Τεστ Εξάσκησης (8), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Για ποια τιμή του

η διαφορά των ριζών της εξίσωσης x^2 − 4ax + 5a^2 − 6a = 0

γίνεται μέγιστη;

ΘΕΜΑ 2
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος άρτιος θετικός ακέραιος που δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο περιττών σύνθετων θετικών ακεραίων;

ΘΕΜΑ 3
Στο λογιστήριο μιας εταιρείας υπάρχει ένα χρηματοκιβώτιο με έξι κλειδαριές. Κάθε υπάλληλος του λογιστηρίου διαθέτει τρία κλειδιά καθένα από τα οποία μπορεί να ξεκλειδώσει μία μόνο κλειδαριά του χρηματοκιβωτίου και κάθε κλειδί αντιστοιχεί σε διαφορετική κλειδαριά του.
Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχουν υπάλληλοι που διαθέτουν τον ίδιο συνδυασμό κλειδιών και δύο οποιοιδήποτε υπάλληλοι δεν μπορούν να συνεργαστούν για να ξεκλειδώσουν πλήρως το χρηματοκιβώτιο.
Να βρείτε το μέγιστο δυνατό αριθμό υπαλλήλων του λογιστηρίου.

ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ABC

με

και έστω

το μέσο της πλευράς

. Φέρουμε $DE\perp AC$ όπου

σημείο της

.
Η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABD

στα σημεία

και

, ενώ οι ευθείες

και

τέμνονται στο

.
Να αποδείξετε ότι DG=GE.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:16 pm ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο με και έστω το μέσο της πλευράς . Φέρουμε $DE\perp AC$ όπου σημείο της .
Η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στα σημεία και , ενώ οι ευθείες και τέμνονται στο .
Να αποδείξετε ότι

: 240.PNG (25.19 KiB) Προβλήθηκε 1111 φορές

Έστω

το μέσο του

που είναι και κέντρο του (A,B,D)

.Είναι $\angle GDM=\angle EDM=180^{\circ}-\angle MDB-\angle EDC=180^{\circ}-\angle B-(90^{\circ}-\angle C)\overset{\angle B=\angle C}{=}90^{\circ}$ άρα το

είναι εφαπτόμενο τμήμα.Δηλαδή $DG^2=GF\cdot GA=GE^2\Leftrightarrow \boxed{DG=GE}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:16 pm ΘΕΜΑ 1
Για ποια τιμή του η διαφορά των ριζών της εξίσωσης γίνεται μέγιστη;

Έστω

οι ρίζες με $x_1\geq x_2$ .Θα είναι $\left\{\begin{matrix} & x_1+x_2=4a & \\ & x_1x_2=5a^2-6a& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=16a^2 & \\ & 2x_1x_2=10a^2-12a & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=16a^2-2(10a^2-12a)=-4a^2+24a\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2=-4a^2+24a$

Δηλαδή το x_1-x_2

μεγιστοποιείται όταν $a=\dfrac{-24}{2\left ( -4 \right )}=3\Leftrightarrow a=3$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:16 pm ΘΕΜΑ 2
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος άρτιος θετικός ακέραιος που δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο περιττών σύνθετων θετικών ακεραίων;

Οι περιττοί σύνθετοι είναι οι {9,15,21,25,27,33,35,39....}

των οποίων τα αθροίσματα κατά αύξουσα σειρά είναι $\left \{ 24,30,34,36,40,42.... \right \}$

Αν

ένας άρτιος $n\geq 40$ τότε :

Αν $n\equiv 0\pmod3$ γράφουμε με $n-9\neq 3$ περιττό πολλαπλάσιο του .

Αν $n\equiv 1\pmod3$ γράφουμε με $n-25\neq 3$ περιττό πολλαπλάσιο του .

Αν $n\equiv 2\pmod3$ γράφουμε με $n-35\neq 3$ περιττό πολλαπλάσιο του .

Άρα όλοι οι άρτιοι μεγαλύτεροι του

γράφονται στην μορφή k+l

με

περιττούς σύνθετους.
Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι ο

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

socrates έγραψε: Πέμ Φεβ 27, 2020 2:16 pm ΘΕΜΑ 3
Στο λογιστήριο μιας εταιρείας υπάρχει ένα χρηματοκιβώτιο με έξι κλειδαριές. Κάθε υπάλληλος του λογιστηρίου διαθέτει τρία κλειδιά καθένα από τα οποία μπορεί να ξεκλειδώσει μία μόνο κλειδαριά του χρηματοκιβωτίου και κάθε κλειδί αντιστοιχεί σε διαφορετική κλειδαριά του.
Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχουν υπάλληλοι που διαθέτουν τον ίδιο συνδυασμό κλειδιών και δύο οποιοιδήποτε υπάλληλοι δεν μπορούν να συνεργαστούν για να ξεκλειδώσουν πλήρως το χρηματοκιβώτιο.
Να βρείτε το μέγιστο δυνατό αριθμό υπαλλήλων του λογιστηρίου.

Έστω

οι υπάλληλοι, οι δυνατοί συνδυασμοί είναι $\displaystyle{\binom{6}{3}}=20$ άρα $k\leq 20$ .
Όμως για κάθε συνδυασμό που έχει ένας υπάλληλος αποκλείεται ακριβώς ένας συνδυασμός ο οποίος περιέχει τα κλειδιά που δεν περιέχει ο αρχικός. Άρα $k\leq 10$ .
Η τιμή

είναι δυνατή γιατί αν φροντίσουμε και οι δέκα υπάλληλοι να έχουν όλοι τους ένα κοινό κλειδί τότε υπάρχουν άλλοι $\displaystyle{\binom{5}{2}}=10$ δυνατοί συνδυασμοί για τα άλλα δύο κλειδιά. Κάθε υπάλληλος παίρνει έναν και αφού όλοι έχουν τουλάχιστον ένα κοινό μεταξύ τους δεν μπορούν ανά

να συγκεντρώσουν και τα

κλειδιά.

Κω.Κωνσταντινίδης · #6

Μια διαφορετική αντιμετώπιση για την γεωμετρία:

Είναι $\angle ADG=\angle ACB=\angle ABC$ (1) και $\angle BFD=90$ . Άρα στο ορθογώνιο $\Delta AEG$ είναι $\angle GEF=\angle EAF$ (2). Από τις (1),(2) προκύπτει ότι οι κύκλοι (A,B,D)

και

εφάπτονται στην

στα

και

αντίστοιχα. Ο ριζικός άξονας των κύκλων (A,B,D)

και

είναι η ευθεία

η οποία τέμνει την κοινή τους εφαπτόμενη στο

. Άρα $DG^{2}=GE^{2}\Leftrightarrow DG=GE$ .

Τεστ Εξάσκησης (8), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (8), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (8), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (8), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (8), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (8), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (8), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση