Σελίδα 1 από 1

Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 29, 2019 12:12 pm
από Datis-Kalali
Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:R \rightarrow R, όπου f(2)>-1 και για κάθε x,y \in R ισχυεί:
f(xf(y)+y)=f(x+y)+xy

Πρόβλημα 2: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC. Έστω D, το σημείο τομής του Α-ύψους με την πλευρά BC. Ο κύκλος με διάμετρος AD και κέντρο O, τέμνει την πλευρά AB στο σημείο E. Επίσης έστω ότι ο κύκλος με διάμετρος DO τέμνει την πλευρά AB στα σημεία P και Q. Οι ευθείες OP και OQ, τέμνουν την προέκταση της πλευράς BC στα σημεία U και V αντίστοιχα. Επίσης οι ευθείες UE και VE τέμνουν τον κύκλο με διάμετρο AD ξανά στα σημεία S και T αντίστοιχα. Εάν B' είναι ο συμμετρικός του B ως προς το σημείο D, να αποδείξετε ότι τα σημεία S,T και B' είναι συνευθειακά.
Πηγή: Βιβλίο Μαθηματικής Ολυμπιάδας Περσίας

Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 29, 2019 1:34 pm
από min##
Για την πρώτη στα γρήγορα:
Το P(x+2,-x) δίνει f(something)=-x^2-2x+f(2) για κάθε x.Επειδή f(2)>-1,το παραπάνω RHS θα μηδενίζει σίγουρα για κάποιο x=k.Το P(x,k) δίνει
f(x)=-xk+k^2.Βάζοντας αυτό στην αρχική βγαίνει μοναδική λύση η f(x)=x+1.

Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 29, 2019 3:35 pm
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Για τη δεύτερη:

Έστω M το μέσο του ES και N το μέσο του ET.

Θα δείξουμε ότι DM//AB.

Προφανώς το D ανήκει στην πολική του U στον κύκλο διαμέτρου AD, ενώ ακόμη ισχύει ότι PD\perp OU. Άρα τελικά η PD είναι η πολική του U.

Έστω K το σημείο τομής της PD με την ES.

Από τα παραπάνω προκύπτει πως η (U, K; E, S) είναι αρμονική τετράδα, οπότε από MacLaurin με το μέσο M του ES έχουμε ότι:

UE\cdot US=UK\cdot UM.

Όμως από δύναμη σημείου είναι UE\cdot US=UD^2, άρα τελικά UD^2=UK\cdot UM. Με άλλα λόγια η UD είναι εφαπτομένη στο τρίγωνο KDM.

Επομένως έχουμε ότι \widehat{KMD}=\widehat{KDB}.

Έστω πως η PD τέμνει τον κύκλο διαμέτρου AD στο L.

Προφανώς η UL είναι εφαπτόμενη σε αυτόν τον κύκλο. Έχουμε πως \widehat{KDB}=\widehat{ULP}.

Όμως παρατηρούμε πως \widehat{ULE}=\widehat{LDE}=\widehat{UPE} (οι τελευταίες δύο είναι ίσες ως συμπληρώματα της \widehat{EPD}).

Οπότε το τετράπλευρο ULPE είναι εγγράψιμο και επομένως \widehat{ULP}=\widehat{UEB}.

Άρα τελικά έχουμε \widehat{KMD}=\widehat{UEB}, δηλαδή DM//AB.

Ομοίως είναι DN//AB, άρα MN//AB και ST//AB.

Αφού τώρα BE//DM είναι και B'S//BE, άρα B'S//AB δηλαδή τα S, T, B' είναι συνευθειακά.

Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 29, 2019 5:14 pm
από min##
Άλλη μια για τη 2.
Έστω X\equiv DP\cap SE,Y\equiv DQ\cap TE.
Είναι:
1) UVEOA,UVPQ εγγράψιμα από αντιστροφή κέντρου O.
2) XY,ST,BC συντρέχουσες, αφού (U,X,E,S)=(V,Y,E,T)=-1 λόγω πολικών.
Οπότε αρκεί νδο η XY τέμνει την BC στο συμμετρικό του B ως προς το D.

Έχω YDX\angle=POQ\angle=UEV\angle=YEX \angle άρα XYED εγγράψιμο (η 3η,4η ισότητα εξαιτίας του εγγράψιμου UVEOA).
Ακόμα από τα εγγράψιμα UVEOA,AEDST έχω από Reim's πως OP//DS,OQ//DT.
Λόγω αυτών των παραλληλιών και επειδή D(U,X,E,S)=-1DE περνάει από το μέσον του PU.
Αν λοιπόν H \equiv DS\cap AB,το D θα είναι το μέσον του SH (τραπέζιο SHUP) και άρα προβάλλοντας την αρμονική B(U,X,E,S) στην DH καταλήγω στο ότι BX//DS.
Εντελώς όμοια προκύπτει πως BY//DT.
Έτσι BXD\angle=BYD\angle=90=BED\angle και επειδή το XYED είναι εγγράψιμο (παραπάνω) παίρνω πως το XYEBD είναι εγγράψιμο.
Είναι απλό πως οι DS,DT είναι ισογώνιες ως προς τη B\angle-οι BX,BY θα είναι επίσης.
Συνεπώς το EDXY είναι ισοσκελές τραπέζιο,δηλαδή ED//XY, και καθώς η ΕD διχοτομεί την BX (τραπέζιο SHUP) θα είναι η ευθεία που ενώνει τα μέσα στο τρίγωνο που ορίζουν οι AB,BC,XY κλπ.