Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί
ΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και είναι επίσης ρητοί.
Ισχύει το ίδιο αν πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... o_rational)
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο με και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά χωρίζει τον σε δύο τόξα. Έστω το μέσο του τόξου που περιέχει το .
(α) Να αποδείξετε ότι .
(β) Αν το ίχνος της καθέτου από το στην , να αποδείξετε ότι .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... _bc_ce__ae)
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους η ανισότητα
ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 6p14059623)
ΘΕΜΑ 4
Σε μια ευθεία βρίσκονται στη σειρά θετικοί ακέραιοι με άθροισμα Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο με
υπάρχουν διαδοχικοί αριθμοί της ευθείας με άθροισμα ίσο με ή με
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και είναι επίσης ρητοί.
Ισχύει το ίδιο αν πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... o_rational)
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο με και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά χωρίζει τον σε δύο τόξα. Έστω το μέσο του τόξου που περιέχει το .
(α) Να αποδείξετε ότι .
(β) Αν το ίχνος της καθέτου από το στην , να αποδείξετε ότι .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... _bc_ce__ae)
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους η ανισότητα
ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 6p14059623)
ΘΕΜΑ 4
Σε μια ευθεία βρίσκονται στη σειρά θετικοί ακέραιοι με άθροισμα Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο με
υπάρχουν διαδοχικοί αριθμοί της ευθείας με άθροισμα ίσο με ή με
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί
α)socrates έγραψε: ↑Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο με και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά χωρίζει τον σε δύο τόξα. Έστω το μέσο του τόξου που περιέχει το .
(α) Να αποδείξετε ότι .
(β) Αν το ίχνος της καθέτου από το στην , να αποδείξετε ότι .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... _bc_ce__ae)
β) Έστω το μέσο του .Το είναι ισοσκελές και έτσι αφού έχω πως
Έστω ,αρκεί .
Έτσι αρκεί το οποίο ισχύει από το 1ο θεώρημα Πτολεμαίου .
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Τετ Μαρ 11, 2020 7:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί
Έχουμεsocrates έγραψε: ↑Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pmΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και είναι επίσης ρητοί.
Ισχύει το ίδιο αν πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... o_rational)
Αφού θα πρέπει και αφού .
Επίσης άρα θα πρέπει
Επιπλέον
Αφού όμως έπεται ότι και αφού έπεται πως
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί
Θέτουμε και πρέπει για κάθε .socrates έγραψε: ↑Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους η ανισότητα
ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... 6p14059623)
Θέτω οπότε πρέπει
Θα αποδείξω πως για το παραπάνω δεν μπορεί να ισχύει.
Πράγματι για δεν ισχύει,έστω ότι ισχύει για .Τότε αρκεί άρα αρκεί που ισχύει.
Άρα .Για πρέπει για θετικό άτοπο.
Για και πρέπει άτοπο.
Θα αποδείξουμε λοιπόν πως η τιμή είναι δεκτή οπότε θα είναι και η μοναδική λύση.
Αρκεί για να είναι το οποίο προκύπτει με πρόσθεση των τα οποία είναι άμεσα από .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί
Ωραία!ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Τετ Μαρ 11, 2020 3:52 pm263.PNGsocrates έγραψε: ↑Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pm
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο με και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά χωρίζει τον σε δύο τόξα. Έστω το μέσο του τόξου που περιέχει το .
(α) Να αποδείξετε ότι .
(β) Αν το ίχνος της καθέτου από το στην , να αποδείξετε ότι .
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... _bc_ce__ae)
α)
β) Έστω το μέσο του .Το είναι ισοσκελές και έτσι αφού έχω πως
Έστω ,αρκεί .
Έτσι αρκεί το οποίο ισχύει από το 1ο θεώρημα Πτολεμαίου .
Αλλιώς:
viewtopic.php?f=20&t=32273
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (24), Μικροί
socrates έγραψε: ↑Τετ Μαρ 11, 2020 2:25 pmΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί και να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και είναι επίσης ρητοί.
Ισχύει το ίδιο αν πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);
( Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... o_rational)
Συλλογή σε Ρητούς - Άρρητους
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες