Τεστ Εξάσκησης (31), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (31), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Μαρ 22, 2020 2:18 am

Τα τεστ 31 - 35 (Μικροί) αποτελούνται από θέματα που είδαμε στο :logo: .
Ας γράφουμε άλλες λύσεις, σχόλια κτλ στο αντίστοιχο τόπικ!

Όλα τα τεστ είναι συγκεντρωμένα εδώ.



ΘΕΜΑ 1
Οι θετικοί ακέραιοι a_1, a_2, ... ,  a_{12} είναι διαφορετικοί ανά δύο και οι θετικές διαφορές μεταξύ δύο οποιονδήποτε από αυτούς σχηματίζουν ένα σύνολο με στοιχεία 20 διαδοχικούς θετικούς ακεραίους.
α) Να δείξετε ότι \displaystyle{ \max \{a_1, a_2, ...,  a_{12} \} − \min \{a_1, a_2, ... , a_{12} \} = 20.}
β) Να βρείτε παράδειγμα τέτοιων αριθμών.


ΘΕΜΑ 2
Έστω (a_1,a_2,a_3,...,a_{2011}) μια αναδιάταξη των αριθμών 1,2,3,...,2011.
Δείξτε ότι υπάρχουν j,k έτσι ώστε 1\leq{j}<k\leq2011 και |a_j-j|=|a_k-k|


ΘΕΜΑ 3
Σε μια λέσχη διαβάσματος έχουν πάρει μέρος n μαθητές. Υπάρχουν συνολικά 6 μαθήματα διαβάσματος κάθε ένα από τα οποία παρακολουθείται από ακριβώς 40 μαθητές. Αν δίνεται ότι κάθε δύο μαθήματα έχουν το πολύ 9 κοινούς μαθητές που τα παρακολουθούν να βρείτε τον ελάχιστο n.


ΘΕΜΑ 4
Από τις κορυφές B, C ορθογωνίου τριγώνου ABC φέρνω εκτός του τριγώνου κάθετες στην υποτείνουσα BC και θεωρώ επί αυτών τα σημεία Q, P αντίστοιχα ώστε BQ=BA και CP=CA. Οι BP, CQ τέμνονται στο S και οι AP, AQ τέμνουν την BC στα M, N. Να δείξετε ότι η AS διχοτομεί το τμήμα MN.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (31), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Απρ 11, 2020 11:31 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:18 am
ΘΕΜΑ 2
Έστω (a_1,a_2,a_3,...,a_{2011}) μια αναδιάταξη των αριθμών 1,2,3,...,2011.
Δείξτε ότι υπάρχουν j,k έτσι ώστε 1\leq{j}<k\leq2011 και |a_j-j|=|a_k-k|
Για κάθε j έχουμε |a_j-j|\in \{0,1,2,...,2010\}.
Επομένως, αν όλα τα |a_j-j| είναι διαφορετικά ανά δύο, θα είναι ακριβώς οι αριθμοί 0,1,2,...,2010 με κάποια σειρά.
Όμως \displaystyle{|x|\equiv x \pmod 2} άρα

\displaystyle{\sum_{i=1}^{2011}|a_i-i|\equiv a_1+a_2+...+a_{2011}-1-2-...-2011 \equiv 0  \pmod 2,}

αλλά

\displaystyle{0+1+2+...+2010=2011\cdot 1005\equiv 1  \pmod 2,} άτοπο.


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 3 επισκέπτες