Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (11η τάξη, 1η μέρα)

[Al.Koutsouridis]

LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Θέματα της 11η τάξης για την πρώτη μέρα, 1 Μαρτίου 2020


Πρόβλημα 1. Φέρτε παράδειγμα αριθμού που διαιρείται με το 2020, στον οποίο καθένα από τα δέκα ψηφία εμφανίζεται ίδιο αριθμό φόρων. (Μ.Εβδοκίμοβ)


Πρόβλημα 2. Υπάρχει άραγε τέτοια μη περιοδική συνάρτηση , που ορίζεται σε όλη την ευθεία των αριθμών, ώστε για οποιοδήποτε να επαληθεύεται η ισότητα ; (Άγνωστος)


Πρόβλημα 3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέραμε το ύψος . Το σημείο είναι το συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία που ενώνει τα μέσα των πλευρών και . Να αποδείξετε, ότι η ευθεία περιέχει το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . (Α.Σοκόλοβ)


Πρόβλημα 4. Σε σκακιέρα αποκόψαμε δέκα κελιά. Είναι γνωστό ότι μεταξύ των αποκομμένων κελιών υπάρχουν και μαύρα καθώς και άσπρα. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ορθογωνίων των δυο κελιών που μπορούμε μετά από αυτό να αποκόψουμε από αυτή την σκακιέρα; (Α.Κουμπάρεβ)


Πρόβλημα 5. Υπάρχει άραγε τετράεδρο, στις τομές του οποίου με δυο διαφορετικά επίπεδα να προκύψουν τετράγωνα και ; (Μ. Εβδοκίμοβ)


Πρόβλημα 6. Στον πίνακα είναι γραμμένοι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί. Με μια κίνηση μπορούμε να χωρίσουμε τους γραμμένους στο πίνακα αριθμούς σε ζεύγη με τυχαίο τρόπο και κάθε ζεύγος αριθμών να το αντικαταστήσουμε με το άθροισμα και την διαφορά αυτών των αριθμών. (όχι απαραίτητα αφαιρώντας από τον μεγαλύτερο των μικρότερο, όλες οι αντικαταστάσεις γίνονται ταυτόχρονα). Να αποδείξετε ότι στον πίνακα δεν θα ξαναεμφανιστούν διαδοχικοί αριθμοί. (Α. Γκριμπάλκο)


Πηγή

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Πρόβλημα 3. Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέραμε το ύψος . Το σημείο είναι το συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία που ενώνει τα μέσα των πλευρών και . Να αποδείξετε, ότι η ευθεία περιέχει το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . (Α.Σοκόλοβ)

248.PNG (31.01 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές

Έστω μέσο του του και

Θα είναι άρα το είναι εγγράψιμο σε κύκλο κέντρου και έτσι
Όμως άρα
και το ζητούμενο έπεται.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Θέματα της 11η τάξης για την πρώτη μέρα.

Πρόβλημα 2. Υπάρχει άραγε τέτοια μη περιοδική συνάρτηση , που ορίζεται σε όλη την ευθεία των αριθμών, ώστε για οποιοδήποτε να επαληθεύεται η ισότητα ; (Άγνωστος)

Πηγή

Οχι δεν υπάρχει.

Για

είναι
Αλλά

ετσι

και
.

[Al.Koutsouridis]

LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Θέματα της 11η τάξης για την πρώτη μέρα.


Πρόβλημα 1. Φέρτε παράδειγμα αριθμού που διαιρείται με το 2020, στον οποίο καθένα από τα δέκα ψηφία εμφανίζεται ίδιο αριθμό φόρων. (Μ.Εβδοκίμοβ)

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός έχει παράγοντα το , ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί με το μας δίνει τον αριθμό . Πολλαπλασιάζοντας αυτόν το αριθμό με καθένα από τα ψηφία, εκτός του μηδέν, προκύπτουν τετραψήφιοι αριθμοί με ίδια ψηφία και όλοι τους είναι πολλαπλάσια του . Άρα και του .

Σχηματίζουμε τον αριθμό



ο αριθμός αυτός έχει όλα τα ψηφία και το καθέ ένα από αυτά ίδιο αριθμό φορών και διαιρείται με το . Πράγματι είναι της μορφής



και κάθε όρος του αθροίσματος διαιρείται με το και με το (από το παράγοντα της δύναμης του δέκα), και αφού είναι πρώτοι μεταξύ τους και με το .