Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
ΘΕΜΑ 1
Ένας θετικός ακέραιος λέγεται χρηστικός αν τελειώνει σε 133, όταν γράφεται στο δεκαδικό σύστημα.
Να δείξετε ότι κάθε χρηστικός αριθμός έχει πρώτο παράγοντα μεγαλύτερο του
ΘΕΜΑ 2
Έστω και τα ύψη οξυγωνίου τριγώνου Δύο διαφορετικοί κύκλοι που διέρχονται από τα σημεία και εφάπτονται στην ευθεία στα σημεία και έτσι ώστε το να βρίσκεται ανάμεσα στα και Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται σε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
ΘΕΜΑ 3
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , , είναι τέτοιοι ώστε Να δείξετε ότι
ΘΕΜΑ 4
Σε μια αίθουσα βρίσκονται παιδιά. Κάθε παιδί έχει τουλάχιστον μια καραμέλα. Σε κάθε γύρο δίνονται επιπλέον καραμέλες σε κάποια από τα παιδιά σύμφωνα με τον κανόνα:
Στον γύρο με αύξοντα αριθμό κάθε παιδί με πλήθος από καραμέλες που είναι αριθμός σχετικά πρώτος με τον παίρνει μία καραμέλα.
Να αποδείξετε ότι μετά από έναν (πεπερασμένο) αριθμό γύρων, όλα τα παιδιά θα έχουν το πολύ δύο διαφορετικούς αριθμούς από καραμέλες.
Ένας θετικός ακέραιος λέγεται χρηστικός αν τελειώνει σε 133, όταν γράφεται στο δεκαδικό σύστημα.
Να δείξετε ότι κάθε χρηστικός αριθμός έχει πρώτο παράγοντα μεγαλύτερο του
ΘΕΜΑ 2
Έστω και τα ύψη οξυγωνίου τριγώνου Δύο διαφορετικοί κύκλοι που διέρχονται από τα σημεία και εφάπτονται στην ευθεία στα σημεία και έτσι ώστε το να βρίσκεται ανάμεσα στα και Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται σε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
ΘΕΜΑ 3
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , , είναι τέτοιοι ώστε Να δείξετε ότι
ΘΕΜΑ 4
Σε μια αίθουσα βρίσκονται παιδιά. Κάθε παιδί έχει τουλάχιστον μια καραμέλα. Σε κάθε γύρο δίνονται επιπλέον καραμέλες σε κάποια από τα παιδιά σύμφωνα με τον κανόνα:
Στον γύρο με αύξοντα αριθμό κάθε παιδί με πλήθος από καραμέλες που είναι αριθμός σχετικά πρώτος με τον παίρνει μία καραμέλα.
Να αποδείξετε ότι μετά από έναν (πεπερασμένο) αριθμό γύρων, όλα τα παιδιά θα έχουν το πολύ δύο διαφορετικούς αριθμούς από καραμέλες.
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
Έστω χρηστικός , θα είναι .Έστω προς άτοπο ότι ο δεν έχει πρώτο παράγοντα μεγαλύτερο του .Επειδή είναι περιττός και όχι πολλαπλάσιο του θα γράφεται στην μορφή .
Αρκεί να δείξω ότι δεν μπορεί .
Είναι
Έστω
Άρα δεν μπορεί να είναι .Πρέπει
Όμως:
- Αν άρτιος τότε περιττός με και άρα δεν μπορεί
- Αν περιττός τότε άρτιος με και άρα δεν μπορεί
(δεν υπάρχει κατάλληλος συνδυασμός)
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Τετ Φεβ 26, 2020 7:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
Ορίζω ξανά το ως την τομή του με την και με το ορθόκεντρο του .Είναι άρα άρα το ανήκει στον και μένει να αποδείξουμε πως η εφάπτεται του .Πράγματι .Άρα και το ζητούμενο έπεται ( όμοια τρίγωνα κλπ)socrates έγραψε: ↑Τετ Φεβ 26, 2020 1:41 amΘΕΜΑ 2
Έστω και τα ύψη οξυγωνίου τριγώνου Δύο διαφορετικοί κύκλοι που διέρχονται από τα σημεία και εφάπτονται στην ευθεία στα σημεία και έτσι ώστε το να βρίσκεται ανάμεσα στα και Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται σε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
Θα αποδείξουμε ότι
Από Cauchy-Schwarz αρκεί να αποδειχθεί ότι
δηλαδή ότι
Όμως είναι
οπότε τελειώσαμε.
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
Ωραία!ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Τετ Φεβ 26, 2020 6:40 pmΈστω χρηστικός , θα είναι .Έστω προς άτοπο ότι ο δεν έχει πρώτο παράγοντα μεγαλύτερο του .Επειδή είναι περιττός και όχι πολλαπλάσιο του θα γράφεται στην μορφή .
Αρκεί να δείξω ότι δεν μπορεί .
Είναι
Έστω
Άρα δεν μπορεί να είναι .Πρέπει
Όμως:(δεν υπάρχει κατάλληλος συνδυασμός)
- Αν άρτιος τότε περιττός με και άρα δεν μπορεί
Άρα σε καμία περίπτωση δεν μπορεί ο να λήγει σε και το ζητούμενο έπεται.
- Αν περιττός τότε άρτιος με και άρα δεν μπορεί
(δεν υπάρχει κατάλληλος συνδυασμός)
Μπορούμε να δουλέψουμε και με
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
Κομψή η λύση του Πρόδρομου.socrates έγραψε: ↑Τετ Φεβ 26, 2020 1:41 amΘΕΜΑ 2
Έστω και τα ύψη οξυγωνίου τριγώνου Δύο διαφορετικοί κύκλοι που διέρχονται από τα σημεία και εφάπτονται στην ευθεία στα σημεία και έτσι ώστε το να βρίσκεται ανάμεσα στα και Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται σε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
Παραθέτω μια διαφορετική (για να έχουμε μία ακόμα και μόνο).Με αυτή τη λύση ανακαλύπτουμε και κάποιες άλλες ιδιότητες του σχήματος (τις τονίζω στο τέλος).
Θα χρησιμοποιώ χώρις αναφορά το θεώρημα ότι 2 σημεία και οι αντίστροφες εικόνες τους ορίζουν εγγράψιμο τετράπλευρο.
Παίρνω αντιστροφή κέντρου και ακτίνας . Τότε:
Τα στέλνονται στα αντίστοιχα λόγω του εγγράψιμου . Ο περίκυκλος του στέλνεται σε ευθεία που εφάπτεται στην αντίστροφη εικόνα της δηλαδή τον περίκυκλο του και διέρχεται από το αντίστροφο του δηλαδή το .
Αν το αντίστροφο του , τότε αν η τέμνει τον περίκυκλο του στο ,τότε το αντίστροφο του , άρα . Άρα η εφάπτεται του περίκυκλου του . Ομοίως η εφάπτεται στον ίδιο κύκλο. Άρα το αρμονικό. Οπότε η αρμονική δέσμη όπου η εφαπτομένη στο στον περίκυκλο του . Όμως και άρα μέσο του . Εφόσον το ανήκει στον ριζικό άξονα των περικύκλων των τριγώνων έπεται ότι το είναι το κέντρο του εγγραψίμου . Από εδώ έπεται ότι τα τρίγωνα έχουν κοινά ορθόκεντρα. Το σημείο Miquel του είναι ένα σημείο το οποίο βρίσκεται στην τομή της με την εκ του κάθετη προς την καθώς η τομή των διαγωνίων και η τομή δύο απέναντι πλευρών. Άρα αυτό το σημείο είναι το και άρα , , συντρέχουν.
Αν η τομή της με τον περίκυκλο, θα δείξω ότι συνευθειακά ή ισοδύναμα από την αντιστροφή ότι εγγράψιμο όπου το αντίστροφο του που ταυτίζεται με την τομή της με την .
άρα . Τότε ως εντός εκτός και απί ταυτά.
Τότε και το ζητούμενο έπεται( στις ισότητες των γωνίων χρησιμοποίησα το εγγράψιμο ).
Ελπίζω να μην τα θαλάσσωσα διότι χάθηκα λίγο στην πολυπλοκότητα του σχήματος.
Ας δούμε τώρα τι βγήκε από εδώ:
i) Τα τρίγωνα έχουν κοινό ορθόκεντρο.
ii) εγγράψιμο
iii) μέσο του (στο τέλος είδα πιο απλό τρόπο απόδειξης αυτού κατευθείαν με ριζικούς άξονες).
Αν έχει κάποιος όρεξη ας ελέγξει πρώτα την ορθότητα των όσων γράφω και ας προσθέσει και άλλα!
Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
4.Επικεντρωνόμαστε σε ένα παιδί με πλήθος καραμέλων ίσο με (στον -οστό γύρο).Εξετάζουμε το .
Είναι από συνθήκη .
Επιπλέον,σε κάθε γύρο το είτε πέφτει κατά είτε μένει σταθερό.
Έστω προς άτοπο πως για κάποιο .
Αυτό θα σήμαινε πως η ακολουθία θα είχε "κολλήσει" σε κάποια τιμή επ'άπειρον,δηλαδή ότι για κάποιο .
Όμως αφού θα έχει κάποιον πρώτο διαιρέτη .Για για κατάλληλα μεγάλο φτάνουμε σε άτοπο.
Επομένως:
Ή κάποια στιγμή η θα πάρει την τιμή (και λόγω διακριτής συνέχειας) στην οποία και θα κολλήσει επ'άπειρον αφού .
Ή θα πάρει την τιμή από όπου στον επόμενο γύρο θα πέσει στην τιμή όπου και θα κολλήσει.
Ή θα πάρει την τιμή απευθείας (από τον δεύτερο γύρο) όπου και θα κολλήσει επ'άπειρον.
Έτσι,από ένα σημείο και μετά,κάθε παιδί μπορεί να έχει είτε είτε καραμέλες,όπου ένας κατάλληλα μεγάλος γύρος .
Είναι από συνθήκη .
Επιπλέον,σε κάθε γύρο το είτε πέφτει κατά είτε μένει σταθερό.
Έστω προς άτοπο πως για κάποιο .
Αυτό θα σήμαινε πως η ακολουθία θα είχε "κολλήσει" σε κάποια τιμή επ'άπειρον,δηλαδή ότι για κάποιο .
Όμως αφού θα έχει κάποιον πρώτο διαιρέτη .Για για κατάλληλα μεγάλο φτάνουμε σε άτοπο.
Επομένως:
Ή κάποια στιγμή η θα πάρει την τιμή (και λόγω διακριτής συνέχειας) στην οποία και θα κολλήσει επ'άπειρον αφού .
Ή θα πάρει την τιμή από όπου στον επόμενο γύρο θα πέσει στην τιμή όπου και θα κολλήσει.
Ή θα πάρει την τιμή απευθείας (από τον δεύτερο γύρο) όπου και θα κολλήσει επ'άπειρον.
Έτσι,από ένα σημείο και μετά,κάθε παιδί μπορεί να έχει είτε είτε καραμέλες,όπου ένας κατάλληλα μεγάλος γύρος .
Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
2.Άλλες δυό συνοπτικά στο παραπάνω σχήμα:
1)Από γνωστό Λήμμα,το είναι η προβολή του ορθοκέντρου του στη διάμεσο -οπότε το ορθόκεντρο είναι το .Έτσι,από γνωστό Λήμμα το ανήκει στον .Από είναι .Είναι από όπου έπεται το ζητούμενο.
2.Εναλλακτικά,με 2 αντιστροφές κέντρων και καταλήγει σε ένα απλό angle-chasing.
1)Από γνωστό Λήμμα,το είναι η προβολή του ορθοκέντρου του στη διάμεσο -οπότε το ορθόκεντρο είναι το .Έτσι,από γνωστό Λήμμα το ανήκει στον .Από είναι .Είναι από όπου έπεται το ζητούμενο.
2.Εναλλακτικά,με 2 αντιστροφές κέντρων και καταλήγει σε ένα απλό angle-chasing.
Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
Απο C-S οπου Απο AM-HM η μικροτερη τιμη του a+b+c ειναι 9/2 αρα δηλαδη ισχυει . Αυτος ο τροπς εχει καποιο λαθος??
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (3), Μεγάλοι
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες