mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm**

ΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί

και

είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί x^3, y^3

και

να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί

και

είναι επίσης ρητοί.
Ισχύει το ίδιο αν x,y

πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... o_rational)

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

με

και έστω

ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά

χωρίζει τον

σε δύο τόξα. Έστω

το μέσο του τόξου που περιέχει το

.
(α) Να αποδείξετε ότι $\angle ACB +2 \cdot \angle ACD = 180^{\circ}$ .
(β) Αν

το ίχνος της καθέτου από το

στην

, να αποδείξετε ότι BC +CE = AE

.
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... _bc_ce__ae)

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους

για τους οποίους η ανισότητα

$\displaystyle{\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum\limits_{i=1}^n a_i \right) -\sum\limits_{i=1}^n a_i^3 \geq 6 \prod\limits_{i=1}^n a_i}$

ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a_1, \dots, a_n$ .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 6p14059623)

ΘΕΜΑ 4
Σε μια ευθεία βρίσκονται στη σειρά

θετικοί ακέραιοι με άθροισμα 100.

Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο

με $1 \leq k \leq 99,$
υπάρχουν διαδοχικοί αριθμοί της ευθείας με άθροισμα ίσο με

ή με

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 11, 2020 3:52 pm**

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο με και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά χωρίζει τον σε δύο τόξα. Έστω το μέσο του τόξου που περιέχει το .
(α) Να αποδείξετε ότι $\angle ACB +2 \cdot \angle ACD = 180^{\circ}$ .
(β) Αν το ίχνος της καθέτου από το στην , να αποδείξετε ότι .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... _bc_ce__ae)

: 263.PNG (22.12 KiB) Προβλήθηκε 978 φορές

α) $\angle C+2\angle ACD=\angle C+2\angle ABD=\angle C+2 \left ( 90^{\circ}-\dfrac{\angle ADB}{2} \right ) =\angle C-\angle C+180^{\circ}=180^{\circ}$
β) Έστω

το μέσο του

.Το

είναι ισοσκελές και έτσι αφού $\angle ECD=\angle DBM$ έχω πως $\Delta BDM\sim \Delta DEC\Leftrightarrow \dfrac{EC}{BM}=\dfrac{DC}{BD}$
Έστω EC=x

,αρκεί $a+x= b-x\Leftrightarrow x=\dfrac{b-a}{2}$ .
Έτσι αρκεί $\dfrac{\dfrac{b-a}{2}}{\dfrac{c}{2}}=\dfrac{DC}{BD}\Leftrightarrow \dfrac{b-a}{c}=\dfrac{DC}{BD}\Leftrightarrow BD\cdot b-a\cdot AD= c\cdot DC$ το οποίο ισχύει από το 1ο θεώρημα Πτολεμαίου .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 11, 2020 4:05 pm**

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm
ΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και είναι επίσης ρητοί.
Ισχύει το ίδιο αν πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... o_rational)

Έχουμε $x+y\in \mathbb{Q}\Rightarrow (x+y)^3\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy(x+y)\in \mathbb{Q}$
Αφού $x^3,y^3\in \mathbb{Q}$ θα πρέπει και $3xy(x+y)\in \mathbb{Q}\Rightarrow xy\in \mathbb{Q}$ αφού $x+y\in \mathbb{Q}$ .
Επίσης $x+y\in \mathbb{Q}\Rightarrow (x+y)^2\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\in \mathbb{Q}$ άρα θα πρέπει $x^2+y^2\in \mathbb{Q}$
Επιπλέον $x^3,y^3\in \mathbb{Q}\Rightarrow x^3-y^3\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)\in \mathbb{Q}$
Αφού όμως $x^2+y^2,xy\in \mathbb{Q}$ έπεται ότι $x-y\in \mathbb{Q}$ και αφού $x+y\in \mathbb{Q}$ έπεται πως $x,y\in \mathbb{Q}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 11, 2020 4:36 pm**

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους η ανισότητα

$\displaystyle{\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum\limits_{i=1}^n a_i \right) -\sum\limits_{i=1}^n a_i^3 \geq 6 \prod\limits_{i=1}^n a_i}$

ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a_1, \dots, a_n$ .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 6p14059623)

Θέτουμε

και πρέπει $n^2k^3-nk^3\geqslant 6k^n\Leftrightarrow n^2-n\geqslant 6k^{n-3}$ για κάθε k> 0

.
Θέτω

οπότε πρέπει $n^2-n\geq 6 \cdot 3^{n-3}$
Θα αποδείξω πως για $n\geq 4$ το παραπάνω δεν μπορεί να ισχύει.
Πράγματι για n=4

δεν ισχύει,έστω ότι ισχύει για n=l

.Τότε αρκεί $(l+1)^2-l<6\cdot 3^{l+1-3}=3\cdot 6\cdot 3^{l-3}$ άρα αρκεί $3\left ( l^2- l \right )> (l+1)^2-(l+1)\Leftrightarrow l> 2$ που ισχύει.
Άρα n=1,2,3

.Για

πρέπει $k^3-k^3\geq 6k$ για

θετικό άτοπο.
Για n=2

και

πρέπει $2\cdot 2-2\geq 6$ άτοπο.
Θα αποδείξουμε λοιπόν πως η τιμή n=3

είναι δεκτή οπότε θα είναι και η μοναδική λύση.
Αρκεί για a,b,c> 0

να είναι $\displaystyle {\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( a+b+c \right )-(a^3+b^3+c^3)\geq 6abc\Leftrightarrow \sum a^2(b+c)\geq 6abc\Leftrightarrow \sum a^2b+\sum a^2c\geq 6abc}$ το οποίο προκύπτει με πρόσθεση των $\displaystyle{\sum a^2b\geq 3abc,\sum a^2c\geq 3abc}$ τα οποία είναι άμεσα από AM-GM

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 11, 2020 11:45 pm**

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 11, 2020 3:52 pm

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο με και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά χωρίζει τον σε δύο τόξα. Έστω το μέσο του τόξου που περιέχει το .
(α) Να αποδείξετε ότι $\angle ACB +2 \cdot \angle ACD = 180^{\circ}$ .
(β) Αν το ίχνος της καθέτου από το στην , να αποδείξετε ότι .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... _bc_ce__ae)

263.PNG
α) $\angle C+2\angle ACD=\angle C+2\angle ABD=\angle C+2 \left ( 90^{\circ}-\dfrac{\angle ADB}{2} \right ) =\angle C-\angle C+180^{\circ}=180^{\circ}$
β) Έστω το μέσο του .Το είναι ισοσκελές και έτσι αφού $\angle ECD=\angle DBM$ έχω πως $\Delta BDM\sim \Delta DEC\Leftrightarrow \dfrac{EC}{BM}=\dfrac{DC}{BD}$
Έστω ,αρκεί $a+x= b-x\Leftrightarrow x=\dfrac{b-a}{2}$ .
Έτσι αρκεί $\dfrac{\dfrac{b-a}{2}}{\dfrac{c}{2}}=\dfrac{DC}{BD}\Leftrightarrow \dfrac{b-a}{c}=\dfrac{DC}{BD}\Leftrightarrow BD\cdot b-a\cdot AD= c\cdot DC$ το οποίο ισχύει από το 1ο θεώρημα Πτολεμαίου .

Ωραία!

Αλλιώς:
viewtopic.php?f=20&t=32273

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 18, 2020 8:38 pm**

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm
ΘΕΜΑ 4
Σε μια ευθεία βρίσκονται στη σειρά θετικοί ακέραιοι με άθροισμα Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο με $1 \leq k \leq 99,$
υπάρχουν διαδοχικοί αριθμοί της ευθείας με άθροισμα ίσο με ή με

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 20, 2020 7:44 pm**

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm
ΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και είναι επίσης ρητοί.
Ισχύει το ίδιο αν πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... o_rational)

Συλλογή σε Ρητούς - Άρρητους

mathematica.gr

Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί