IMO 2019
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
IMO 2019
Αύριο ξεκινάει η IMO 2019 στο Bath της Αγγλίας. Εύχομαι καλή επιτυχία στην Ελληνική και την Κυπριακή αποστολή αλλά και στους συνοδούς silouan και demetres!!
υ.γ: Όποιος μπορέσει ας ανεβάσει τα θέματα!!
υ.γ: Όποιος μπορέσει ας ανεβάσει τα θέματα!!
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2019
Να ευχηθώ από καρδιάς στους Έλληνες Διαγωνιζόμενους, αλλά και στούς Κύπριους αδελφούς μας διαγωνιζόμενους, Καλή Επιτυχία και Καλή Επάνοδο.
Δηλώνουμε υπερήφανοι για σας, αφού αποτελείτε ηχηρότατη απάντηση στην πρόκληση της εποχής.
Δηλώνουμε υπερήφανοι για σας, αφού αποτελείτε ηχηρότατη απάντηση στην πρόκληση της εποχής.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: IMO 2019
Το πρώτο πρόβλημα είναι.
Αν
είναι το σύνολο των ακεραίων
να βρείτε όλες τις συναρτήσεις
για τις οποίες ισχύει ,
για όλα τα
Αν
είναι το σύνολο των ακεραίων
να βρείτε όλες τις συναρτήσεις
για τις οποίες ισχύει ,
για όλα τα
-
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm
Re: IMO 2019
Νομίζω αρκετά εύκολη για ΙΜΟ.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 16, 2019 3:56 pmΤο πρώτο πρόβλημα είναι.
Αν
είναι το σύνολο των ακεραίων
να βρείτε όλες τις συναρτήσεις
για τις οποίες ισχύει ,
για όλα τα
Απλώς βάλτε και μετά το και έχει βγει γραμμική. Τα άλλα θέμα ρουτίνας.
Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: IMO 2019
Για λαμβάνουμε
και για παίρνουμε .
Τότε από την προκύπτει
Από τις σχέσεις η αρχική γίνεται
Έστω .
Αντικαθιστώντας στην προκύπτει ότι ,
δηλαδή η ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy, άρα
Αντικαθιστώντας στην αρχική λαμβάνουμε τις λύσεις:
EDIT: Καλή επιτυχία στις ομάδες της Ελλάδας και της Κύπρου!
και για παίρνουμε .
Τότε από την προκύπτει
Από τις σχέσεις η αρχική γίνεται
Έστω .
Αντικαθιστώντας στην προκύπτει ότι ,
δηλαδή η ικανοποιεί την συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy, άρα
Αντικαθιστώντας στην αρχική λαμβάνουμε τις λύσεις:
EDIT: Καλή επιτυχία στις ομάδες της Ελλάδας και της Κύπρου!
Re: IMO 2019
Για έχουμεΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 16, 2019 3:56 pmΤο πρώτο πρόβλημα είναι.
Αν
είναι το σύνολο των ακεραίων
να βρείτε όλες τις συναρτήσεις
για τις οποίες ισχύει ,
για όλα τα
,
ενώ για έχουμε
.
Για οι 2 τελευταίες δινουν
.
Η αρχική μαζί με τη (2) δίνουν:
.
Η τελευταία, χρησιμοποιώντας και την (3), γίνεται , η οποία για δίνει για κάθε , με . Λύνοντας την αναδρομική έχουμε για και σταθερά. Με αντικατάσταση στην αρχική και εξίσωση συντελεστών βγάζουμε οτι πρέπει και αρκεί ή , άρα οι λύσεις είναι ολες οι για ακέραιο και η μηδενική.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: IMO 2019
Το o πρόβλημα (Γεωμετρία)
και , αντίστοιχα, έτσι ώστε το να είναι παράλληλο στο . Έστω σημείο της ευθείας , ώστε το να
είναι ανάμεσα στα και, και . Ομοίως, έστω σημείο της ευθείας , ώστε το να είναι ανάμεσα
στα και , και . Να δείξετε ότι τα σημεία , και είναι ομοκυκλικά..
Σε τρίγωνο , το είναι σημείο της πλευράς και το σημείο της πλευράς . Έστω και σημεία των τμημάτων και , αντίστοιχα, έτσι ώστε το να είναι παράλληλο στο . Έστω σημείο της ευθείας , ώστε το να
είναι ανάμεσα στα και, και . Ομοίως, έστω σημείο της ευθείας , ώστε το να είναι ανάμεσα
στα και , και . Να δείξετε ότι τα σημεία , και είναι ομοκυκλικά..
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2019
Πρόβλημα 3
Ένα κοινωνικό δίκτυο έχει 2019 χρήστες και κάποια ζεύγη εξ αυτών είναι φίλοι. ΑΝ ένας χρήστης Α είναι φίλος με ένα χρήστη Β, τότε και ο Β είναι φίλος με τον Α. Μπορούν να συμβαίνουν επαναλαμβανόμενα ένα και μόνο ένα γεγονός όπως το παρακάτω κάθε φορά:
Τρεις χρήστες τέτοιοι, ώστε ο είναι φίλος και με τους δύο , αλλά οι δεν είναι φιλοι μεταξύ τους, αλλάζουν τις καταστάσεις φιλίας τους έτσι ώστε οι είναι τώρα φίλοι, αλλά ο δεν είναι πλέον φίλος με τον , ούτε με τον . Όλες οι υπολοιπες φιλίες παραμένουν ίδιες.
ΑΡχικά, χρήστες έχουν φίλους ο καθένας και χρήστες έχουν φίλους ο καθένας. Αποδείξετε ότι υπάρχει ακολουθία τέτοιων γεγονότων μετά από την οποία κάθε χρήστης είναι φίλος με έναν το πολύ άλλον χρήστη.
Ένα κοινωνικό δίκτυο έχει 2019 χρήστες και κάποια ζεύγη εξ αυτών είναι φίλοι. ΑΝ ένας χρήστης Α είναι φίλος με ένα χρήστη Β, τότε και ο Β είναι φίλος με τον Α. Μπορούν να συμβαίνουν επαναλαμβανόμενα ένα και μόνο ένα γεγονός όπως το παρακάτω κάθε φορά:
Τρεις χρήστες τέτοιοι, ώστε ο είναι φίλος και με τους δύο , αλλά οι δεν είναι φιλοι μεταξύ τους, αλλάζουν τις καταστάσεις φιλίας τους έτσι ώστε οι είναι τώρα φίλοι, αλλά ο δεν είναι πλέον φίλος με τον , ούτε με τον . Όλες οι υπολοιπες φιλίες παραμένουν ίδιες.
ΑΡχικά, χρήστες έχουν φίλους ο καθένας και χρήστες έχουν φίλους ο καθένας. Αποδείξετε ότι υπάρχει ακολουθία τέτοιων γεγονότων μετά από την οποία κάθε χρήστης είναι φίλος με έναν το πολύ άλλον χρήστη.
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2019
Επί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας:
.........................
O τρόπος που "έστησα" την άποψη μου (δυστυχώς λόγω βιασύνης) ήταν κακός, οπότε τον αποσύρω με όλες τις ειλικρινείς συγγνώμες.
.........................
O τρόπος που "έστησα" την άποψη μου (δυστυχώς λόγω βιασύνης) ήταν κακός, οπότε τον αποσύρω με όλες τις ειλικρινείς συγγνώμες.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Παρ Ιούλ 19, 2019 1:27 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 9
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 8:46 am
Re: IMO 2019
Μια απλη και ευκολη ( αλλα αρκετα εκτενης ) λυση στη γεωμετρια προκυπτει Αν θεωρησουμε
και
οπου ο περιγεγραμμενος του ABC.
Τοτε βγαινουν εγγραψιμα τα :
οποτε μετα απο "angle chasing" Βγαινουν και τα
Και τελικα βγαινει το ζητουμενο
και
οπου ο περιγεγραμμενος του ABC.
Τοτε βγαινουν εγγραψιμα τα :
οποτε μετα απο "angle chasing" Βγαινουν και τα
Και τελικα βγαινει το ζητουμενο
τελευταία επεξεργασία από AlexNtagkas σε Τετ Ιούλ 17, 2019 8:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2019
Καλά αποτελέσματα και καλή επάνοδο σε όλους τους διαγωνιζόμενους της Ελλάδας και της Κύπρου.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: IMO 2019
Θα μπορούσατε να γράψετε τις λεπτομέρειες της λύσης αυτής;S.E.Louridas έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 17, 2019 3:00 pmΕπί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας:
Αν η τμήσει τις στα σημεία αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα που εφάπτονται στο και στα τρίγωνα και , οδηγούν στην λύση.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: IMO 2019
Αν από την συναρτησιακη είναι: (1)
Αν τοτε (2)
Αν
Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται (3)
Θέτοντας στην σχεση (3) όπου προκύπτει ότι
Οποτε ,για κάθε ακέραιο
Από τις σχέσεις (2)-(3):
(4)
Από τις σχέσεις (3)-(4):
Αφου τοτε
Προσθέτοντας τις δυο τελευταίες σχέσεις κατά μέλη:
Οποτε
Αν τοτε από την (3) είναι για κάθε ακέραιο
Άρα ή
Αν τοτε (2)
Αν
Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται (3)
Θέτοντας στην σχεση (3) όπου προκύπτει ότι
Οποτε ,για κάθε ακέραιο
Από τις σχέσεις (2)-(3):
(4)
Από τις σχέσεις (3)-(4):
Αφου τοτε
Προσθέτοντας τις δυο τελευταίες σχέσεις κατά μέλη:
Οποτε
Αν τοτε από την (3) είναι για κάθε ακέραιο
Άρα ή
τελευταία επεξεργασία από christinat σε Παρ Δεκ 18, 2020 7:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: IMO 2019
Χριστίνα καλησπέρα, το παραπάνω έχει λάθος, δεν δικαιούσαι να πεις ότι: . Ο λόγος είναι ότι το που έχεις θεωρήσει είναι εξαρτημένη μεταβλητή, ( αφού είναι ίσο με ) ενώ το χ στην σχέση ,για κάθε ακέραιο , που καταλήγεις είναι προφανώς, ανεξάρτητη.christinat έγραψε: ↑Πέμ Ιούλ 18, 2019 3:38 pm
Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται (3)
Θέτοντας στην σχεση (3) όπου προκύπτει ότι
Οποτε ,για κάθε ακέραιο
Θα μπορούσες να το πεις αυτό αν η ήταν επί των ακεραίων, όμως για παράδειγμα η που ικανοποιεί την συναρτησιακή δεν είναι επί.Με λίγα λόγια το πρόβλημα είναι το για κάθε ακέραιο , καθώς ισχύει μόνο για κάθε ακέραιο στην εικόνα της .
Υ.Γ. Καλή επιτυχία στα παιδιά!
Αρμενιάκος Σωτήρης
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2019
Καταρχάς Σιλουανέ, συγγνώμη που άργησα για την απάντηση, αλλά στην δουλειά μου και λόγω ενός διαγωνισμού που θα γίνει για την τράπεζα Ελλάδος εργαζόμαστε πάρα πολλές ώρες και όχι μόνο κάνοντας προσωπικά μάθημα. Έτσι επιφυλάσσομαι και για κάποιες παραλήψεις, επειδή η λύση έγινε βιαστικά, αφού να φανταστείς μόλις πριν μία ώρα γύρισα σπίτι.silouan έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 17, 2019 8:44 pmΘα μπορούσατε να γράψετε τις λεπτομέρειες της λύσης αυτής;S.E.Louridas έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 17, 2019 3:00 pmΕπί του πιεστηρίου μία άποψη για το δεύτερο της γεωμετρίας:
Αν η τμήσει τις στα σημεία αντίστοιχα, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα που εφάπτονται στο και στα τρίγωνα και , οδηγούν στην λύση.
.........................
Τελικά ο τρόπος που "έστησα" την άποψη μου (δυστυχώς λόγω βιασύνης) ήταν κακός, οπότε τον αποσύρω με όλες τις ειλικρινείς συγγνώμες και ειδικά προς τον Σιλουανό που σίγουρα αυτές τις ώρες δίνει σκληρή μάχη για την κατoχύρωση της αξίας των διαγωνιζόμενων στην ΙΜΟ (το έχω ζήσει προσωπικά στο παρελθόν).
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: IMO 2019
Θερμά Συγχαρητήρια σε όλη την αποστολή στην ΙΜΟ2019!
Δημητρης Μελας (Αργυρό),
Σπύρος Γαλανόπουλος (Χάλκινο),
Ευθύμης Ντόκας (Χάλκινο),
Δημήτρης Λώλας (Εύφημος μνεία),
Μηνάς Μαργαρίτης (Εύφημος μνεία),
Ειρήνη Μηλιώρη (Εύφημος μνεία)
Η επίλυση και μόνο ενός από τα έξι απαιτητικά προβλήματα που τέθηκαν έχει τεράστια αξία. Σας ευχόμαστε ακόμη μεγαλύτερες επιτυχίες στο μέλλον.
Θερμά συγχαρητήρια ακόμη μια φορά τόσο σε εσάς όσο και στον κ. Φελλούρη και τον Σιλουανό.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Δημητρης Μελας (Αργυρό),
Σπύρος Γαλανόπουλος (Χάλκινο),
Ευθύμης Ντόκας (Χάλκινο),
Δημήτρης Λώλας (Εύφημος μνεία),
Μηνάς Μαργαρίτης (Εύφημος μνεία),
Ειρήνη Μηλιώρη (Εύφημος μνεία)
Η επίλυση και μόνο ενός από τα έξι απαιτητικά προβλήματα που τέθηκαν έχει τεράστια αξία. Σας ευχόμαστε ακόμη μεγαλύτερες επιτυχίες στο μέλλον.
Θερμά συγχαρητήρια ακόμη μια φορά τόσο σε εσάς όσο και στον κ. Φελλούρη και τον Σιλουανό.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Συνημμένα
-
- imo2019_hel.png (107.87 KiB) Προβλήθηκε 5737 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 20 επισκέπτες