IMO 2019

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 347
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

IMO 2019

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Δευ Ιούλ 15, 2019 11:03 am

Αύριο ξεκινάει η IMO 2019 στο Bath της Αγγλίας. Εύχομαι καλή επιτυχία στην Ελληνική και την Κυπριακή αποστολή αλλά και στους συνοδούς silouan και demetres!! :first: :first: :first: :first: :first:

υ.γ: Όποιος μπορέσει ας ανεβάσει τα θέματα!!



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: IMO 2019

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 15, 2019 11:22 am

Να ευχηθώ κι εγώ Καλή Επιτυχία στις εθνικές ομάδες της Ελλάδας και της Κύπρου!


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5355
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2019

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Ιούλ 16, 2019 1:01 pm

Να ευχηθώ από καρδιάς στους Έλληνες Διαγωνιζόμενους, αλλά και στούς Κύπριους αδελφούς μας διαγωνιζόμενους, Καλή Επιτυχία και Καλή Επάνοδο.
Δηλώνουμε υπερήφανοι για σας, αφού αποτελείτε ηχηρότατη απάντηση στην πρόκληση της εποχής.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMO 2019

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιούλ 16, 2019 3:56 pm

Το πρώτο πρόβλημα είναι.

Αν \mathbb{Z}
είναι το σύνολο των ακεραίων
να βρείτε όλες τις συναρτήσεις

f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}

για τις οποίες ισχύει ,

f(2x)+2f(y)=f(f(x+y))

για όλα τα x,y\in \mathbb{Z}


jason.prod
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm

Re: IMO 2019

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jason.prod » Τρί Ιούλ 16, 2019 4:24 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 16, 2019 3:56 pm
Το πρώτο πρόβλημα είναι.

Αν \mathbb{Z}
είναι το σύνολο των ακεραίων
να βρείτε όλες τις συναρτήσεις

f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}

για τις οποίες ισχύει ,

f(2x)+2f(y)=f(f(x+y))

για όλα τα x,y\in \mathbb{Z}
Νομίζω αρκετά εύκολη για ΙΜΟ.

Απλώς βάλτε x=0 και μετά x=1, y το y-1 και έχει βγει γραμμική. Τα άλλα θέμα ρουτίνας.


Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 347
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: IMO 2019

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τρί Ιούλ 16, 2019 4:32 pm

Νομίζω ότι είναι σε αυτά που μας "αρέσουν" !!!


giannisd
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Τετ Δεκ 05, 2018 1:02 am

Re: IMO 2019

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisd » Τρί Ιούλ 16, 2019 4:34 pm

Για x=0 λαμβάνουμε f(0)+2f(y)=f(f(y)) \quad (1)
και για y=0 παίρνουμε f(2x)+2f(0)=f(f(x)).
Τότε από την (1) προκύπτει f(2x)=2f(x)-f(0)\quad (2)

Από τις σχέσεις (1), (2) η αρχική γίνεται
\displaystyle{2f(x)-f(0)+2f(y)=f(0)+2f(x+y)\implies f(x)+f(y)=f(x+y)+f(0) \quad (3)}

Έστω g(x):=f(x)-f(0).
Αντικαθιστώντας στην (3) προκύπτει ότι g(x)+g(y)=g(x+y),
δηλαδή η g ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy, άρα
g(x)=kx, \quad k \in \mathbb{Z} \implies f(x)=kx+f(0)

Αντικαθιστώντας στην αρχική λαμβάνουμε τις λύσεις:
\displaystyle{ 
f(x)=0 \quad \forall x  \in \mathbb{Z} }
\displaystyle{f(x)=2x+c \quad \forall x  \in \mathbb{Z}, c=f(0) 
}

EDIT: Καλή επιτυχία στις ομάδες της Ελλάδας και της Κύπρου!


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: IMO 2019

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Τρί Ιούλ 16, 2019 4:59 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 16, 2019 3:56 pm
Το πρώτο πρόβλημα είναι.

Αν \mathbb{Z}
είναι το σύνολο των ακεραίων
να βρείτε όλες τις συναρτήσεις

f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}

για τις οποίες ισχύει ,

f(2x)+2f(y)=f(f(x+y))

για όλα τα x,y\in \mathbb{Z}
Για y=0 έχουμε
f(2x) + 2f(0) = f(f(x)) \quad (1),
ενώ για y=0 έχουμε
f(0) + 2f(y) = f(f(y)) \quad (2).
Για x=y οι 2 τελευταίες δινουν
f(2x) = 2f(x) - f(0) \quad (3).
Η αρχική μαζί με τη (2) δίνουν:
f(2x) + 2f(y) = 2f(x + y) + f(0) \quad (4).
Η τελευταία, χρησιμοποιώντας και την (3), γίνεται f(x+y) + f(0) = f(x) + f(y), η οποία για y=1 δίνει f(x + 1) = f(x) + c για κάθε x, με c = f(1) - f(0). Λύνοντας την αναδρομική έχουμε f(x) = ax + b για a και b σταθερά. Με αντικατάσταση στην αρχική και εξίσωση συντελεστών βγάζουμε οτι πρέπει και αρκεί a=2 ή a=b=0, άρα οι λύσεις είναι ολες οι f(x) = 2x + b για b ακέραιο και η μηδενική.


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: IMO 2019

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 16, 2019 5:28 pm

Το 2o πρόβλημα (Γεωμετρία)
IMO 2019.png
IMO 2019.png (26.2 KiB) Προβλήθηκε 2345 φορές
Σε τρίγωνο ABC, το A_1 είναι σημείο της πλευράς BC και το B_1 σημείο της πλευράς AC. Έστω P και Q σημεία των τμημάτων

AA_1 και BB_1, αντίστοιχα, έτσι ώστε το PQ να είναι παράλληλο στο AB. Έστω P_1 σημείο της ευθείας PB_1, ώστε το B_1 να

είναι ανάμεσα στα P καιP_1, και \angle PP_1C=\angle BAC. Ομοίως, έστω Q_1 σημείο της ευθείας QA_1, ώστε το A_1 να είναι ανάμεσα

στα Q και Q_1, και \angle CQ_1Q=\angle CBA. Να δείξετε ότι τα σημεία P,Q,P_1, και Q_1 είναι ομοκυκλικά..


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2541
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: IMO 2019

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τρί Ιούλ 16, 2019 9:37 pm

Πρόβλημα 3
Ένα κοινωνικό δίκτυο έχει 2019 χρήστες και κάποια ζεύγη εξ αυτών είναι φίλοι. ΑΝ ένας χρήστης Α είναι φίλος με ένα χρήστη Β, τότε και ο Β είναι φίλος με τον Α. Μπορούν να συμβαίνουν επαναλαμβανόμενα ένα και μόνο ένα γεγονός όπως το παρακάτω κάθε φορά:

Τρεις χρήστες A,B,C τέτοιοι, ώστε ο A είναι φίλος και με τους δύο B, C, αλλά οι B,C δεν είναι φιλοι μεταξύ τους, αλλάζουν τις καταστάσεις φιλίας τους έτσι ώστε οι B, C είναι τώρα φίλοι, αλλά ο A δεν είναι πλέον φίλος με τον B, ούτε με τον C. Όλες οι υπολοιπες φιλίες παραμένουν ίδιες.

ΑΡχικά, 1010 χρήστες έχουν 1009 φίλους ο καθένας και 1009 χρήστες έχουν 1010 φίλους ο καθένας. Αποδείξετε ότι υπάρχει ακολουθία τέτοιων γεγονότων μετά από την οποία κάθε χρήστης είναι φίλος με έναν το πολύ άλλον χρήστη.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5355
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2019

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Ιούλ 17, 2019 3:00 pm

Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας:
.........................
O τρόπος που "έστησα" την άποψη μου (δυστυχώς λόγω βιασύνης) ήταν κακός, οπότε τον αποσύρω με όλες τις ειλικρινείς συγγνώμες.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Παρ Ιούλ 19, 2019 1:27 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
AlexNtagkas
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 8:46 am

Re: IMO 2019

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexNtagkas » Τετ Ιούλ 17, 2019 3:28 pm

Μια απλη και ευκολη ( αλλα αρκετα εκτενης ) λυση στη γεωμετρια προκυπτει Αν θεωρησουμε A_2\equiv QA_1 \cap C_1
και
B_2\equiv PB_1\cap C_1
οπου C_1 ο περιγεγραμμενος του ABC.
Τοτε βγαινουν εγγραψιμα τα : PQB_2A
P_1B_1CB_2
Q_1A_1CA_2
οποτε μετα απο "angle chasing" Βγαινουν και τα PQA_2Q_1
PQP_1B_2
Και τελικα βγαινει το ζητουμενο
τελευταία επεξεργασία από AlexNtagkas σε Τετ Ιούλ 17, 2019 8:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5328
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: IMO 2019

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Ιούλ 17, 2019 7:32 pm

Καλά αποτελέσματα σε όλους τους διαγωνιζόμενους σε Ελλάδα και Κύπρο !

Μπ


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5355
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2019

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Ιούλ 17, 2019 8:16 pm

Καλά αποτελέσματα και καλή επάνοδο σε όλους τους διαγωνιζόμενους της Ελλάδας και της Κύπρου.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1242
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: IMO 2019

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Ιούλ 17, 2019 8:44 pm

S.E.Louridas έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 3:00 pm
Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας:

Αν η QP τμήσει τις AC, BC στα σημεία B_1 , A_1 αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα ABC, A{'} \ C B^’ που εφάπτονται στο C και στα τρίγωνα PB{'} \ {P_1} {C} και Q {A^’} Q_1 {C}, οδηγούν στην λύση.
Θα μπορούσατε να γράψετε τις λεπτομέρειες της λύσης αυτής;


Σιλουανός Μπραζιτίκος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMO 2019

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 17, 2019 10:36 pm

Ολα τα θέματα στα Ελληνικά.

https://drive.google.com/open?id=1TaK5T ... XTugPAFC9x


christinat
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: IMO 2019

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christinat » Πέμ Ιούλ 18, 2019 3:38 pm

Αν x=0 από την συναρτησιακη είναι: f(f(0))=3f(0)(1)

Αν y=0 τοτε f(2x)+2f(0)=f(f(x))(2)

Αν x=0 f(0)=f(f(y))-2f(y)
Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται f(0)=f(f(x))-2f(x)(3)

Θέτοντας στην σχεση (3) όπου f(x)=z προκύπτει ότι f(0)=f(z)-2z

Οποτε f(x)=2x+f(0),για κάθε ακέραιο x

Από τις σχέσεις (2)-(3):

2f(0)=f(f(x))-f(2x)\Rightarrow 2(f(f(x))-2f(x))=f(f(x))-f(2x)\Rightarrow 2f(f(x))-4f(x)=f(f(x))-f(2x)\Rightarrow f(f(x))=4f(x)-f(2x)(4)

Από τις σχέσεις (3)-(4):

4f(x)-f(2x)=f(0)+2f(x)\Rightarrow 4f(x)-f(0)=f(2x)+2f(x)

Αφου f(x)=2x+f(0) τοτε f(2x)=4x+f(0)

2f(x)=2(2x+f(0))=4x+2f(0)

Προσθέτοντας τις δυο τελευταίες σχέσεις κατά μέλη:
f(2x)+2f(x)=8x+3f(0)

Οποτε 4f(x)-f(0)=8x+f(0)\Rightarrow 8x-f(0)=8x+f(0)\Rightarrow 2f(0)=0\Rightarrow f(0)=0

Αν f(0)=0 τοτε από την (3) είναι 2f(x)=0\Rightarrow f(x)=0 για κάθε ακέραιο x

Άρα f(x)=2x+f(0) ή f(x)=0


sot arm
Δημοσιεύσεις: 179
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: IMO 2019

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Πέμ Ιούλ 18, 2019 4:37 pm

christinat έγραψε:
Πέμ Ιούλ 18, 2019 3:38 pm

Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται f(0)=f(f(x))-2f(x)(3)

Θέτοντας στην σχεση (3) όπου f(x)=z προκύπτει ότι f(0)=f(z)-2z

Οποτε f(x)=2x+f(0),για κάθε ακέραιο x

Χριστίνα καλησπέρα, το παραπάνω έχει λάθος, δεν δικαιούσαι να πεις ότι: f(x)=2x+f(0) . Ο λόγος είναι ότι το z που έχεις θεωρήσει είναι εξαρτημένη μεταβλητή, ( αφού είναι ίσο με f(x)) ενώ το χ στην σχέση f(x)=2x+f(0),για κάθε ακέραιο x , που καταλήγεις είναι προφανώς, ανεξάρτητη.

Θα μπορούσες να το πεις αυτό αν η f ήταν επί των ακεραίων, όμως για παράδειγμα η f(x)=2x που ικανοποιεί την συναρτησιακή δεν είναι επί.Με λίγα λόγια το πρόβλημα είναι το για κάθε ακέραιο x, καθώς ισχύει μόνο για κάθε ακέραιο στην εικόνα της f.

Υ.Γ. Καλή επιτυχία στα παιδιά!


Αρμενιάκος Σωτήρης
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5355
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: IMO 2019

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Ιούλ 18, 2019 11:37 pm

silouan έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 8:44 pm
S.E.Louridas έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 3:00 pm
Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας:

Αν η QP τμήσει τις AC, BC στα σημεία B_1 , A_1 αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα ABC, A{'} \ C B^’ που εφάπτονται στο C και στα τρίγωνα PB{'} \ {P_1} {C} και Q {A^’} Q_1 {C}, οδηγούν στην λύση.
Θα μπορούσατε να γράψετε τις λεπτομέρειες της λύσης αυτής;
Καταρχάς Σιλουανέ, συγγνώμη που άργησα για την απάντηση, αλλά στην δουλειά μου και λόγω ενός διαγωνισμού που θα γίνει για την τράπεζα Ελλάδος εργαζόμαστε πάρα πολλές ώρες και όχι μόνο κάνοντας προσωπικά μάθημα. Έτσι επιφυλάσσομαι και για κάποιες παραλήψεις, επειδή η λύση έγινε βιαστικά, αφού να φανταστείς μόλις πριν μία ώρα γύρισα σπίτι.

.........................
Τελικά ο τρόπος που "έστησα" την άποψη μου (δυστυχώς λόγω βιασύνης) ήταν κακός, οπότε τον αποσύρω με όλες τις ειλικρινείς συγγνώμες και ειδικά προς τον Σιλουανό που σίγουρα αυτές τις ώρες δίνει σκληρή μάχη για την κατoχύρωση της αξίας των διαγωνιζόμενων στην ΙΜΟ (το έχω ζήσει προσωπικά στο παρελθόν).


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: IMO 2019

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Ιούλ 20, 2019 4:42 am

Θερμά Συγχαρητήρια σε όλη την αποστολή στην ΙΜΟ2019!

Δημητρης Μελας (Αργυρό),
Σπύρος Γαλανόπουλος (Χάλκινο),
Ευθύμης Ντόκας (Χάλκινο),
Δημήτρης Λώλας (Εύφημος μνεία),
Μηνάς Μαργαρίτης (Εύφημος μνεία),
Ειρήνη Μηλιώρη (Εύφημος μνεία)

Η επίλυση και μόνο ενός από τα έξι απαιτητικά προβλήματα που τέθηκαν έχει τεράστια αξία. Σας ευχόμαστε ακόμη μεγαλύτερες επιτυχίες στο μέλλον.

Θερμά συγχαρητήρια ακόμη μια φορά τόσο σε εσάς όσο και στον κ. Φελλούρη και τον Σιλουανό.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
imo2019_hel.png
imo2019_hel.png (107.87 KiB) Προβλήθηκε 1092 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 4 επισκέπτες