Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί
ΘΕΜΑ 1
Ο καθένας από δεκατρείς νάνους είναι ειλικρινής, ο οποίος λέει πάντα την αλήθεια ή ψεύτης, ο οποίος λέει πάντα ψέματα. Μια φορά όλοι οι νάνοι με την σειρά έκαναν μια δήλωση «Μεταξύ των δηλώσεων, που έγιναν νωρίτερα, ψευδείς είναι ακριβώς δυο φορές περισσότερες, από τις αληθείς». Πόσοι ειλικρινείς θα μπορούσαν να υπάρχουν μεταξύ των νάνων;
(Από εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=58&t=60509)
ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες μη αρνητικών πραγματικών αριθμών που είναι λύσεις του συστήματος
ΘΕΜΑ 3
Έστω εγγράψιμο τετράπλευρο με Οι διαγώνιοι και τέμνονται στο Έστω το έγκεντρο του τριγώνου και το δεύτερο σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου Να αποδείξετε ότι
ΘΕΜΑ 4
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούμε πίνακα που αποτελείται από μοναδιαία τετράγωνα.
Για κάθε θετικό ακέραιο έχουμε στην διάθεσή μας απεριόριστο πλήθος από ορθογώνια (τύπου I) και ορθογώνια (τύπου II). Καλύπτουμε πλήρως τον πίνακα με ορθογώνια, χωρίς να επικαλύπτονται, έτσι ώστε το πλήθος των ορθογωνίων τύπου Ι να είναι ίσο με το πλήθος των ορθογωνίων τύπου ΙΙ. (Ένα τετράγωνο ανήκει και στους δύο τύπους ορθογωνίων)
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του
Ο καθένας από δεκατρείς νάνους είναι ειλικρινής, ο οποίος λέει πάντα την αλήθεια ή ψεύτης, ο οποίος λέει πάντα ψέματα. Μια φορά όλοι οι νάνοι με την σειρά έκαναν μια δήλωση «Μεταξύ των δηλώσεων, που έγιναν νωρίτερα, ψευδείς είναι ακριβώς δυο φορές περισσότερες, από τις αληθείς». Πόσοι ειλικρινείς θα μπορούσαν να υπάρχουν μεταξύ των νάνων;
(Από εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=58&t=60509)
ΘΕΜΑ 2
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες μη αρνητικών πραγματικών αριθμών που είναι λύσεις του συστήματος
ΘΕΜΑ 3
Έστω εγγράψιμο τετράπλευρο με Οι διαγώνιοι και τέμνονται στο Έστω το έγκεντρο του τριγώνου και το δεύτερο σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου Να αποδείξετε ότι
ΘΕΜΑ 4
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούμε πίνακα που αποτελείται από μοναδιαία τετράγωνα.
Για κάθε θετικό ακέραιο έχουμε στην διάθεσή μας απεριόριστο πλήθος από ορθογώνια (τύπου I) και ορθογώνια (τύπου II). Καλύπτουμε πλήρως τον πίνακα με ορθογώνια, χωρίς να επικαλύπτονται, έτσι ώστε το πλήθος των ορθογωνίων τύπου Ι να είναι ίσο με το πλήθος των ορθογωνίων τύπου ΙΙ. (Ένα τετράγωνο ανήκει και στους δύο τύπους ορθογωνίων)
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί
Με πρόσθεση των τριών κατά μέλη έχουμε .
Από θα έχουμε .
Όμως .Όμοια .
Αυτές οι τρεις με πολλαπλασιασμό δίδουν .
Βλέπουμε λοιπόν πως μοναδική λύση η
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί
Έστω ότι η τέμνει τον ξανά στο .Είναι .
Τώρα μπορούμε να τελειώσουμε με πολλούς τρόπους,
π.χ Αφού θα είναι
Άρα το είναι παραλληλόγραμμο και έτσι
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13231
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί
Λίγο διαφορετικά.
Προσθέτοντας κατά μέλη και μετά τις πράξεις βρίσκουμε
Χωρίς βλάβη υποθέτω ότι οπότε Αλλά από την πρώτη εξίσωση,
Άρα θα είναι και Αντικαθιστώντας στη 2η εξίσωση:
άρα και
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί
Αφού ο πρώτος που μίλησε είπε αλήθεια και άρα είναι ειλικρινής.Ο δεύτερος είπε σαφώς ψέματα όπως και ο τρίτος.Οπότε πολύ εύκολα προκύπτει ότι ο κάθε νάνος με την σειρά που μίλησε είναι ( ειλικρινής,ψεύτης).socrates έγραψε: ↑Δευ Μαρ 09, 2020 1:45 amΘΕΜΑ 1
Ο καθένας από δεκατρείς νάνους είναι ειλικρινής, ο οποίος λέει πάντα την αλήθεια ή ψεύτης, ο οποίος λέει πάντα ψέματα. Μια φορά όλοι οι νάνοι με την σειρά έκαναν μια δήλωση «Μεταξύ των δηλώσεων, που έγιναν νωρίτερα, ψευδείς είναι ακριβώς δυο φορές περισσότερες, από τις αληθείς». Πόσοι ειλικρινείς θα μπορούσαν να υπάρχουν μεταξύ των νάνων;
(Από εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=58&t=60509)
Συνολικά ειλικρινείς.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί
socrates έγραψε: ↑Δευ Μαρ 09, 2020 1:45 amΘΕΜΑ 4
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούμε πίνακα που αποτελείται από μοναδιαία τετράγωνα.
Για κάθε θετικό ακέραιο έχουμε στην διάθεσή μας απεριόριστο πλήθος από ορθογώνια (τύπου I) και ορθογώνια (τύπου II). Καλύπτουμε πλήρως τον πίνακα με ορθογώνια, χωρίς να επικαλύπτονται, έτσι ώστε το πλήθος των ορθογωνίων τύπου Ι να είναι ίσο με το πλήθος των ορθογωνίων τύπου ΙΙ. (Ένα τετράγωνο ανήκει και στους δύο τύπους ορθογωνίων)
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του
Θανάσης Κοντογεώργης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μικροί
socrates έγραψε: ↑Δευ Μαρ 09, 2020 1:45 amΘΕΜΑ 4
Έστω ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούμε πίνακα που αποτελείται από μοναδιαία τετράγωνα.
Για κάθε θετικό ακέραιο έχουμε στην διάθεσή μας απεριόριστο πλήθος από ορθογώνια (τύπου I) και ορθογώνια (τύπου II). Καλύπτουμε πλήρως τον πίνακα με ορθογώνια, χωρίς να επικαλύπτονται, έτσι ώστε το πλήθος των ορθογωνίων τύπου Ι να είναι ίσο με το πλήθος των ορθογωνίων τύπου ΙΙ. (Ένα τετράγωνο ανήκει και στους δύο τύπους ορθογωνίων)
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του
Αν σε κάθε οριζόντια γραμμή έχουμε ένα ορθογώνιο τύπου Ι, τότε έχουμε τουλάχιστον οριζόντια ορθογώνια και άρα και τουλάχιστον κάθετα. Αν υπάρχει οριζόντια γραμμή χωρίς ορθογώνιο τύπου Ι, τότε τα κελιά της καλύπτονται από ορθογώνια τύπου ΙΙ και θα έχουμε τουλάχιστον ορθογώνια τύπου ΙΙ και άρα και τουλάχιστον τύπου Ι. Επομένως .
Το επιτυγχάνεται ως εξής: Στις πρώτες γραμμές τοποθετούμε πλακίδια τύπου Ι τα οποία να τις καλύπτουν. Τη γραμμή την καλύπτουμε με πλακίδια τύπου Ι. Τέλος την τελευταία γραμμή την καλύπτουμε με πλακίδια τύπου ΙΙ.
Επεξεργασία:
Στην πιο πάνω λύση θεώρησα ότι τα μπορώ αν θέλω να τα μετρήσω ως τύπου Ι ή ως τύπου ΙΙ. Όπως με ενημέρωσε ο Θανάσης πρέπει να τα μετρήσω και στους δύο τύπους.
Για δεν έχουμε αλλαγή στην τελική απάντηση. Απλά αλλάζει λίγο η κατασκευή ως εξής:
Στις πρώτες γραμμές τοποθετούμε ορθογώνια τύπου Ι τα οποία να τις καλύπτουν. Τις γραμμές και τις καλύπτουμε με ορθογώνια τύπου Ι την κάθε μία. (Όχι .) Τέλος τις τελευταίες δύο γραμμές τις καλύπτουμε με ορθογώνια τύπου ΙΙ, από ένα σε κάθε στήλη.
Για τώρα, η απάντηση αλλάζει. Σίγουρα θέλω ορθογώνια, όπως πιο πάνω, άρα θα χρησιμοποιήσω τουλάχιστον τετράγωνα . Αυτά θα διπλομετρηθούν, άρα . Όμως άρτιος, άρα .
Για την κατασκευή βάζουμε ένα τύπου ΙΙ για να γεμίσει η πρώτη στήλη, ένα οριζόντιο για να γεμίσει η πρώτη γραμμή και τέσσερα τετράγωνα τύπου στις υπόλοιπες θέσεις.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες