Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am

ΘΕΜΑ 1
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1,2,3,...,n. Ο Γιώργος έσβησε κατά λάθος έναν από αυτούς, οπότε τώρα ο μέσος όρος των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα είναι ίσος με 22. Να βρείτε τον n και τον αριθμό που έσβησε ο Γιώργος.


ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης |36^k - 5^m|, όπου k και m θετικοί ακέραιοι.


ΘΕΜΑ 3
α) Σε τετράγωνο ABCD, οι διαγώνιοι AC και BD τέμνονται στο E. Το σημείο F βρίσκεται στο τμήμα CD έτσι ώστε \angle CAF = \angle FAD.
Αν η AF τέμνει την ED στο G και EG=24 \ cm να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος CF.

β) Στις πλευρές AB και BC τετραγώνου ABCD θεωρούμε σημεία E και F τέτοια ώστε BE = BF.
Έστω BN ύψος του τριγώνου BCE. Να αποδείξετε ότι \angle DNF = 90^{\circ}.
https://artofproblemsolving.com/communi ... ompetition


ΘΕΜΑ 4
Στον πίνακα είναι γραμμένοι στη σειρά n αριθμοί, καθένας ίσος με +1 ή -1. Είναι γνωστό ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε 10 διαδοχικών αριθμών του πίνακα είναι ίσο με 0, ενώ το άθροισμα οποιωνδήποτε 12 διαδοχικών αριθμών είναι διαφορετικό από το 0.
Να προσδιορίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή του n.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Μαρ 13, 2020 9:30 am

socrates έγραψε:
Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am
ΘΕΜΑ 1
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1,2,3,...,n. Ο Γιώργος έσβησε κατά λάθος έναν από αυτούς, οπότε τώρα ο μέσος όρος των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα είναι ίσος με 22. Να βρείτε τον n και τον αριθμό που έσβησε ο Γιώργος.
Έστω a ο αριθμός τον οποίο έσβησε.Το αρχικό άθροισμα ήταν \dfrac{n\left ( n+1 \right )}{2} και έτσι από τα δεδομένα έχουμε πως \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}-a}{n-1}=22\Leftrightarrow a=\dfrac{n^2-43n+44}{2}
Επειδή a\in [1,n] έχουμε \dfrac{n^2-43n+44}{2}\leq n\Leftrightarrow n^2-45n+44\leq 0\Leftrightarrow (n-1)(n-44)\leq 0
Επειδή n\neq 1 θα πρέπει n\leq 44.
Επιπλέον πρέπει n^2-43n+44\geq 0
Μελετώντας το τριώνυμο έχουμε πως n\leq \dfrac{43-\sqrt{1673}}{2}\,\,\acute{\eta} \,\,\,n\geq \dfrac{43+\sqrt{1673}}{2}
Η πρώτη απορρίπτεται εύκολα ενώ από την δεύτερη πρέπει (n φυσικός) n\geq 42
Για n=44 βρίσκουμε a=44,για n=43 είναι a=22 και για n=42 παίρνουμε a=1.Και οι τρις λύσεις είναι δεκτές και ικανοποιούν τις συνθήκες.

Άρα (a,n)=(1,42),(22,43),(44 ,44)


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Μαρ 13, 2020 9:44 am

socrates έγραψε:
Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am

ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης |36^k - 5^m|, όπου k και m θετικοί ακέραιοι.
Αν 36^k-5^m> 0 τότε 36^k-5^m\equiv 1\pmod2 και 36^k-5^m\equiv 1\pmod5.
Με k=1,m=2 έχουμε 36^k-5^m=11 και δεν υπάρχει μικρότερη δυνατή καθώς από τις σχέσεις με τα \pmod αυτή θα είναι αναγκαστικά 1.Αρκεί να δείξουμε πως η 36^k-5^m=1 είναι αδύνατη.
Πρέπει (6^k-1)(6^k+1)=5^m όμως 6^k+1\not\equiv 0\pmod5 άρα 6^k-1=5^m και 6^k+1=1 άτοπο.
Αν 5^m-36^k>0 τότε 36^k-5^m\equiv 1\pmod2 και 5^m-36^k\equiv 4\pmod5
Άρα μόνη περίπτωση μικρότερη του 11 είναι το 9 το οποίο όμως δίνει άτοπο \pmod3.


Έτσι ελάχιστη τιμή της |36^k - 5^m|, είναι το 11.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Μαρ 13, 2020 10:26 am

socrates έγραψε:
Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am
ΘΕΜΑ 3
α) Σε τετράγωνο ABCD, οι διαγώνιοι AC και BD τέμνονται στο E. Το σημείο F βρίσκεται στο τμήμα CD έτσι ώστε \angle CAF = \angle FAD.
Αν η AF τέμνει την ED στο G και EG=24 \ cm να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος CF.

β) Στις πλευρές AB και BC τετραγώνου ABCD θεωρούμε σημεία E και F τέτοια ώστε BE = BF.
Έστω BN ύψος του τριγώνου BCE. Να αποδείξετε ότι \angle DNF = 90^{\circ}.
https://artofproblemsolving.com/communi ... ompetition

α)
268.PNG
268.PNG (14.89 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Έστω a η πλευρά του τετραγώνου.Είναι \Delta ADF\sim\Delta AGE\Leftrightarrow \dfrac{GE}{DF}=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a}\Leftrightarrow DF=GE\sqrt{2}
Από θ.διχοτόμου είναι \dfrac{FC}{DF}=\dfrac{AC}{AD}=\sqrt{2}\Leftrightarrow FC=DF\sqrt{2}=GE\sqrt{2}\sqrt{2}=2GE=48cm

β)
267.PNG
267.PNG (22.17 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Έστω T\equiv BN\cap AD.Είναι \angle NCD=90^{\circ}-\angle BCE=90^{\circ}-\angle EBT=\angle BTA
άρα DTNC εγγράψιμο.Επιπλέον \Delta ABT=\Delta EBC\Leftrightarrow AT=BF\Leftrightarrow DT=CF και έτσι εύκολα TDCF εγγράψιμο ως ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.Δηλαδή DNFC εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3013
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μαρ 13, 2020 11:35 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Παρ Μαρ 13, 2020 9:44 am


ΘΕΜΑ 2
.Αρκεί να δείξουμε πως η 36^k-5^m=1 είναι αδύνατη.
mod 7
και είναι άμεσο ότι είναι αδύνατη.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Μαρ 13, 2020 9:25 pm

socrates έγραψε:
Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am
ΘΕΜΑ 4
Στον πίνακα είναι γραμμένοι στη σειρά n αριθμοί, καθένας ίσος με +1 ή -1. Είναι γνωστό ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε 10 διαδοχικών αριθμών του πίνακα είναι ίσο με 0, ενώ το άθροισμα οποιωνδήποτε 12 διαδοχικών αριθμών είναι διαφορετικό από το 0.
Να προσδιορίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή του n.
Έστω a_1,a_2,.... οι αριθμοί.Σίγουρα γίνεται n\geq 12.
Επειδή \displaystyle {\sum_{k}^{k+9}a_k=0} συμπεραίνουμε ότι i\equiv j\pmod{10}\Rightarrow a_i=a_j
Για κάποιο k>11 τώρα είναι \displaystyle{\sum_{k-11}^{k}}a_k\neq 0 και \displaystyle {\sum_{k-11}^{k-2}}a_k=0 άρα a_k=a_{k-1}.
Συνεπώς αν n\geq 16 θα πρέπει n_{16}=n_{15}=..=n_{11}\Leftrightarrow n_6=n_5=..=n_1 τότε όμως έχουμε άτοπο αφού δεν μπορεί \displaystyle{\sum_{i=1}^{10}}a_i=0.Άρα n\leq 15.
Το n=15 είναι εφικτό π.χ 1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Απρ 03, 2020 6:22 pm

socrates έγραψε:
Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am
ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης |36^k - 5^m|, όπου k και m θετικοί ακέραιοι.
Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται :
  • Να λυθεί η εξίσωση 36^k - 5^m=11.
  • Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης |36^k - 5^m|, όπου k και m θετικοί ακέραιοι;
    (δεν έχω λύση)


Θανάσης Κοντογεώργης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ » Παρ Απρ 03, 2020 8:58 pm

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 6:22 pm
socrates έγραψε:
Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am
ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης |36^k - 5^m|, όπου k και m θετικοί ακέραιοι.
Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται :
  • Να λυθεί η εξίσωση 36^k - 5^m=11.
  • Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης |36^k - 5^m|, όπου k και m θετικοί ακέραιοι;
    (δεν έχω λύση)
Για το πρώτο
Εύκολα με mod3 έχουμε ότι m άρτιος.Τότε θέτουμε m=2a ,όπου a θετικός ακέραιος και έχουμε
(6^{k}-5^{a})(6^{k}-5^{a})=11,οπότε

\left\{\begin{matrix}
 6^{k}-5^{a}=1& \\ 
 6^{k}+5^{a}=11& 
\end{matrix}\right.
Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: 2\cdot 6^{k}=12\Leftrightarrow 6^{k}=6\Leftrightarrow k=1.Αρα a=1.
Συνεπώς η εξίσωση έχει μοναδική λύση (k,m)=(1,2).


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Απρ 03, 2020 11:41 pm

socrates έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 6:22 pm
socrates έγραψε:
Παρ Μαρ 13, 2020 2:12 am
ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης |36^k - 5^m|, όπου k και m θετικοί ακέραιοι.
Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται :
  • Να λυθεί η εξίσωση 36^k - 5^m=11.
  • Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης |36^k - 5^m|, όπου k και m θετικοί ακέραιοι;
    (δεν έχω λύση)
Κάνω το δεύτερο
Θα δείξω πως είναι το 31.
Αν \rm 36^k-5^m>0 τότε εύκολα \rm 36^k-5^m\equiv 1\pmod2,36^k-5^m\equiv 1\pmod5\Rightarrow 36^k-5^m\equiv 1\pmod{10}.
Η \rm 36^k-5^m=21 δίνει άτοπο \rm \pmod{3}.Για \rm k=m=1 είναι \rm 36^k-5^m=31.
Μένει η περίπτωση \rm 5^m-36^k>0.Εύκολα \rm 5^m-36^k\equiv 1\pmod2,5^m-36^k\equiv 4\pmod5\Rightarrow 5^m-36^k\equiv 9\pmod{10}
Άρα μένει να δείξω πως η \rm 5^m-36^k=29 \,\,\,\, (*) είναι αδύνατη στους φυσικούς.
Αυτό γίνεται παίρνοντας \pmod{29}.Πρέπει \rm 5^m\equiv 36^k\pmod{29}\Leftrightarrow 5^m\equiv 7^k\pmod{29}
Με \pmod{3} στην (*) πρέπει \rm m περιττός.Είναι \rm ord_{29}(5)=14\equiv 0\pmod{2} άρα τα δυνατά υπόλοιπα \rm 5^m \pmod{29},m \equiv1 \pmod{2} είναι τα \rm 5^1,5^3,..,5^{13}\pmod{29} δηλαδή τα 5,9,22,28,4,13,6
Επίσης \rm ord_{29}(7)=7 και έτσι τα δυνατά υπόλοιπα \rm 7^k\pmod{29} είναι τα 1,7,20,24,23,16,25.
Εφόσον δεν υπάρχουν κοινά στοιχεία η εξίσωση είναι αδύνατη και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ξέχασα την περίπτωση \rm 5^m-36^k=19,θα δείξω πως και αυτή είναι αδύνατη.Με \pmod3 ,\rm m άρτιος άρα αν \rm m=2l τότε \rm (5^l-6^k)(5^l+6^k)=19 άρα αναγκαστικά \rm 5^l+6^k=19 εύκολα άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες