XXXI Μαθηματική Γιορτή, θέματα 6ης τάξης.
Πρόβλημα 1. Η Ελένη φωτογράφησε τέσσερεις γάτους που έτρωγαν λουκάνικα (πάνω σχήμα). Αργότερα έκανε άλλη μια λήψη (κάτω σχήμα). Ο κάθε γάτος τρώει τα λουκάνικά του ασταμάτητα και με σταθερή ταχύτητα, χωρίς να τρώει των άλλων. Ποιος γάτος θα τα φάει πρώτος και ποιος τελευταίος; Εξηγήστε την απάντηση. [5 μόρια]
- mmo_2020_class6_pr1.png (155.08 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές
Πρόβλημα 2. Σε τετραγωνισμένο τετράδιο ήταν σχεδιασμένος ένας λαβύρινθος: τετράγωνο
(τα εξωτερικά τοιχώματα) με έξοδο πλάτους ενός τετραγώνου καθώς και εσωτερικά τοιχώματα κατά μήκους των γραμμών του πλέγματος. Στο σχήμα κρύψαμε από σας όλα τα εσωτερικά τοιχώματα. Σχεδιάστε το πως αυτά θα μπορούσαν να υπήρχαν, γνωρίζοντας, ότι οι αριθμοί, που βρίσκονται στα κελιά, δεικνύουν τον ελάχιστο αριθμό βημάτων που θα χρειάζονται για να εξέλθουμε από τον λαβύρινθο, ξεκινώντας από αυτό το κελί (το βήμα γίνεται σε διπλανό κατά πλευρά κελί, αν δεν διαχωρίζεται με τοίχωμα). Αρκεί ένα παράδειγμα, δεν ζητείται εξήγηση. [5 μόρια]- mmo_2020_class6_pr2.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές
Πρόβλημα 3. Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί
. Με ένα ευρώ μπορούμε να σημειώσουμε οποιοδήποτε αριθμό. Αν κάποιος αριθμός είναι ήδη σημειωμένος, μπορούμε δωρεάν να σημειώσουμε τους διαιρέτες του καθώς και τους αριθμούς που διαιρούνται με αυτόν. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ευρώ που χρειαζόμαστε για να σημειώσουμε όλους τους αριθμούς; [6 μόρια]Πρόβλημα 4. Ο Μιχάλης σχημάτισε με κύβους ένα κύβο
. Ύστερα μερικούς γειτονικούς κατά έδρα κύβους τους κόλλησε μεταξύ τους. Προέκυψε μια μονοκόμματη κατασκευή των 
κύβων, τους υπόλοιπους κύβους ο Μιχάλης τους αφαίρεσε. Βουτώντας την κατασκευή στο μελάνι, εν συνεχεία την ακούμπησε σε ένα χαρτί κατά τρεις έδρες. Τυπώθηκε η συλλαβή ΚΟΤ, βλέπε σχήμα. (σημ. μετ. στα ρωσικά σημαίνει γάτος). Τι θα προκύψει αν τυπωθεί η έδρα, που βρίσκεται απέναντι από το γράμμα «Ο»; [8 μόρια]- mmo_2020_class6_pr4.png (6.63 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές
Πρόβλημα 5. Στο δάσος ζουν
άγρια ζώα. Αλεπούδες, λύκοι, λαγοί και κάστορες. Κάθε χρόνο οργανώνουν πάρτι μασκέ: το καθένα φοράει μάσκα ζώου διαφορετικού είδους, εξάλλου δυο συνεχόμενα χρόνια δεν φοράνε την ίδια μάσκα. Δυο χρόνια πριν στο πάρτι υπήρχαν 
«αλεπούδες» και 
«λύκοι», πέρσι - 
«λαγοί», 
«αλεπούδες» και «κάστορες», φέτος «λαγοί» και 
«αλεπούδες». Ποιο είδος στο δάσος είναι το πιο πολυάριθμο; [8 μόρια]Πρόβλημα 6. Ο Νίκος κατασκευάζει κωδικό για το κινητό του, αριθμό από μη επαναλαμβανόμενα ψηφία χωρίς μηδενικά. Ο κωδικός δουλεύει ως εξής: αν χωρίς να χάσει το δάχτυλο μας την επαφή από την οθόνη, διαδοχικά ενώσουμε με ευθύγραμμα τμήματα τα σημεία, που αντιστοιχούν στα ψηφία του κωδικού, τότε το κινητό ξεκλειδώνει. Εξάλλου το κινητό δεν επιτρέπει να ενωθούν με ευθύγραμμο τμήμα δυο σημεία, μεταξύ των οποίων υπάρχει τρίτο. Αν ο Νίκος ενώσει, για παράδειγμα, το
με το 
, τότε το κινητό «καταλαβαίνει» ότι ο Νίκος έχει βάλλει 
.Ο Νίκος θέλει, κατά την διάρκεια εισαγωγής του κωδικού η γραμμή της κίνησης του δάχτυλου να μην τέμνει τον εαυτό της. Επιπλέον καμία αναδιάταξη των ψηφίων του κωδικού, εκτός της αντίστροφης, να μην μπορεί να δίνει διαφορετική τέτοια γραμμή. Για παράδειγμα, ο κωδικός
δεν αρέσει στον Νίκο, καθόσον η γραμμή 
είναι διαφορετική και επίσης και αυτή δεν τέμνει τον εαυτό της. Ο Νίκος σκέφτηκε τον κωδικό
(βλέπε σχήμα). Αυτά τα τρία ψηφία 
και 
πράγματι με καμία άλλη γραμμή δεν μπορούν να συνδεθούν. Όμως κρίμα που ο κωδικός είναι τόσο κοντός. Βοηθήστε τον Νίκο να σχηματίσει μακρύτερο κωδικό. Στην απάντηση γράψτε των κωδικό και σχεδιάστε εκείνη την μοναδική γραμμή, που μπορεί να προκύψει από αυτά τα ψηφία. [8 μόρια]
- mmo_2020_class6_pr6.png (10.2 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές
ζώα ντύθηκαν αλεπού. Όλα αυτά είναι διαφορετικά μεταξύ τους και δεν είναι αλεπούδες. Άρα έχουμε το πολύ 
αλεπούδες. Για τον ίδιο λόγο έχουμε το πολύ 
λαγούς και το πολύ 
λύκους. Άρα έχουμε τουλάχιστον 
κάστορες. Σίγουρα λοιπόν το πιο πολυάριθμο ζώο είναι οι κάστορες.
από αυτό. Όμως στο παράδειγμα δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο. Εκτός αν κατάλανα λάθος τι σημαίνουν οι αριθμοί στον πίνακα. 