Τεστ Εξάσκησης!

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Τεστ Εξάσκησης!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Μαρ 07, 2020 1:42 pm

Ένα τεστ εξάσκησης για Μεγάλους.
Όλες οι ασκήσεις είναι δικής μου κατασκευής.

Enjoy them! :)

Πρόβλημα 1

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ο Δημήτρης κάνει την εξής κίνηση:

\bullet Επιλέγει δύο διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς του πίνακα, που είναι ισοϋπόλοιποι \pmod 2, τους σβήνει και τους αντικαθιστά γράφοντας δύο φορές τον μέσο όρο τους (έτσι αν επιλέξει τους 4,6, τους σβήνει και γράφει 5,5).

Ορίζουμε ως αξία του πίνακα, το άθροισμα των τετράγωνων των αριθμών του πίνακα. Έτσι, η αξία του πίνακα στην αρχή είναι 1^2+2^2+\ldots+9^2=285. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της αξίας του πίνακα μετά από 5 κινήσεις.

Πρόβλημα 2

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου x, ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες:

\bullet x>2021
\bullet υπάρχει θετικός ακέραιος y, σχετικά πρώτος με τον x, ώστε ο x^2-4xy+5y^2 να είναι τέλειο τετράγωνο.

Πρόβλημα 3

Έστω \vartriangle ABC οξυγώνιο τρίγωνο και AD,BE,CF τα ύψη τους. Έστω P το σημείο τομής της FE με τον περιγεγραμμένο κύκλο (c) του \vartriangle ABC με το P να ανήκει στο μικρό τόξο AC. Αν τέλος H' \neq B το σημείο τομής της BE με τον (c), να δείξετε την πιο κάτω ισοδυναμία:

\angle ADH'=\angle APF \Leftrightarrow ABCP αρμονικό τετράπλευρο.

Πρόβλημα 4

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, ώστε:

f(f(xf(y))-x)=xy-f(x), για κάθε x,y \in \mathbb{R}.



Edit: Προσθήκη στο Πρόβλημα 2 ... (η αρχική μορφή της εκφώνησης καθιστούσε το πρόβλημα προφανές καθώς αρκούσε να επιλέξουμε y=8x ...
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Κυρ Μαρ 08, 2020 5:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Σάβ Μαρ 07, 2020 6:49 pm

Καλησπέρα Ορέστη.
4.Συμβολίζω με P(x,y) τη σχέση.
Αρχικά είναι απλό πως η f είναι 1-1 και επί.
Έχω:
P(0,0):f(f(0))=-f(0)
P(f(0),0):f(f(f(0)^2)-f(0))=f(0) από όπου f(0)=0 (αφού η f είναι 1-1).

Το P(x,0) τώρα, δίνει πως f περιττή.
Έτσι,το P(x,y)+P(x,-y) δίνει f(f(xf(y))-x)=f(f(xf(y))+x)-2f(x).
Για x\neq 0 μπορώ να έχω z=f(xf(y)) για οποιοδήποτε z\neq 0 με κατάλληλο y (f επί..).Ακόμα,για x=0 το z παίρνει την τιμή 0 που απομένει.
Μ'αυτά και μ'αυτά,η παραπάνω ανάγεται στην Jensen/Cauchy.
Συνεπώς,η P γίνεται P'(x,y):f(f(xf(y)))=xy.
Από το P'(f(x),y) vs P'(f(y),x) προκύπτει τελικά πως η f είναι γραμμική.
Αντικαθιστώντας στην αρχική,μόνο η f(x)=x επαληθεύει κλπ.
υγ...Και κατασκευαστής ο δικός σου :) :) Μπράβο..


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Μαρ 07, 2020 7:14 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Σάβ Μαρ 07, 2020 1:42 pm
Πρόβλημα 1

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ο Δημήτρης κάνει την εξής κίνηση:

\bullet Επιλέγει δύο διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς του πίνακα, που είναι ισοϋπόλοιποι \pmod 2, τους σβήνει και τους αντικαθιστά γράφοντας δύο φορές τον μέσο όρο τους (έτσι αν επιλέξει τους 4,6, τους σβήνει και γράφει 5,5).

Ορίζουμε ως αξία του πίνακα, το άθροισμα των τετράγωνων των αριθμών του πίνακα. Έτσι, η αξία του πίνακα στην αρχή είναι 1^2+2^2+\ldots+9^2=285. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της αξίας του πίνακα μετά από 5 κινήσεις.
Καλησπέρα Ορέστη!

Έστω ότι σε κάποιο βήμα έχουμε επιλέξει τους a,b με a\neq b,a\equiv b\pmod2.Τότε αν S η προηγούμενη αξία του πίνακα τότε η νέα θα είναι S-a^2-b^2+2\cdot \left ( \dfrac{a+b}{2} \right )^2=S-\dfrac{\left ( a-b \right )^2}{2}
Άρα όσο μικραίνει το (a-b)^2 τόσο θα μεγαλώνει η νέα αξία( η οποία όμως πάντα θα είναι μικρότερη του S).
Επειδή a\equiv b\pmod2 είναι \left | a-b \right |\geq 2.Έτσι σε κάθε βήμα η αξία του πίνακα μειώνεται κατά τουλάχιστον 2.
Έτσι αν κάνουμε τις παρακάτω κινήσεις θα βρούμε την μέγιστη αξία μετά από 5 κινήσεις:
1,2,3,4,5,6,7,8,9\rightarrow 1,2,3,4,5,6,8,8,8\rightarrow 1,2,4,4,4,6,8,8,8\rightarrow 1,3,3,4,4,6,8,8,8\rightarrow 2,2,3,4,4,6,8,8,8\rightarrow 2,3,3,3,4,6,8,8,8

Ο τελευταίος πίνακας έχει αξία 275.


stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Δευ Μαρ 09, 2020 2:19 pm

Για το 2 προβλημα λυση??


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τεστ Εξάσκησης!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Μαρ 11, 2020 10:01 pm

Επαναφορά για τα προβλήματα 2 και 3 !! :)


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 310
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Μαρ 12, 2020 12:23 am

Γεωμε3:
Εξετάζουμε τις 2 υποθέσεις ξεχωριστά για αρχή :
H ισότητα ADH'\angle=APF\angle ισοδυναμεί με την εγγραψιμότητα του H'PDF.
Πράγματι,ADH'\angle=APF\angle \Leftrightarrow ADH'\angle+ADF\angle=APF\angle+APH'\angle διότι ADF\angle=ABH\angle=ABH'\angle=APH'\angle.
Η υπόθεση ABCP\rightarrow αρμονικό ισοδυναμεί με την ισότητα EF=EP (απλά προβάλλουμε το τετράπλευρο από το A στην EF.)
Ισοδυναμεί λοιπόν με H'P//FH ή από Reim's με QFHDB εγγράψιμο,όπου Q\equiv EF\cap (ABC).
Θέμε να δείξουμε πως από τη μια εγγραψιμότητα έπεται η άλλη.
Αρκεί από Ριζικούς άξονες νδο. οι H'P,QB,FD είναι συντρέχουσες.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την εγγραψιμότητα του (QBDHF).(η αντίστροφη πορεία προκύπτει εύκολα με βάση τα παρακάτω).
Ας είναι B',C',A',D',F'\equiv P τα συμμετρικά των B,C,A,D,F ως προς το E αντίστοιχα.
Από υπόθεση ((QFHDB) εγγράψιμο/H'P,CF παράλληλες) βλέπουμε πως C'\in H'P.
Λόγω συμμετρίας,το H' είναι το Ορθόκεντρο του B'AC και το D'B'PH' είναι εγγράψιμο.
Είναι γνωστό ότι η τομή των (AH'C),(D'B'PH)-το P δηλαδή-ανήκει στη διάμεσο του B'AC ως προς B'.
Αφού λοιπόν λόγω συμμετρίας τα B',P,A' είναι συνευθειακά,προκύπτει ότι το A' είναι το μέσον της CA.
Πάλι λόγω συμμετρίας τα D',H',A' είναι συνευθειακά,οπότε πάλι από γνωστή πρόταση D'\in (B'AC).
Από ριζικούς άξονες ((D'B'PH'),(D'B'CA),(AH'PC)) ή συμμετρία έπεται ότι C',D',B' συνευθειακά,οπότε ως γνωστόν
το C' είναι το αρμονικό συζυγές του E ως προς τα A,C.
Έτσι,F,D,C' και B,Q,C' συνευθειακά,δηλαδή οι H'P,FD,QB συντρέχουν στο C' που είναι το ζητούμενο..
orestis3.png
orestis3.png (24.57 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Ιουν 23, 2020 10:09 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Σάβ Μαρ 07, 2020 1:42 pm

Πρόβλημα 2

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου x, ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες:

\bullet x>2021
\bullet υπάρχει θετικός ακέραιος y, σχετικά πρώτος με τον x, ώστε ο x^2-4xy+5y^2 να είναι τέλειο τετράγωνο.
Με επιφυλάξεις...

Έστω \rm k^2=x^2-4xy+5y^2=(x-2y)^2+y^2.Οπότε έχουμε 2 περιπτώσεις:
  • \rm x-2y=t(m^2-n^2),y=2mnt με \rm m,n,t \in \mathbb{Z}
    Με αντικατάσταση του \rm y παίρνουμε \rm x=4mnt+t(m^2-n^2)\Rightarrow t\mid x και επειδή \rm t\mid y θα είναι \rm t=1.Άρα θέλουμε \rm 2022\leq x=m^2+4mn-n^2.Επειδή \rm (x,y)=1 πρέπει \rm (m,n)=(x,m)=(x,n)=1.
    Θεωρώ το παραπάνω ως τριώνυμο του \rm m οπότε η διακρίνουσα \rm 20n^2+4x=4(5n^2+x) πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ,έστω \rm 5n^2+x=k^2\Leftrightarrow k^2-5n^2=x\geq 2022
    .Είναι \rm (x,n)=1\Leftrightarrow (k^2-5n^2,n)=1 ,από όπου εύκολα \rm (k,n)=1.
    Είναι \rm k^2-5n^2\equiv -1,0,+1\pmod5.Άρα ελέγχουμε την περίπτωση \rm k^2-5n^2=2024=2^3\cdot 11\cdot 23.Θα είναι \rm k^2-5n^2\equiv0\pmod2\Leftrightarrow k\equiv n\pmod2.Θα πρέπει \rm k,n\equiv 1\pmod 2 τότε \rm k^2-5n^2\equiv4\pmod 8 άτοπο.
    Έστω \rm k^2-5n^2=2025.Προφανώς \rm 5\mid k,έστω \rm k=5k_1,k_1\in \mathbb{Z}.Γίνεται \rm 5k_1^2-n^2=5\cdot 3^4.Από εδώ \rm 5\mid n άτοπο.
    Αν \rm k^2-5n^2=2026 τότε αναγκαστικά \rm k,n\equiv 1\pmod 2\Rightarrow 4 \mid k^2-5n^2=2026 άτοπο.
    Πάμε στην \rm k^2-5n^2=2029.Αυτή για \rm n=6 δίνει \rm k=47 ,δεκτή λύση αφού \rm (47,6)=1.Αντικαθιστώντας βρίσκουμε \rm y=420 που είναι σχετικά πρώτος με το \rm 2029 και η δοθείσα παράσταση είναι τέλειο τετράγωνο.
  • \rm x-2y=2mnt,y=t(m^2-n^2).Όπως πριν \rm t=1 και έτσι \rm x=2(m^2+mn-n^2)=2q,q\geq 1011.Πάλι θεωρούμε ως τριώνυμο του \rm m με διακρίνουσα \rm n^2-4(-n^2-q)=4q+5n^2.Πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο,έστω \rm 4q+5n^2=k^2\Leftrightarrow \dfrac{k^2-5n^2}{4}=q\geq 1011.Άν υπάρχει μικρότερη τιμή για το \rm x απ΄αυτή της πρώτης περίπτωσης θα είναι \rm 1011\leq \dfrac{k^2-5n^2}{4}\leq 1014.Οπότε έχουμε \rm k^2-5n^2=4044,4048,4052,4056.
    Αν \rm u_3(k^2-5n^2)=1 είναι \rm 3\mid k^2-5n^2\Leftrightarrow 3\mid k^2+n^2\Leftrightarrow 3\mid k,n \Rightarrow 9\mid k^2-5n^2 άτοπο.
    Επίσης \rm k^2-5n^2\equiv -1,0,+1\pmod5 , έτσι όλες οι παραπάνω απορρίπτονται.
Η ζητούμενη τιμή λοιπόν είναι \rm x=2029


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τεστ Εξάσκησης!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Ιουν 26, 2020 5:33 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τρί Ιουν 23, 2020 10:09 pm
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Σάβ Μαρ 07, 2020 1:42 pm

Πρόβλημα 2

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου x, ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες:

\bullet x>2021
\bullet υπάρχει θετικός ακέραιος y, σχετικά πρώτος με τον x, ώστε ο x^2-4xy+5y^2 να είναι τέλειο τετράγωνο.
Με επιφυλάξεις...

Έστω \rm k^2=x^2-4xy+5y^2=(x-2y)^2+y^2.Οπότε έχουμε 2 περιπτώσεις:
  • \rm x-2y=t(m^2-n^2),y=2mnt με \rm m,n,t \in \mathbb{Z}
    Με αντικατάσταση του \rm y παίρνουμε \rm x=4mnt+t(m^2-n^2)\Rightarrow t\mid x και επειδή \rm t\mid y θα είναι \rm t=1.Άρα θέλουμε \rm 2022\leq x=m^2+4mn-n^2.Επειδή \rm (x,y)=1 πρέπει \rm (m,n)=(x,m)=(x,n)=1.
    Θεωρώ το παραπάνω ως τριώνυμο του \rm m οπότε η διακρίνουσα \rm 20n^2+4x=4(5n^2+x) πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ,έστω \rm 5n^2+x=k^2\Leftrightarrow k^2-5n^2=x\geq 2022
    .Είναι \rm (x,n)=1\Leftrightarrow (k^2-5n^2,n)=1 ,από όπου εύκολα \rm (k,n)=1.
    Είναι \rm k^2-5n^2\equiv -1,0,+1\pmod5.Άρα ελέγχουμε την περίπτωση \rm k^2-5n^2=2024=2^3\cdot 11\cdot 23.Θα είναι \rm k^2-5n^2\equiv0\pmod2\Leftrightarrow k\equiv n\pmod2.Θα πρέπει \rm k,n\equiv 1\pmod 2 τότε \rm k^2-5n^2\equiv4\pmod 8 άτοπο.
    Έστω \rm k^2-5n^2=2025.Προφανώς \rm 5\mid k,έστω \rm k=5k_1,k_1\in \mathbb{Z}.Γίνεται \rm 5k_1^2-n^2=5\cdot 3^4.Από εδώ \rm 5\mid n άτοπο.
    Αν \rm k^2-5n^2=2026 τότε αναγκαστικά \rm k,n\equiv 1\pmod 2\Rightarrow 4 \mid k^2-5n^2=2026 άτοπο.
    Πάμε στην \rm k^2-5n^2=2029.Αυτή για \rm n=6 δίνει \rm k=47 ,δεκτή λύση αφού \rm (47,6)=1.Αντικαθιστώντας βρίσκουμε \rm y=420 που είναι σχετικά πρώτος με το \rm 2029 και η δοθείσα παράσταση είναι τέλειο τετράγωνο.
  • \rm x-2y=2mnt,y=t(m^2-n^2).Όπως πριν \rm t=1 και έτσι \rm x=2(m^2+mn-n^2)=2q,q\geq 1011.Πάλι θεωρούμε ως τριώνυμο του \rm m με διακρίνουσα \rm n^2-4(-n^2-q)=4q+5n^2.Πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο,έστω \rm 4q+5n^2=k^2\Leftrightarrow \dfrac{k^2-5n^2}{4}=q\geq 1011.Άν υπάρχει μικρότερη τιμή για το \rm x απ΄αυτή της πρώτης περίπτωσης θα είναι \rm 1011\leq \dfrac{k^2-5n^2}{4}\leq 1014.Οπότε έχουμε \rm k^2-5n^2=4044,4048,4052,4056.
    Αν \rm u_3(k^2-5n^2)=1 είναι \rm 3\mid k^2-5n^2\Leftrightarrow 3\mid k^2+n^2\Leftrightarrow 3\mid k,n \Rightarrow 9\mid k^2-5n^2 άτοπο.
    Επίσης \rm k^2-5n^2\equiv -1,0,+1\pmod5 , έτσι όλες οι παραπάνω απορρίπτονται.
Η ζητούμενη τιμή λοιπόν είναι \rm x=2029
Πολύ ωραία λύση Πρόδρομε! :coolspeak:


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Τρί Ιουν 30, 2020 8:07 pm

Μπορεί κάποιος να γράψει την απόδειξη οτι η F(x) ειναι 1-1 και επι?


giannisd
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τετ Δεκ 05, 2018 1:02 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τεστ Εξάσκησης!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisd » Τρί Ιουν 30, 2020 11:05 pm

stamas1 έγραψε:
Τρί Ιουν 30, 2020 8:07 pm
Μπορεί κάποιος να γράψει την απόδειξη οτι η F(x) ειναι 1-1 και επι?
Επί:
Σταθεροποιώντας το x το xy - f(x) διατρέχει όλο το \mathbb{R} για τις διάφορες τιμές του y.

1-1:
Βάλε x=1 και θα το δεις μόνος σου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες