Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm

ΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί x και y είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί x^3, y^3 και x + y να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί x και y είναι επίσης ρητοί.
Ισχύει το ίδιο αν x,y πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... o_rational)


ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με AC> BC και έστω S ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά AB χωρίζει τον S σε δύο τόξα. Έστω D το μέσο του τόξου που περιέχει το C.
(α) Να αποδείξετε ότι \angle ACB +2 \cdot \angle ACD = 180^{\circ}.
(β) Αν E το ίχνος της καθέτου από το D στην AC, να αποδείξετε ότι BC +CE = AE.
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... _bc_ce__ae)


ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους n για τους οποίους η ανισότητα

\displaystyle{\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum\limits_{i=1}^n a_i \right) -\sum\limits_{i=1}^n a_i^3 \geq 6 \prod\limits_{i=1}^n a_i}

ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a_1, \dots, a_n.
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 6p14059623)


ΘΕΜΑ 4
Σε μια ευθεία βρίσκονται στη σειρά 51 θετικοί ακέραιοι με άθροισμα 100. Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο k με 1 \leq  k \leq  99,
υπάρχουν διαδοχικοί αριθμοί της ευθείας με άθροισμα ίσο με k ή με 100−k.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μαρ 11, 2020 3:52 pm

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με AC> BC και έστω S ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά AB χωρίζει τον S σε δύο τόξα. Έστω D το μέσο του τόξου που περιέχει το C.
(α) Να αποδείξετε ότι \angle ACB +2 \cdot \angle ACD = 180^{\circ}.
(β) Αν E το ίχνος της καθέτου από το D στην AC, να αποδείξετε ότι BC +CE = AE.
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... _bc_ce__ae)

263.PNG
263.PNG (22.12 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές
α) \angle C+2\angle ACD=\angle C+2\angle ABD=\angle C+2 \left ( 90^{\circ}-\dfrac{\angle ADB}{2} \right ) =\angle C-\angle C+180^{\circ}=180^{\circ}
β) Έστω M το μέσο του AB.Το ABD είναι ισοσκελές και έτσι αφού \angle ECD=\angle DBM έχω πως \Delta BDM\sim \Delta DEC\Leftrightarrow \dfrac{EC}{BM}=\dfrac{DC}{BD}
Έστω EC=x ,αρκεί a+x= b-x\Leftrightarrow x=\dfrac{b-a}{2}.
Έτσι αρκεί \dfrac{\dfrac{b-a}{2}}{\dfrac{c}{2}}=\dfrac{DC}{BD}\Leftrightarrow \dfrac{b-a}{c}=\dfrac{DC}{BD}\Leftrightarrow BD\cdot b-a\cdot AD= c\cdot DC το οποίο ισχύει από το 1ο θεώρημα Πτολεμαίου .
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Τετ Μαρ 11, 2020 7:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μαρ 11, 2020 4:05 pm

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm
ΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί x και y είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί x^3, y^3 και x + y να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί x και y είναι επίσης ρητοί.
Ισχύει το ίδιο αν x,y πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... o_rational)
Έχουμε x+y\in \mathbb{Q}\Rightarrow (x+y)^3\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy(x+y)\in \mathbb{Q}
Αφού x^3,y^3\in \mathbb{Q} θα πρέπει και 3xy(x+y)\in \mathbb{Q}\Rightarrow xy\in \mathbb{Q} αφού x+y\in \mathbb{Q}.
Επίσης x+y\in \mathbb{Q}\Rightarrow (x+y)^2\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\in \mathbb{Q} άρα θα πρέπει x^2+y^2\in \mathbb{Q}
Επιπλέον x^3,y^3\in \mathbb{Q}\Rightarrow x^3-y^3\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)\in \mathbb{Q}
Αφού όμως x^2+y^2,xy\in \mathbb{Q} έπεται ότι x-y\in \mathbb{Q} και αφού x+y\in \mathbb{Q} έπεται πως x,y\in \mathbb{Q}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μαρ 11, 2020 4:36 pm

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους n για τους οποίους η ανισότητα

\displaystyle{\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum\limits_{i=1}^n a_i \right) -\sum\limits_{i=1}^n a_i^3 \geq 6 \prod\limits_{i=1}^n a_i}

ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a_1, \dots, a_n.
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 6p14059623)
Θέτουμε a_1=a_2=..=a_n=k και πρέπει n^2k^3-nk^3\geqslant 6k^n\Leftrightarrow n^2-n\geqslant 6k^{n-3} για κάθε k> 0.
Θέτω k=3 οπότε πρέπει n^2-n\geq 6 \cdot 3^{n-3}
Θα αποδείξω πως για n\geq 4 το παραπάνω δεν μπορεί να ισχύει.
Πράγματι για n=4 δεν ισχύει,έστω ότι ισχύει για n=l.Τότε αρκεί (l+1)^2-l<6\cdot 3^{l+1-3}=3\cdot 6\cdot 3^{l-3} άρα αρκεί 3\left ( l^2- l \right )> (l+1)^2-(l+1)\Leftrightarrow l> 2 που ισχύει.
Άρα n=1,2,3 .Για n=1 πρέπει k^3-k^3\geq 6k για k θετικό άτοπο.
Για n=2 και a_1=a_2=1 πρέπει 2\cdot 2-2\geq 6 άτοπο.
Θα αποδείξουμε λοιπόν πως η τιμή n=3 είναι δεκτή οπότε θα είναι και η μοναδική λύση.
Αρκεί για a,b,c> 0 να είναι \displaystyle {\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( a+b+c \right )-(a^3+b^3+c^3)\geq 6abc\Leftrightarrow \sum a^2(b+c)\geq 6abc\Leftrightarrow \sum a^2b+\sum a^2c\geq 6abc} το οποίο προκύπτει με πρόσθεση των \displaystyle{\sum a^2b\geq 3abc,\sum a^2c\geq 3abc} τα οποία είναι άμεσα από AM-GM.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μαρ 11, 2020 11:45 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τετ Μαρ 11, 2020 3:52 pm
socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με AC> BC και έστω S ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά AB χωρίζει τον S σε δύο τόξα. Έστω D το μέσο του τόξου που περιέχει το C.
(α) Να αποδείξετε ότι \angle ACB +2 \cdot \angle ACD = 180^{\circ}.
(β) Αν E το ίχνος της καθέτου από το D στην AC, να αποδείξετε ότι BC +CE = AE.
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... _bc_ce__ae)

263.PNG
α) \angle C+2\angle ACD=\angle C+2\angle ABD=\angle C+2 \left ( 90^{\circ}-\dfrac{\angle ADB}{2} \right ) =\angle C-\angle C+180^{\circ}=180^{\circ}
β) Έστω M το μέσο του AB.Το ABD είναι ισοσκελές και έτσι αφού \angle ECD=\angle DBM έχω πως \Delta BDM\sim \Delta DEC\Leftrightarrow \dfrac{EC}{BM}=\dfrac{DC}{BD}
Έστω EC=x ,αρκεί a+x= b-x\Leftrightarrow x=\dfrac{b-a}{2}.
Έτσι αρκεί \dfrac{\dfrac{b-a}{2}}{\dfrac{c}{2}}=\dfrac{DC}{BD}\Leftrightarrow \dfrac{b-a}{c}=\dfrac{DC}{BD}\Leftrightarrow BD\cdot b-a\cdot AD= c\cdot DC το οποίο ισχύει από το 1ο θεώρημα Πτολεμαίου .
Ωραία!

Αλλιώς:
viewtopic.php?f=20&t=32273


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μαρ 18, 2020 8:38 pm

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm
ΘΕΜΑ 4
Σε μια ευθεία βρίσκονται στη σειρά 51 θετικοί ακέραιοι με άθροισμα 100. Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο k με 1 \leq  k \leq  99,
υπάρχουν διαδοχικοί αριθμοί της ευθείας με άθροισμα ίσο με k ή με 100−k.
Ας είναι a_1,a_2,...,a_{51}, με αυτή την σειρά, οι αριθμοί μας και ας ορίσουμε S_0=0 \ \ \& \ \  S_i=a_1+a_2+...+a_i, \ \ i=1,2,...,51.

:idea: Υπάρχει m\in \{0,1,2,...,50\} ώστε S_m+k\leq 100 και S_{m+1}+k>100 :idea:

(Αυτό μας βοηθά τα αθροίσματα που θα χρησιμοποιήσουμε να είναι στο διάστημα [0,100].
Προσπαθούμε με κάποιο τρόπο να εφαρμόσουμε αρχή της περιστεροφωλιάς, σκεπτόμενοι π.χ. όπως εδώ ή εδώ.)

Θεωρούμε τώρα τα σύνολα:

A=\{S_1,S_2,...,S_{51}\}
B=\{S_1+k,S_2+k,...,S_{m}+k\}
C=\{S_{m+1}-100+k,S_{m+2}-100+k,...,S_{51}-100+k\}

Τι μπορούμε να πούμε για αυτά ;


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Μαρ 20, 2020 7:44 pm

socrates έγραψε:
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm
ΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί x και y είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί x^3, y^3 και x + y να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί x και y είναι επίσης ρητοί.
Ισχύει το ίδιο αν x,y πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... o_rational)


Συλλογή σε Ρητούς - Άρρητους


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες