Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

#1

Χθες είχαμε τον πρώτο Παγκύπριο διαγωνισμό επιλογής. Αναρτώ εδώ τα θέματα των μικρών και θα αναρτήσω σε λίγο και των μεγάλων.

Πρόβλημα 1:
(α) Αν

φυσικός αριθμός ο οποίος δεν είναι πολλαπλάσιο του

, να αποδείξετε ότι ο n^2+2

είναι πολλαπλάσιο του 3.
(β) Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς

έτσι ώστε ο p^2+8

να είναι επίσης πρώτος αριθμός.

Πρόβλημα 2: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\triangle \mathrm{AB}\Gamma$ $(\mathrm{A}\Gamma=\mathrm{B}\Gamma)$ με τις γωνίες της βάσης του να είναι $\angle \Gamma \mathrm{AB}= \angle \Gamma \mathrm{BA}=75^{\circ}$ . Από το μέσον $\mathrm{M}$ του $\mathrm{AB}$ φέρουμε ευθεία κάθετη προς την $\mathrm{B}\Gamma$ η οποία τέμνει την $\mathrm{B}\Gamma$ στο σημείο $\Delta$ . Πάνω στην προέκταση της $\mathrm{M}\Delta$ , προς το $\Delta$ , παίρνουμε σημείο $\mathrm{E}$ τέτοιο ώστε $\mathrm{M}\Delta=\Delta \mathrm{E}$ . Η παράλληλη από το σημείο $\mathrm{E}$ προς την $\mathrm{AB}$ τέμνει την $\mathrm{A}\Gamma$ στο σημείο $\mathrm{Z}$ . Αν οι παράλληλες από τα σημεία $\mathrm{B}$ και $\mathrm{A}$ προς τις ευθείες $\mathrm{M}\Delta$ και $\mathrm{B}\Gamma$ αντίστοιχα τέμνονται στο σημείο $\mathrm{K}$ , να υπολογίσετε την γωνία $\angle \mathrm{ZBK}$ .

Πρόβλημα 3: Ο Αντρέας και ο Βασίλης συμφωνούν να παίξουν ένα παιχνίδι με αριθμούς ως εξής:

«Γράφουν εναλλάξ στον πίνακα θετικά τέλεια τετράγωνα με τον όρο ότι ένα τέλειο τετράγωνο μπορεί να γραφεί αρκετές φορές.»

Αν το άθροισμα των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα γίνει μεγαλύτερο του

αυτός που έγραψε τον τελευταίο αριθμό χάνει το παιχνίδι.

Αν ο Αντρέας ξεκινά πρώτος το παιχνίδι να βρείτε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης και να εξηγήσετε την στρατηγική.

Πρόβλημα 4: Σε μια τάξη κάθε μαθητής παίζει τουλάχιστον ένα μουσικό όργανο από τα μουσικά όργανα κιθάρα, βιολί και πιάνο. Ξέρουμε ότι:
$\bullet$ Τουλάχιστον $90\%$ των μαθητών παίζει κιθάρα ή βιολί ή και τα δύο.
$\bullet$ Τουλάχιστον $90\%$ των μαθητών παίζει βιολί ή πιάνο ή και τα δύο.
$\bullet$ Τουλάχιστον $90\%$ των μαθητών παίζει πιάνο ή κιθάρα ή και τα δύο.
Υπάρχει επίσης αριθμός

(όχι απαραίτητα ακέραιος αριθμός) ώστε
$\bullet$ Τουλάχιστον $k\%$ των μαθητών που παίζουν κιθάρα, παίζουν μόνο κιθάρα.
$\bullet$ Τουλάχιστον $k\%$ των μαθητών που παίζουν βιολί, παίζουν μόνο βιολί.
$\bullet$ Τουλάχιστον $k\%$ των μαθητών που παίζουν πιάνο, παίζουν μόνο πιάνο.
Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του

.

Ορέστης Λιγνός · #2

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:20 pm
Χθες είχαμε τον πρώτο Παγκύπριο διαγωνισμό επιλογής. Αναρτώ εδώ τα θέματα των μικρών και θα αναρτήσω σε λίγο και των μεγάλων.

Πρόβλημα 1:
(α) Αν φυσικός αριθμός ο οποίος δεν είναι πολλαπλάσιο του , να αποδείξετε ότι ο είναι πολλαπλάσιο του 3.
(β) Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς έτσι ώστε ο να είναι επίσης πρώτος αριθμός.

(α) Αν ο

δεν είναι πολλαπλάσιο του

, τότε έχουμε ότι $n \equiv 1$ ή $2 \pmod 3$ . Και στις δύο περιπτώσεις προκύπτει $n^2 \equiv 1 \pmod 3$ , οπότε $n^2+2 \equiv 0 \pmod 3$ .

(β) Αν ο

δεν είναι πολλαπλάσιο του

, τότε από το (α) $3 \mid p^2+8$ , και αφού αυτός είναι πρώτος, ισχύει p^2+8=3

, άτοπο.

Οπότε, p=3

, και

, που είναι πρώτος.

Ορέστης Λιγνός · #3

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:20 pm

Πρόβλημα 3: Ο Αντρέας και ο Βασίλης συμφωνούν να παίξουν ένα παιχνίδι με αριθμούς ως εξής:

«Γράφουν εναλλάξ στον πίνακα θετικά τέλεια τετράγωνα με τον όρο ότι ένα τέλειο τετράγωνο μπορεί να γραφεί αρκετές φορές.»

Αν το άθροισμα των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα γίνει μεγαλύτερο του αυτός που έγραψε τον τελευταίο αριθμό χάνει το παιχνίδι.

Αν ο Αντρέας ξεκινά πρώτος το παιχνίδι να βρείτε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης και να εξηγήσετε την στρατηγική.

Ο Ανδρέας έχει στρατηγική νίκης.

Καταρχάς, ας παρατηρήσουμε ότι τα μοναδικά τετράγωνα που μπορεί να γραφούν είναι 1^2,2^2,3^2,4^2

(αφού

).

Ο Ανδρέας αρχίζει γράφοντας τον 3^2

.

$\bullet$ Αν ο Βασίλης γράψει τον 4^2

, τότε το άθροισμα των αριθμών είναι 3^2+4^2>25

, άρα ο Βασίλης χάνει.

$\bullet$ Αν ο Βασίλης γράψει τον 3^2

, τότε ο Ανδρέας γράφει τον 2^2

, και έχουμε άθροισμα αριθμών 3^2+3^2+2^2=22

, οπότε ο Βασίλης υποχρεούται να γράψει το 1^2

. Το ίδιο κάνει και ο Ανδρέας. Οπότε παίζει ο Βασίλης και το άθροισμα των αριθμών είναι

, άρα ότι και αν κάνει θα χάσει.

$\bullet$ Αν ο Βασίλης γράψει τον 2^2

, τότε ο Ανδρέας γράφει τον 3^2

και το άθροισμα των αριθμών είναι 3^2+2^2+3^2=22

, οπότε αναγόμαστε στην προηγούμενη περίπτωση.

$\bullet$ Αν ο Βασίλης γράψει τον 1^2

, τότε γράφει ο Ανδρέας τον 3^2

, οπότε έχουμε συνολικό άθροισμα

.

Αν ο Βασίλης γράψει τον 2^2

, τότε έχουμε άθροισμα

, και ο Ανδρέας γράφει τον 1^2

, αφήνοντας άθροισμα

. Άρα χάνει ο Βασίλης.
Αν ο Βασίλης γράψει τον 1^2

, έχουμε συνολικό άθροισμα

. Γράφει τότε ο Ανδρέας το 2^2

, και πάλι χάνει ο Βασίλης.

Τελικά, ο Ανδρέας έχει στρατηγική νίκης.

Ορέστης Λιγνός · #4

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:20 pm

Πρόβλημα 2: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\triangle \mathrm{AB}\Gamma$ $(\mathrm{A}\Gamma=\mathrm{B}\Gamma)$ με τις γωνίες της βάσης του να είναι $\angle \Gamma \mathrm{AB}= \angle \Gamma \mathrm{BA}=75^{\circ}$ . Από το μέσον $\mathrm{M}$ του $\mathrm{AB}$ φέρουμε ευθεία κάθετη προς την $\mathrm{B}\Gamma$ η οποία τέμνει την $\mathrm{B}\Gamma$ στο σημείο $\Delta$ . Πάνω στην προέκταση της $\mathrm{M}\Delta$ , προς το $\Delta$ , παίρνουμε σημείο $\mathrm{E}$ τέτοιο ώστε $\mathrm{M}\Delta=\Delta \mathrm{E}$ . Η παράλληλη από το σημείο $\mathrm{E}$ προς την $\mathrm{AB}$ τέμνει την $\mathrm{A}\Gamma$ στο σημείο $\mathrm{Z}$ . Αν οι παράλληλες από τα σημεία $\mathrm{B}$ και $\mathrm{A}$ προς τις ευθείες $\mathrm{M}\Delta$ και $\mathrm{B}\Gamma$ αντίστοιχα τέμνονται στο σημείο $\mathrm{K}$ , να υπολογίσετε την γωνία $\angle \mathrm{ZBK}$ .

Παρατηρούμε καταρχάς ότι το

είναι το συμμετρικό του

ως προς την

.

Είναι, $\angle ZEB=\pi -\angle EBA=\pi - \angle CBA- \angle CBE=\pi - \angle CBA=\angle ACB$ , άρα τα Z,C,E,B

είναι ομοκυκλικά.

Άρα, αφού $\angle CEB=\angle CMB=\pi/2$ , είναι και $\angle CZB=\pi/2$ . Ακόμη, $CB \perp MD, MD \parallel KB \Rightarrow KB \perp CB$ , οπότε αφού $AK \parallel CB \Rightarrow \angle AKB=\pi/2=\angle CZB$ , άρα το ZAKB

είναι εγγράψιμο.

Επομένως, $\angle ZBK=\pi-\angle ZAK=\pi-\angle A- \angle CBA=\pi - 2\angle CAB=30^\circ$ .

Ορέστης Λιγνός · #5

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:20 pm

Πρόβλημα 4: Σε μια τάξη κάθε μαθητής παίζει τουλάχιστον ένα μουσικό όργανο από τα μουσικά όργανα κιθάρα, βιολί και πιάνο. Ξέρουμε ότι:
$\bullet$ Τουλάχιστον $90\%$ των μαθητών παίζει κιθάρα ή βιολί ή και τα δύο.
$\bullet$ Τουλάχιστον $90\%$ των μαθητών παίζει βιολί ή πιάνο ή και τα δύο.
$\bullet$ Τουλάχιστον $90\%$ των μαθητών παίζει πιάνο ή κιθάρα ή και τα δύο.
Υπάρχει επίσης αριθμός (όχι απαραίτητα ακέραιος αριθμός) ώστε
$\bullet$ Τουλάχιστον $k\%$ των μαθητών που παίζουν κιθάρα, παίζουν μόνο κιθάρα.
$\bullet$ Τουλάχιστον $k\%$ των μαθητών που παίζουν βιολί, παίζουν μόνο βιολί.
$\bullet$ Τουλάχιστον $k\%$ των μαθητών που παίζουν πιάνο, παίζουν μόνο πιάνο.
Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του .

: REEEEE.png (20.11 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές

Από τις πληροφορίες του προβλήματος, A+B+C+D+E+Z+H=S

, και $H,A,E \leqslant S/10$ .

Ακόμη, πρέπει :

$A \geqslant \dfrac{k}{100}(S-H-E-Z)$
$E \geqslant \dfrac{k}{100}(S-A-B-H)$
$H \geqslant \dfrac{k}{100}(S-A-D-E)$ .

Προσθέτοντας αυτές κατά μέλη, και αντικαθιστώντας B+D+Z=S-A-E-H-C

, θα προκύψει : $(k+100)(A+E+H) \geqslant 2kS+kC \geqslant 2kS$ .

Όμως, $3S/10 \geqslant A+E+H$ , άρα προκύπτει $3S(k+100)/10 \geqslant 2kS \Rightarrow k \leqslant 300/17$ .

Ώστε, η μέγιστη τιμή του

είναι

και την επιτυγχάνουμε αν π.χ. A=E=H=3, B=D=Z=7, C=0

και

.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #6

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:20 pm
Πρόβλημα 3: Ο Αντρέας και ο Βασίλης συμφωνούν να παίξουν ένα παιχνίδι με αριθμούς ως εξής:

«Γράφουν εναλλάξ στον πίνακα θετικά τέλεια τετράγωνα με τον όρο ότι ένα τέλειο τετράγωνο μπορεί να γραφεί αρκετές φορές.»

Αν το άθροισμα των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα γίνει μεγαλύτερο του αυτός που έγραψε τον τελευταίο αριθμό χάνει το παιχνίδι.

Αν ο Αντρέας ξεκινά πρώτος το παιχνίδι να βρείτε ποιος από τους δύο παίκτες έχει στρατηγική νίκης και να εξηγήσετε την στρατηγική.

Καλησπέρα! Κοίταξα από περιέργεια την άσκηση στο σχολείο και βρήκα μια στρατηγική για τον Αντρέα ξεκινώντας με το 4 (θεωρούμε τα τετράγωνα 1,4,9,16)

Παίρνω όλες τις δυνατές περιπτώσεις και βλέπω ότι κερδίζει ο Αντρέας. Πείτε μου

Α Β Α Β Α Β Α
4 16 4 ...
4 9 9 1 1 ...
4 4 9 4 1 1 1 ...
4 4 9 1 4 1 1 ...
4 1 9 1 4 4 1 ...
4 1 9 1 4 1 4 ...
4 1 9 4 4 1 1 ...

#7

Νικόλα, σωστό είναι, αλλά θα μπορούσε να εξηγηθεί και καλύτερα.

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Μέλη σε σύνδεση