Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Έστω a, b, c

θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+ 1 \right)^2 \geq \left(2a + b + c \right)\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right).}$

ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε τον μικρότερο πρώτο

για τον οποίο ο αριθμός p^3+4p^2+4p

έχει ακριβώς 30 θετικούς διαιρέτες.

ΘΕΜΑ 3
Έστω ABC

οξυγώνιο τρίγωνο,

το ορθόκεντρό του και D, E, F

τα ίχνη των υψών από τις κορυφές A, B

και

αντίστοιχα. Η ευθεία

και το ύψος από το

τέμνονται στο

Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

Ακόμη, η

τέμνει το ύψος από το

στο

Να αποδείξετε ότι το

είναι το μέσο του AH.

ΘΕΜΑ 4
Ο Γιώργος έγραψε στον πίνακα τους αριθμούς 1, 2, . . . , 33.

Στη συνέχεια επανέλαβε την ακόλουθη κίνηση:
κάθε φορά επέλεγε δύο αριθμούς (όχι απαραίτητα διαφορετικούς) που ήταν γραμμένοι στον πίνακα και τέτοιους ώστε ο ένας να διαιρεί τον άλλο, τους έσβηνε και έγραφε στον πίνακα το πηλίκο τους, που ήταν θετικός ακέραιος.
Επανέλαβε την κίνηση μέχρις ότου να μην μπορεί να συνεχίσει (δηλαδή να μην υπάρχει ζεύγος αριθμών στον πίνακα τέτοιο ώστε ο ένας να διαιρεί τον άλλο).
Πόσοι, τουλάχιστον, αριθμοί είναι τότε γραμμένοι στον πίνακα;

#2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 1:13 am
ΘΕΜΑ 3
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο, το ορθόκεντρό του και τα ίχνη των υψών από τις κορυφές και αντίστοιχα. Η ευθεία και το ύψος από το τέμνονται στο Η κάθετη από το στην τέμνει την στο Ακόμη, η τέμνει το ύψος από το στο
Να αποδείξετε ότι το είναι το μέσο του

: Τεστ 3 μικροί.png (20.24 KiB) Προβλήθηκε 1821 φορές

Τα τετράπλευρα PKCE, FKCQ

είναι εγγράψιμα, άρα $\displaystyle BP \cdot BE = BK \cdot BC = BF \cdot BQ,$ οπότε και το FPEQ

είναι εγγράψιμο δηλαδή $\displaystyle Q\widehat EP = B\widehat FD = B\widehat HD = N\widehat HE$ κι επειδή $A\widehat EH=90^\circ,$ το

θα είναι μέσο του AH.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 1:13 am
ΘΕΜΑ 3
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο, το ορθόκεντρό του και τα ίχνη των υψών από τις κορυφές και αντίστοιχα. Η ευθεία και το ύψος από το τέμνονται στο Η κάθετη από το στην τέμνει την στο Ακόμη, η τέμνει το ύψος από το στο
Να αποδείξετε ότι το είναι το μέσο του

Αλλιώς αυτό:

Από το πλήρες τετράπλευρο BFHD.AC

έχουμε ότι η δέσμη Q(B,P,H,E)

είναι αρμονική και επειδή $PQ\perp BC\perp AD\Rightarrow PQ\parallel AD$ το

θα είναι μέσο του

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

socrates έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 1:13 am
ΘΕΜΑ 1
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+ 1 \right)^2 \geq \left(2a + b + c \right)\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right).}$

Μετά από πράξεις είναι $LHS=\left (\sum \dfrac{a^2}{b^2} \right )+\dfrac{2c}{a}+\dfrac{2a}{c}+\dfrac{2c}{b}+\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2b}{c}+1$ ενώ $RHS=6+\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2a}{c}+\dfrac{2b}{a}+\dfrac{2c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}$
Οπότε αρκεί $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\geq 5$ που ισχύει από AM-GM

για

όρους.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

socrates έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 1:13 am

ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε τον μικρότερο πρώτο για τον οποίο ο αριθμός έχει ακριβώς 30 θετικούς διαιρέτες.

Γράφουμε

Έστω ο

στην κανονική του μορφή $\displaystyle {p+2=\prod_{i=1}^{n}p_i^{a_i}\Leftrightarrow (p+2)^2=\prod_{i=1}^{n}p_i^{2a_i}\Leftrightarrow p(p+2)^2=p^1\cdot \prod_{i=1}^{n}p_i^{2a_i}}$ με
Ως γνωστών το πλήθος των διαιρετών θα είναι $\displaystyle {(1+1)\prod_{i=1}^{n}\left ( 2a_i+1 \right )}$
Αν $n\geq 3$ τότε $\displaystyle {2\prod_{i=1}^{n}(2a_i+1)> 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3>30}$ άρα έστω n=2

.
Θα πρέπει $2\cdot (2a_1+1)\left ( 2a_2+1 \right )=30\Leftrightarrow (2a_1+1)\left ( 2a_2 +1\right )=15$ από όπου παίρνουμε a_1=1,a_2=2

ή

Γράφουμε λοιπόν p+2=p_1p_2^2

και ελέγχοντας βρίσκουμε $p_{min}=43$

#6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 3:22 pm

socrates έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 1:13 am

ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε τον μικρότερο πρώτο για τον οποίο ο αριθμός έχει ακριβώς 30 θετικούς διαιρέτες.

Γράφουμε

Έστω ο στην κανονική του μορφή $\displaystyle {p+2=\prod_{i=1}^{n}p_i^{a_i}\Leftrightarrow (p+2)^2=\prod_{i=1}^{n}p_i^{2a_i}\Leftrightarrow p(p+2)^2=p^1\cdot \prod_{i=1}^{n}p_i^{2a_i}}$ με
Ως γνωστών το πλήθος των διαιρετών θα είναι $\displaystyle {(1+1)\prod_{i=1}^{n}\left ( 2a_i+1 \right )}$
Αν $n\geq 3$ τότε $\displaystyle {2\prod_{i=1}^{n}(2a_i+1)> 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3>30}$ άρα έστω .
Θα πρέπει $2\cdot (2a_1+1)\left ( 2a_2+1 \right )=30\Leftrightarrow (2a_1+1)\left ( 2a_2 +1\right )=15$ από όπου παίρνουμε ή
Γράφουμε λοιπόν και ελέγχοντας βρίσκουμε $p_{min}=43$

Ωραία!
Για n=1

βγαίνει (πολύ) πιο μεγάλος ο μικρότερος πρώτος...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

socrates έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 9:19 pm

Ωραία!
Για βγαίνει (πολύ) πιο μεγάλος ο μικρότερος πρώτος...

Γεια σου Θανάση.
Δεν νομίζω ότι κάποιος πρέπει να εξετάσει την περίπτωση n=1

.
Φαίνεται με το μάτι ότι αποκλείεται να δώσει τον μικρότερο.
Ασε που άντε να βρεις πρώτους p,q

με

.
Ξέρεις λύση για την τελευταία εξίσωση;

#8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 9:39 pm

socrates έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 9:19 pm
Ωραία!
Για βγαίνει (πολύ) πιο μεγάλος ο μικρότερος πρώτος...
Γεια σου Θανάση.
Δεν νομίζω ότι κάποιος πρέπει να εξετάσει την περίπτωση .
Φαίνεται με το μάτι ότι αποκλείεται να δώσει τον μικρότερο.
Ασε που άντε να βρεις πρώτους με .
Ξέρεις λύση για την τελευταία εξίσωση;

Σταύρο συμφωνώ. Αυτό είπα άλλωστε στο προηγούμενο ποστ (κάπως λακωνικά...

)

O ελάχιστος πρώτος εδώ προκύπτει για q=7

(Με ιντερνετική βοήθεια εννοείται : https://www.numberempire.com/823541)

#9

socrates έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 1:13 am
ΘΕΜΑ 4
Ο Γιώργος έγραψε στον πίνακα τους αριθμούς Στη συνέχεια επανέλαβε την ακόλουθη κίνηση:
κάθε φορά επέλεγε δύο αριθμούς (όχι απαραίτητα διαφορετικούς) που ήταν γραμμένοι στον πίνακα και τέτοιους ώστε ο ένας να διαιρεί τον άλλο, τους έσβηνε και έγραφε στον πίνακα το πηλίκο τους, που ήταν θετικός ακέραιος.
Επανέλαβε την κίνηση μέχρις ότου να μην μπορεί να συνεχίσει (δηλαδή να μην υπάρχει ζεύγος αριθμών στον πίνακα τέτοιο ώστε ο ένας να διαιρεί τον άλλο).
Πόσοι, τουλάχιστον, αριθμοί είναι τότε γραμμένοι στον πίνακα;

Πώς μεταβάλλεται το γινόμενο των αριθμών του πίνακα;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αφήνω τα υπόλοιπα για όποιον ασχοληθεί!

#10

socrates έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2020 1:13 am
ΘΕΜΑ 4
Ο Γιώργος έγραψε στον πίνακα τους αριθμούς Στη συνέχεια επανέλαβε την ακόλουθη κίνηση:
κάθε φορά επέλεγε δύο αριθμούς (όχι απαραίτητα διαφορετικούς) που ήταν γραμμένοι στον πίνακα και τέτοιους ώστε ο ένας να διαιρεί τον άλλο, τους έσβηνε και έγραφε στον πίνακα το πηλίκο τους, που ήταν θετικός ακέραιος.
Επανέλαβε την κίνηση μέχρις ότου να μην μπορεί να συνεχίσει (δηλαδή να μην υπάρχει ζεύγος αριθμών στον πίνακα τέτοιο ώστε ο ένας να διαιρεί τον άλλο).
Πόσοι, τουλάχιστον, αριθμοί είναι τότε γραμμένοι στον πίνακα;

Αν

το γινόμενο των αριθμών του πίνακα και $a\leq b$ οι επιλεγμένοι αριθμοί, το νέο γινόμενο είναι $\displaystyle{\frac{P}{a^2},}$ το οποίο είναι ακέραιος αριθμός που διαιρείται με κάποιο τέλειο τετράγωνο.
Κοιτώντας το P_0=33!

βλέπουμε ότι όταν η διαδικασία τερματιστεί, το γινόμενο των αριθμών του πίνακα είναι πολλαπλάσιο του $2\cdot 3\cdot 5\cdot 11\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31.$
Οι αριθμοί 17, 19, 23, 29

και

δε διαιρούν κανέναν αριθμό του πίνακα, άρα θα παραμείνουν μέχρι το τέλος.
Επίσης, αφού $2\cdot 3\cdot 5\cdot 11 = 330 > 33,$ θα υπάρχουν ακόμη δύο τουλάχιστον αριθμοί.

Άρα, στο τέλος, τουλάχιστον 7 αριθμοί είναι γραμμένοι στον πίνακα.

Κατασκευή: σβήνουμε διαδοχικά τα ζεύγη (33, 11), (25, 5), (27, 9), (28, 14), (26, 13), (21, 7), (30, 10), (20, 5), (32, 16), (24, 12),
(18, 6), (8, 4),
(3, 3), (3, 3), (3, 3), (4, 2), (2, 2), (2, 2), (2, 2),

έπειτα όλους του άσσους και μένουν οι 15, 17, 19, 22, 23, 29, 31.

Fotis34 · #11

Απόρριψη δημοσίευσης.

#12

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 03, 2025 3:48 pm

Εφαρμόζουμε AM–GM για τους τέσσερις θετικούς όρους :
$\displaystyle a+a+b+c \ge 4\sqrt[4]{a^2bc}.$

Και επίσης για τους τέσσερις όρους $\frac{1}{a},\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ :
$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 4\sqrt[4]{\frac{1}{a^2bc}}.$

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι:
$\displaystyle 16 \ge \left(4\sqrt[4]{a^2bc}\right)\left(4\sqrt[4]{\frac{1}{a^2bc}}\right).$

Για ξαναδές το αυτό που σημείωσα με κόκκινο, γιατί πρόκειται για λογικό σφάλμα.

Συγκεκριμένα: έχεις βρει στο δεξί μέλος δύο νέους όρους μικρότερους από τους αρχικούς. Αν το γινόμενο των δύο αυτών νέων όρων (των δεξιών μελών) είναι $\le 16$ δεν σημαίνει ότι και το γινόμενο των αριστερών μελών είναι $\le 16$ . Για παράδειγμα $3\ge 1, 2\ge 1$ και για το γινόμενο των δεξιών μελών έχουμε $1\times 1 \le 16$ αλλά δεν ισχύει $3\times 2 \ge 16$ .

Και μία σύσταση: Όταν αναρτάς μία απάντηση, καλό είναι να φαίνεται και η εκφώνηση ώστε να ξέρουμε σε ποια ερώρηση απαντάς, ιδίως αν η εκφώνηση είναι πολλά ποστ μακρυά.

Fotis34 · #13

Δεν καταλαβαίνω, έπρεπε να μπει ≥ ή ≤ ;

#14

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 03, 2025 6:00 pm
Δεν καταλαβαίνω, έπρεπε να μπει ≥ ή ≤ ;

Είναι λάθος η απόδειξη. Προσπάθησε να καταλάβεις γιατί.

Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση