Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1194
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Νοέμ 24, 2019 10:54 am

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019.
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 7η τάξη.



1. Η αξία του κρυπτονομίσματος Θάλιον την πρώτη Μαρτίου ήταν ένα ευρώ, ύστερα κάθε μέρα αυξανόταν κατά ένα ευρώ. Η αξία του κρυπτονομίσματος Ευκλείδιουμ την πρώτη Μαρτίου ήταν επίσης ένα ευρώ και ύστερα κάθε μέρα ήταν ίση με το άθροισμα των χθεσινών αξιών των Θάλιον και Ευκλείδιουμ, διαιρεμένο με το γινόμενό τους. Ποιά ήταν η αξία του Ευκλείδιουμ την 31η Μαΐου (δηλαδή την 92η μέρα);


2. Στο κυρτό τετράπλευρο ABCD η γωνίες των κορυφών A,B και C είναι ίσες. Έστω E σημείο της πλευράς AB για το οποίο ισχύει AD=CD=BE. Να αποδείξετε, ότι η CE είναι διχοτόμος της γωνίας BCD.


3. Στη σειρά στέκονται κάμποσα άτομα, μερικοί από αυτούς είναι ιππότες, οι οποίοι λένε πάντα την αλήθεια και μερικοί αυλικοί, οι οποίοι λένε πάντα ψέματα. Ο καθένας τους αναφώνησε μια από τις δυο φράσεις: «Δεξιά μου οι ιππότες είναι περισσότεροι, από ότι αριστερά μου» ή «Αριστερά μου οι ιππότες είναι περισσότεροι, από ότι δεξιά μου», εξάλλου τα άτομα που είπαν την κάθε φράση, ήταν ίσα στον αριθμό. Έπειτα ο καθένας τους αναφώνησε μια από τις δυο φράσεις: «Δεξιά μου οι αυλικοί είναι περισσότεροι, από ότι αριστερά μου» ή «Αριστερά μου οι αυλικοί είναι περισσότεροι, από ότι δεξιά μου». Να αποδείξετε, ότι πάλι και οι δυο φράσεις ακούστηκαν τον ίδιο αριθμό φορών.


4. Υπάρχουν άραγε ανά δυο διαφορετικοί μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί a,b και c τέτοιοι, ώστε
2a + M  . K . \Delta . \left ( b,c\right ) = 2b + M  . K . \Delta . \left ( a,c\right ) =2c + M  . K . \Delta . \left ( a,b\right ) ;


Καταληκτική αίθουσα


5. Μπροστά στον Νικολάκη βρίσκονται 2019 πιατάκια, στα οποία συνολικά βρίσκονται 2019 γλυκά. Ο Νικολάκης μπορεί να κάνει δυο πράξεις.

I. Αν σε κάποια δυο πιατάκια τα γλυκά είναι ίσα στον αριθμό, μπορεί να φάει όλα τα γλυκά που βρίσκονται σε ένα από αυτά τα δυο πιατάκια.
II. Μπορεί να μεταφέρει σε άδειο πιατάκι από ένα γλυκό, από κάθε μη άδειο πιατάκι.

Αποδείξτε, ότι ο Νικολάκης μπορεί να κάνει μερικές πράξεις έτσι, ώστε να φάει τουλάχιστον τρία γλυκά.


6. Ο Αλέξανδρος διάλεξε τέσσερις μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς x,y,z,t και έγραψε δώδεκα κλάσματα:

\dfrac{x}{y}, \quad \dfrac{x}{z}, \quad \dfrac{x}{t},  \quad \dfrac{y}{x}, \quad  \dfrac{y}{z}, \quad \dfrac{y}{t}, \quad \dfrac{z}{x}, \quad \dfrac{z}{y}, \quad \dfrac{z}{t}, \quad \dfrac{t}{x}, \quad \dfrac{t}{y}, \quad \dfrac{t}{z}.

Να αποδείξετε, ότι κάποια δυο κλάσματα διαφέρουν το πολύ κατά \dfrac{11}{60}.


7. Στην πλευρά AC του τριγώνου ABC δίνεται σημείο K. Προέκυψε, ότι \angle ABK = 7^0 και \angle ABC=77^0. Αποδείξτε, ότι

2AK+AC > BC.



Πηγή



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Νοέμ 24, 2019 11:56 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 24, 2019 10:54 am

1. Η αξία του κρυπτονομίσματος Θάλιον την πρώτη Μαρτίου ήταν ένα ευρώ, ύστερα κάθε μέρα αυξανόταν κατά ένα ευρώ. Η αξία του κρυπτονομίσματος Ευκλείδιουμ την πρώτη Μαρτίου ήταν επίσης ένα ευρώ και ύστερα κάθε μέρα ήταν ίση με το άθροισμα των χθεσινών αξιών των Θάλιον και Ευκλείδιουμ, διαιρεμένο με το γινόμενό τους. Ποιά ήταν η αξία του Ευκλείδιουμ την 31η Μαΐου (δηλαδή την 92η μέρα);
Έστω a_n,b_n οι αξίες του ''Θάλιον'' και του ''Ευκλείδιουμ'' την n-οστή μέρα.
Θα είναι a_n=n και b_n=\dfrac{b_{n-1}+(n-1)}{b_{n-1}(n-1)}
Αν b_{n-1}=1 τότε b_n=\dfrac{1+n-1}{n-1}=\dfrac{n}{n-1} και b_{n+1}=\dfrac{\dfrac{n}{n-1}+1}{\dfrac{n}{a-1}\cdot n}=\dfrac{\dfrac{n}{n-1}}{\dfrac{n}{n-1}}=1
Έτσι επειδή b_1=1 θα είναι b_i=1 για κάθε i περιττό.Έτσι b_{91}=1 και b_{92}=\dfrac{1+91}{1\cdot 91}=\dfrac{92}{91}
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Κυρ Νοέμ 24, 2019 5:25 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Νοέμ 24, 2019 12:26 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 24, 2019 10:54 am

2. Στο κυρτό τετράπλευρο ABCD η γωνίες των κορυφών A,B και C είναι ίσες. Έστω E σημείο της πλευράς AB για το οποίο ισχύει AD=CD=BE. Να αποδείξετε, ότι η CE είναι διχοτόμος της γωνίας BCD.

Από τα δεδομένα το ABCD είναι χαρταετός.
Τα τρίγωνα CEB,DCB είναι ίσα αφού \angle B=\angle C ,BE=CD και BC κοινή.Έτσι το DCBE είναι εγγράψιμο και μάλιστα ισοσκελές τραπέζιο.Άρα \angle A=\angle DEA δηλαδή DE=AD=DC=EB .Έτσι \angle DCE=\angle ECB αφού βαίνουν σε ίσα τόξα.
161.PNG
161.PNG (22.76 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Νοέμ 24, 2019 2:05 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 24, 2019 10:54 am
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019.
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 7η τάξη.





4. Υπάρχουν άραγε ανά δυο διαφορετικοί μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί a,b και c τέτοιοι, ώστε
2a + M  . K . \Delta . \left ( b,c\right ) = 2b + M  . K . \Delta . \left ( a,c\right ) =2c + M  . K . \Delta . \left ( a,b\right ) ;
Έστω ότι υπήρχαν τέτοιοι αριθμοί.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω a > b >c.

Είναι, 2a+\gcd(b,c)=2b+\gcd(c,a) \Rightarrow \gcd(c,a)-\gcd(b,c)=2a-2b > 0, άρα \gcd(c,a) > \gcd(b,c). Ομοίως, προκύπτει \gcd(a,b) >\gcd(c,a)>\gcd(b,c).

Επίσης, είναι \gcd(a,b) \mid 2a-2b = \gcd(c,a)- \gcd(b,c) \Rightarrow \gcd(a,b) \mid \gcd(a,c)-\gcd(b,c), οπότε \gcd(a,b) \leqslant \gcd(a,c)-\gcd(b,c) < \gcd(a,c)<\gcd(a,b), άτοπο.

Άρα, τέτοιοι αριθμοί δεν υπάρχουν.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8488
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Νοέμ 25, 2019 12:42 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 24, 2019 10:54 am
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019.
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 7η τάξη.



4. Υπάρχουν άραγε ανά δυο διαφορετικοί μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί a,b και c τέτοιοι, ώστε
2a + M  . K . \Delta . \left ( b,c\right ) = 2b + M  . K . \Delta . \left ( a,c\right ) =2c + M  . K . \Delta . \left ( a,b\right ) ;

Λίγο διαφορετικά από τον Ορέστη. Έστω r = \gcd(a,b), s= \gcd(b,c), t = \gcd(c,a). Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι r \geqslant s \geqslant t. Όπως έχει ήδη δείξει ο Ορέστης, r|s-t. Αλλά τότε πρέπει s=t οπότε 2a+s = 2b+s. Δηλαδή a=b, άτοπο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8488
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 26, 2019 5:24 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 24, 2019 10:54 am
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019.
Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 7η τάξη.



6. Ο Αλέξανδρος διάλεξε τέσσερις μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς x,y,z,t και έγραψε δώδεκα κλάσματα:

\dfrac{x}{y}, \quad \dfrac{x}{z}, \quad \dfrac{x}{t},  \quad \dfrac{y}{x}, \quad  \dfrac{y}{z}, \quad \dfrac{y}{t}, \quad \dfrac{z}{x}, \quad \dfrac{z}{y}, \quad \dfrac{z}{t}, \quad \dfrac{t}{x}, \quad \dfrac{t}{y}, \quad \dfrac{t}{z}.

Να αποδείξετε, ότι κάποια δυο κλάσματα διαφέρουν το πολύ κατά \dfrac{11}{60}.
Θα δείξω ότι υπάρχουν δυο κλάσματα που διαφέρουν το πολύ κατά \tfrac{1}{6} < \tfrac{11}{60}.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι x < y < z < t. Θέτω \displaystyle  \alpha = \frac{z}{t}, \beta = \frac{y}{z} και \displaystyle  \gamma = \frac{x}{y}. Τότε είναι και \displaystyle  \frac{y}{t} = \alpha \beta, \frac{x}{z} = \beta \gamma και \displaystyle  \frac{x}{y} = \alpha\beta\gamma

Τα \alpha,\beta,\gamma,\alpha\beta,\beta\gamma,\alpha\beta\gamma ανήκουν στο [0,1]. Αν όλα είναι μικρότερα ή ίσα από 5/6 τότε από απλή εφαρμογή της αρχής του περιστερώνα τουλάχιστον δύο διαφέρουν το πολύ κατά 1/6.

Το μεγαλύτερο από αυτά είναι ένα από τα \alpha, \beta, \gamma. Έστω το \alpha. (Δεν είναι εντελώς συμμετρικό, πρέπει να ελέγξουμε τουλάχιστον και το \beta αλλά η απόδειξη είναι ίδια.) Τότε όμως:

\displaystyle  \frac{x}{z} - \frac{x}{y} = \beta\gamma - \alpha\beta\gamma = \beta\gamma(1-\alpha) \leqslant 1 - \alpha \leqslant \frac{1}{6}

Με λίγη προσοχή βελτιώνεται κι' άλλο αλλά δεν το έκανα. Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε και την προτεινόμενη απόδειξη η οποία δίνει το \tfrac{11}{60}.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1194
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Νοέμ 28, 2019 11:27 am

Demetres έγραψε:
Τρί Νοέμ 26, 2019 5:24 pm
Με λίγη προσοχή βελτιώνεται κι' άλλο αλλά δεν το έκανα. Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε και την προτεινόμενη απόδειξη η οποία δίνει το \tfrac{11}{60}.

Μεταφέρω την πιθανή προτεινόμενη λύση, λέω πιθανή γιατί την μεταφέρω από το περιοδικό Κβάντικ (τέυχος 6, 2019) όπου το πρόβλημα τίθεται με τρια ερωτήματα α) \dfrac{1}{5}, \quad β) \dfrac{11}{60}, \quad γ) \dfrac{1}{6}. Στην περίπτωση (γ) δίνεται κατευθείαν μια πιο βελτιωμένη εκδοχή. Για το (β) περισσότερο θα λέγαμε ότι η απόδειξη χρισημοποιεί το \dfrac{11}{60} παρά το δίνει και είναι η εξής:

Παρατηρούμε ότι αν ο Αλέξανδρος διαλέξει δυο ίσους αριθμούς τότε κάποια δυο κλάσματα θα είναι ίσα με 1 και ο ισχυρισμός του προβλήματος είναι προφανής. Οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι όλοι αριθμοί είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Έστω x < y<z<t, τότε γράφτηκαν ακριβώς 6 κλάσματα μικρότερα του 1, αυτά είναι τα κλάσματα \dfrac{x}{y}, \dfrac{x}{z},\dfrac{x}{t},\dfrac{y}{z},\dfrac{y}{t}, \dfrac{z}{t}.

(β) Γράφουμε όλα τα κλάσματα κατά αύξουσα σειρά: q_{1},q_{2}, q_{3}, \ldots , q_{12}. Τότε τα κλάσματα q_{1},q_{2}, \ldots , q_{6} είναι μικρότερα του 1 και q_{7} θα είναι το μικρότερο κλάσμα, που υπερβαίνει το 1. Δεν είναι δύσκολο να αποφανθούμε ότι q_{7}=\dfrac{1}{q_{6}}, q_{8}=\dfrac{1}{q_{5}} κτλ.

Ας υποθέσουμε ότι οποιαδήποτε δυο κλάσματα διαφέρουν τουλάχιστον κατά d=\dfrac{11}{60}. Τότε

q_{1} > 0, q_{2} >q_{1}+d, \ldots , q_{6} > q_{5} +d > 5d, \quad q_{7} > q_{6}+d >6d.

Επομένως 1=q_{6}q_{7} > 5d \cdot 6d = 5 \cdot 6 \cdot \left ( \dfrac{11}{60} \right )^2 = \dfrac{121}{120}. Άτοπο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8488
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (7η τάξη)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 29, 2019 12:45 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Νοέμ 28, 2019 11:27 am
Για το (β) περισσότερο θα λέγαμε ότι η απόδειξη χρισημοποιεί το \dfrac{11}{60} παρά το δίνει και είναι η εξής:

Ναι η απόδειξη δίνει διαφορά το πολύ 1/\sqrt{30}. Μάλλον όμως αυτήν (ή την πιο βελτιωμένη) ανέμεναν για το 11/60.

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 24, 2019 10:54 am
3. Στη σειρά στέκονται κάμποσα άτομα, μερικοί από αυτούς είναι ιππότες, οι οποίοι λένε πάντα την αλήθεια και μερικοί αυλικοί, οι οποίοι λένε πάντα ψέματα. Ο καθένας τους αναφώνησε μια από τις δυο φράσεις: «Δεξιά μου οι ιππότες είναι περισσότεροι, από ότι αριστερά μου» ή «Αριστερά μου οι ιππότες είναι περισσότεροι, από ότι δεξιά μου», εξάλλου τα άτομα που είπαν την κάθε φράση, ήταν ίσα στον αριθμό. Έπειτα ο καθένας τους αναφώνησε μια από τις δυο φράσεις: «Δεξιά μου οι αυλικοί είναι περισσότεροι, από ότι αριστερά μου» ή «Αριστερά μου οι αυλικοί είναι περισσότεροι, από ότι δεξιά μου». Να αποδείξετε, ότι πάλι και οι δυο φράσεις ακούστηκαν τον ίδιο αριθμό φορών.
Για να μην επαναλαμβάνω τις φράσεις, θα τις ονομάσω S_1,S_2,S_3,S_4 με τη σειρά που έχουν γραφτεί.

Πρέπει να έχουμε άρτιο αριθμό ιπποτών αλλιώς ο μεσαίος δεν θα μπορούσε να πει καμία από τις S_1,S_2. Έστω ότι έχουμε 2k ιππότες με τον k να βρίσκεται στη θέση i και τον k+1 στη θέση j > i. Έστω ότι έχουμε r αυλικούς στις θέσεις από 1 ως i-1, s στις θέσεις από i+1 ως j-1 και t από την j+1 και έπειτα. Πρέπει επίσης να έχουμε άρτιο αριθμό αυλικών ώστε να έχουμε ίδιο πλήθος ατόμων που είπαν τις S_1 και S_2.

Την S_1 την είπαν σίγουρα k+t άτομα καθώς ίσως και κάποιοι από τους μεσαίους s αυλικούς.
Την S_2 την είπαν σίγουρα k+r άτομα καθώς ίσως και κάποιοι από τους μεσαίους s αυλικούς.

Άρα πρέπει |r-t| \leqslant s.

Τώρα, από τους αυλικούς σίγουρα οι πρώτοι μισοί είπαν την S_4 και οι υπόλοιποι μισοί την S_3. Κάθε ένας από τους πρώτους k ιππότες έχει τουλάχιστον r+s αυλικούς στα δεξιά του και το πολύ t στα αριστερά του. Επειδή r+s \geqslant t και επειδή είπε κάποια από τις φράσεις S_3 και S_4, πρέπει να είπε την S_3. Ομοίως οι υπόλοιποι k είπαν την S_4 και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Σημείωση: Θεωρήσαμε ότι τα άτομα στέκονται από τα αριστερά στα δεξιά και κοιτάζουν μπροτστά (προς την ίδια κατεύθυνση). Αλλιώς το ζητούμενο δεν ισχύει. Π.χ. αν έχουμε από αριστερά προς τα δεξιά τους A,B,C,D με τους A,D ιππότες, τους B,C αυλικούς, τους A,B,C να κοιτάζουν μπροστά και τον D να κοιτάζει πίσω τότε έχουμε τα εξής: Οι A,D είπαν την S_1. Οι B,C θα μπορούσαν να πουν την S_2. Μετά όμως οι A,C,D είπαν την S_3 ενώ μόνο ο B είπε την S_4.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης