Σελίδα 1 από 1
Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 29, 2019 12:12 pm
από Datis-Kalali
Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις

, όπου

και για κάθε

ισχυεί:
Πρόβλημα 2: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο

. Έστω

, το σημείο τομής του Α-ύψους με την πλευρά

. Ο κύκλος με διάμετρος

και κέντρο

, τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Επίσης έστω ότι ο κύκλος με διάμετρος

τέμνει την πλευρά

στα σημεία

και

. Οι ευθείες

και

, τέμνουν την προέκταση της πλευράς

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Επίσης οι ευθείες

και

τέμνουν τον κύκλο με διάμετρο

ξανά στα σημεία

και

αντίστοιχα. Εάν

είναι ο συμμετρικός του

ως προς το σημείο

, να αποδείξετε ότι τα σημεία

και

είναι συνευθειακά.
Πηγή: Βιβλίο Μαθηματικής Ολυμπιάδας Περσίας
Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 29, 2019 1:34 pm
από min##
Για την πρώτη στα γρήγορα:
Το

δίνει

για κάθε

.Επειδή

,το παραπάνω

θα μηδενίζει σίγουρα για κάποιο

.Το

δίνει

.Βάζοντας αυτό στην αρχική βγαίνει μοναδική λύση η

.
Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 29, 2019 3:35 pm
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Για τη δεύτερη:
Έστω

το μέσο του

και

το μέσο του

.
Θα δείξουμε ότι

.
Προφανώς το

ανήκει στην πολική του

στον κύκλο διαμέτρου

, ενώ ακόμη ισχύει ότι

. Άρα τελικά η

είναι η πολική του

.
Έστω

το σημείο τομής της

με την

.
Από τα παραπάνω προκύπτει πως η

είναι αρμονική τετράδα, οπότε από

με το μέσο

του

έχουμε ότι:

.
Όμως από δύναμη σημείου είναι

, άρα τελικά

. Με άλλα λόγια η

είναι εφαπτομένη στο τρίγωνο

.
Επομένως έχουμε ότι

.
Έστω πως η

τέμνει τον κύκλο διαμέτρου

στο

.
Προφανώς η

είναι εφαπτόμενη σε αυτόν τον κύκλο. Έχουμε πως

.
Όμως παρατηρούμε πως

(οι τελευταίες δύο είναι ίσες ως συμπληρώματα της

).
Οπότε το τετράπλευρο

είναι εγγράψιμο και επομένως

.
Άρα τελικά έχουμε

, δηλαδή

.
Ομοίως είναι

, άρα

και

.
Αφού τώρα

είναι και

, άρα

δηλαδή τα

είναι συνευθειακά.
Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Σεπ 29, 2019 5:14 pm
από min##
Άλλη μια για τη 2.
Έστω

.
Είναι:
1)

εγγράψιμα από αντιστροφή κέντρου

.
2)

συντρέχουσες, αφού

λόγω πολικών.
Οπότε αρκεί νδο η

τέμνει την

στο συμμετρικό του

ως προς το

.
Έχω

άρα

εγγράψιμο (η 3η,4η ισότητα εξαιτίας του εγγράψιμου

).
Ακόμα από τα εγγράψιμα

έχω από Reim's πως

.
Λόγω αυτών των παραλληλιών και επειδή

,η

περνάει από το μέσον του

.
Αν λοιπόν

,το

θα είναι το μέσον του

(τραπέζιο

) και άρα προβάλλοντας την αρμονική

στην

καταλήγω στο ότι

.
Εντελώς όμοια προκύπτει πως

.
Έτσι

και επειδή το

είναι εγγράψιμο (παραπάνω) παίρνω πως το

είναι εγγράψιμο.
Είναι απλό πως οι

είναι ισογώνιες ως προς τη

-οι

θα είναι επίσης.
Συνεπώς το

είναι ισοσκελές τραπέζιο,δηλαδή

, και καθώς η

διχοτομεί την

(τραπέζιο

) θα είναι η ευθεία που ενώνει τα μέσα στο τρίγωνο που ορίζουν οι

κλπ.