είναι .
Πάμε στην Απόδειξη του Λήμματος.
Ισοδύναμα, αρκεί .
Από Holder, , οπότε μετά από πράξεις αρκεί να δείξω ότι (ο θετικός παράγοντας ''φεύγει'') .
Ισοδύναμα, αρκεί .
Όμως, από ΑΜ-ΓΜ είναι : .
Edit : Διορθώσεις μετά από επισήμανση του κ.Σταύρου.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Κυρ Μάιος 05, 2019 7:15 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Μία 2η λύση για αυτήν :
Είναι, .
Αρκεί επομένως, .
Έστω, , από την ΑΜ-ΓΜ. Από την Chebychev, παίρνω ότι , και .
Αρκεί λοιπόν , ή ισοδύναμα, , που είναι προφανές, αφού .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Θα δώσω μια λύση παραλείποντας όμως πράξεις ρουτίνας.Demetres έγραψε: ↑Παρ Μάιος 03, 2019 5:53 pm
Η συγκεκριμένη προτάθηκε από την Κύπρο. Συγκεκριμένα την έφτιαξε ο Μάριος Βοσκού. Θεωρήθηκε υπερβολικά δύσκολη στη συζήτηση του jury. Μάλιστα όταν συζητούσαμε τη δυσκολία των θεμάτων στο jury κάποιοι είχαν πει ότι είναι για Problem 5.
Για να την ευκολύνω βάζω μια άλλη μορφή την οποία μας έδωσε ο Μάριος:
Έστω θετικός ακέραιος και πραγματικοί αριθμοί και . Να αποδειχθεί ότι:
H A6 προκύπτει θέτοντας για κάθε .
Επειδή είναι ομογενής αρκεί να δείξουμε
Αν
τότε
Θέτουμε (ακροβατικό)
(μια πολύ καλή ερώτηση είναι πως το βρήκα)
Εύκολα τσεκάρουμε ότι
και
(0)
Επίσης είναι
(1)
Θέτουμε
Είναι
καθώς και
Η τελευταία μαζί με την (1) και την (0)
δινουν ότι
αφού λόγω C-S είναι
Αργότερα η απάντηση στην ερώτηση
Συμπλήρωμα.
Απάντηση στην ερώτηση.
Τα βρήκα χρησιμοποιώντας πολλαπλασιαστές Lagrange.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Δεν είναι σαφές τουλάχιστον σε μένα ποιος είναι ο ορισμός της κοίλης.
Αν πάρουμε τον κανονικό ορισμό τότε αποδεικνύεται ότι μια κοίλη συνάρτηση
έχει πλευρικές παραγώγους .Το ίδιο ισχύει και για τις κυρτές.
Θα δείξω κάτι γενικότερο από αυτό που ζητάει.
Έστω συναρτήσεις και . Αν η έχει πλευρικές
παραγώγους και
(*)
για κάθε , να αποδειχθεί ότι η είναι πολυώνυμο το πολύ δευτέρου βαθμού.
Λύση.
Η (*) γράφεται
παίρνοντας
βλέπουμε ότι οι πλευρικές παράγωγοι είναι ίσες.
Αρα η είναι παραγωγίσημη οπότε λόγω της (*) και η είναι παραγωγίσημη .
Παραγωγίζουμε την (*) ως προς Παίρνουμε
Για γίνεται
Από την τελευταία συμπεραίνουμε ότι υπάρχει η .
Παραγωγίζοντας την (1) ως προς παίρνουμε
Ενώ παραγωγίζοντας την (1) ως προς παίρνουμε
Προσθέτοντας της (2)(3) έχουμε
Η τελευταία για δίνει
Από αυτήν εύκολα παίρνουμε ότι η είναι πολυώνυμο το πολύ βαθμού.
Αν λοιπόν είναι
τότε αντικαθιστώντας στην (*) εχουμε
Αλλά για από την τελευταία συμπεραίνουμε ότι
Τελικά αποδείξαμε ότι η είναι πολυώνυμο το πολύ δευτέρου βαθμού.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 04, 2019 12:32 amΘα αποδείξω το παρακάτω Λήμμα :
Λήμμα
Για κάθε , με ισχύει ότι .
Αυτό ήταν σαφώς το σημαντικό λήμμα για να λυθεί η άσκηση.
Έχουμε όπου
Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε .
Ισοδύναμα θέλουμε:
Γράφοντας όπου , θέλουμε να δείξουμε ότι:
Παρατηρούμε ότι και τα δύο μέλη είναι δευτεροβάθμιες στο με τον ίδιο σταθερό συντελεστή. Οπότε αν αφαιρέσουμε το δεξί από το αριστερό μέλος, μένει να δείξουμε ότι:
Αρκεί να δείξουμε ότι το οποίο είναι άμεσο από Cauchy-Schwarz.
Μας είχαν δοθεί δυο λύσεις για αυτό το πρόβλημα. Αυτή του Ορέστη και μια παρόμοια με τη δική μου. (Αντί για πολυώνυμο στο ήταν με πολυώνυμο στο του οποίου πάλι ο σταθερός συντελεστής ήταν .)
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Δευ Μάιος 06, 2019 3:29 pmΔεν είναι σαφές τουλάχιστον σε μένα ποιος είναι ο ορισμός της κοίλης.
Σίγουρα αν επιλεγόταν ως θέμα, θα δινόταν ο ορισμός της κοίλης. Στην επίσημη λύση χρησιμοποιεί το για κάθε .
Στη συζήτηση των θεμάτων απορρίφθηκε σχεδόν με συνοπτικές διαδικασίες. Αν εξαιρέσουμε τον ορισμό της κοίλης ο οποίος σίγουρα θα δινόταν, περισσότερο προβλημάτισε και η συνέχεια της μιας και η ανάλυση είναι εκτός ύλης.
Η επίσημη λύση πήγαινε ως εξής (παραλείπω διάφορες πράξεις):
Χρησιμοποιώντας τα ζεύγη , μετά από πράξεις καταλήγουμε στο:
Οπότε η ικανοποιεί την εξίσωση Cauchy και επειδή είναι συνεχής τότε είναι και γραμμική. Επίσης, για και αφού η είναι κοίλη, παίρνουμε από όπου καταλήγουμε ότι η πρέπει να είναι σταθερή.
Με λίγη ακόμη δουλειά βγαίνει ότι η περιορισμένη στο είναι δευτεροβάθμια και επειδή είναι κοίλη, τότε και ως συνάρτηση στο είναι δευτεροβάθμια.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Υπάρχει πρόβλημα.Demetres έγραψε: ↑Δευ Μάιος 06, 2019 7:25 pmΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Δευ Μάιος 06, 2019 3:29 pmΔεν είναι σαφές τουλάχιστον σε μένα ποιος είναι ο ορισμός της κοίλης.
Σίγουρα αν επιλεγόταν ως θέμα, θα δινόταν ο ορισμός της κοίλης. Στην επίσημη λύση χρησιμοποιεί το για κάθε .
Στη συζήτηση των θεμάτων απορρίφθηκε σχεδόν με συνοπτικές διαδικασίες. Αν εξαιρέσουμε τον ορισμό της κοίλης ο οποίος σίγουρα θα δινόταν, περισσότερο προβλημάτισε και η συνέχεια της μιας και η ανάλυση είναι εκτός ύλης.
Η επίσημη λύση πήγαινε ως εξής (παραλείπω διάφορες πράξεις):
Χρησιμοποιώντας τα ζεύγη , μετά από πράξεις καταλήγουμε στο:
Οπότε η ικανοποιεί την εξίσωση Cauchy και επειδή είναι συνεχής τότε είναι και γραμμική. Επίσης, για και αφού η είναι κοίλη, παίρνουμε από όπου καταλήγουμε ότι η πρέπει να είναι σταθερή.
Με λίγη ακόμη δουλειά βγαίνει ότι η περιορισμένη στο είναι δευτεροβάθμια και επειδή είναι κοίλη, τότε και ως συνάρτηση στο είναι δευτεροβάθμια.
Με αυτόν τον ορισμό της κοίλης οι ευθείες είναι κοίλες.
Ετσι μπορεί η να μην είναι πολυώνυμο δευτέρου βαθμού.
Είναι πολυώνυμο έως δευτέρου βαθμού.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Σταύρο, έχεις δίκαιο. Δεν το πρόσεξα. Αυτό είναι ακόμη κάτι που θα έπρεπε να διορθωθεί αν το jury το επέλεγε.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες