Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

#1

Τα τεστ 31 - 35 (Μικροί) αποτελούνται από θέματα που είδαμε στο

.
Ας γράφουμε άλλες λύσεις, σχόλια κτλ στο αντίστοιχο τόπικ!

Όλα τα τεστ είναι συγκεντρωμένα εδώ.

ΘΕΜΑ 1
Σε κάθε κελί ενός πίνακα $5\times 9$ γράφουμε έναν από τους αριθμούς

ή

Θεωρούμε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή και στήλη. Πόσοι το πολύ από τους

αυτούς αριθμούς μπορεί να είναι διαφορετικοί;

ΘΕΜΑ 2
Αν a,b,c>0

με $\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} ,}$ να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{bc(b+c)}+\frac{b}{ca(c+a)}+\frac{c}{ab(a+b)}\ge\frac{3}{2}.}$

ΘΕΜΑ 3
Από το μέσο

της βάσης

του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω τμήμα $DE \perp AB$ . Αν M,N

είναι τα μέσα των DC,DE

αντίστοιχα , δείξτε ότι η γωνία $\widehat{ANM}$ είναι ορθή.

ΘΕΜΑ 4
Έστω

σύνολο θετικών ακεραίων τέτοιο ώστε για κάθε $\displaystyle{ x, y \in A}$ με x > y

να ισχύει $\displaystyle{x - y \geq \frac{xy}{16}.}$
Πόσα το πολύ στοιχεία έχει το

geoberdenis2004 · #2

Καλησπέρα!Το δεύτερο θέμα βασίζεται στην ανισότητα Nesbitt, η οποία λέει ότι αν a,b,c> 0

τότε $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ , με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν a= b= c

.Ισχύει ότι $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{ca}{b(b+c)}+\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{3}{2}$ .Όμως από Cauchy-Schwarz έχουμε ότι: $\frac{ca}{b(b+c)}+\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{abc(b+c)+abc(c+a)+abc(a+b)}=\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(a+b+c)}\geq \frac{3}{2}$ ,που είναι και η ζητούμενη, αφού πολλαπλασιάζοντας τα κλάσματα του πρώτου μέλους αντίστοιχα με $\frac{1}{c},\frac{1}{a},\frac{1}{b}$ παίρνουμε τη ζητούμενη ανισότητα.

Filippos Athos · #3

: res3744112af469898c7603fbe21d80b5b5640a34b5.png (37.7 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές

ΘΕΜΑ 3

Για αρχή ας φέρουμε παράλληλη

με την

όπου

μέσο της $B\Delta$ οπότε $BZ=Z\Delta$ (αφού

μέσο της $E\Delta$ ).

Επίσης φέρουμε κάθετη από το

προς την $A\Gamma$ και ονομάζουμε το σημείο τομής τους με

.

Ας ονομάσουμε τις ίσες γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου και όλες οι οποίες είναι ίσες με αυτές με

.

Παρατηρούμε τα τρίγωνα $ZN\Delta$ και $MK\Gamma$ που προφανώς είναι ίσα.Οπότε $N\Delta= KM$ και αφού $N\widehat{\Delta }M= K\widehat{M}\Delta$ ,το τετράπλευρο $N\Delta MK$ είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα είναι και εγγράψιμο.

Αυτό σημαίνει ότι $\Delta \widehat{N}M= \Delta \widehat{K}M$

Επίσης αφού το $A\Delta MK$ είναι εγγράψιμο

$\Delta \widehat{K}M=\Delta \widehat{A}M$

Δηλαδή $\Delta \widehat{N}M=\Delta \widehat{A}M$
άρα το τετράπλευρο $N\Delta MA$ είναι εγγράψιμο,οπότε $A\widehat{\Delta }M=A\widehat{N}M=90 ^{\circ }$

Φαντάζομαι ότι υπάρχει και ευκολότερος τρόπος

#4

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:21 am
ΘΕΜΑ 3
Από το μέσο της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω τμήμα $DE \perp AB$ . Αν είναι τα μέσα των αντίστοιχα , δείξτε ότι η γωνία $\widehat{ANM}$ είναι ορθή.

Αλλιώς.

: 32-μικροί.png (19.44 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές

Τα τρίγωνα AED, ADC

είναι όμοια, άρα $\displaystyle \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{ED}}{{DC}} = \frac{{EN}}{{DM}},$ οπότε και τα AEN, ADM

είναι όμοια, δηλαδή οι

κόκκινες γωνίες είναι ίσες. Άρα, $\displaystyle N\widehat AM = E\widehat AD = E\widehat DB$ που σημαίνει ότι το ANDM

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση