Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Μαρ 22, 2020 2:21 am

Τα τεστ 31 - 35 (Μικροί) αποτελούνται από θέματα που είδαμε στο :logo: .
Ας γράφουμε άλλες λύσεις, σχόλια κτλ στο αντίστοιχο τόπικ!

Όλα τα τεστ είναι συγκεντρωμένα εδώ.



ΘΕΜΑ 1
Σε κάθε κελί ενός πίνακα 5\times 9 γράφουμε έναν από τους αριθμούς 0 ή 1. Θεωρούμε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή και στήλη. Πόσοι το πολύ από τους 14 αυτούς αριθμούς μπορεί να είναι διαφορετικοί;


ΘΕΜΑ 2
Αν a,b,c>0 με \displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} ,} να δείξετε ότι

\displaystyle{\frac{a}{bc(b+c)}+\frac{b}{ca(c+a)}+\frac{c}{ab(a+b)}\ge\frac{3}{2}.}


ΘΕΜΑ 3
Από το μέσο D της βάσης BC του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , φέρω τμήμα DE \perp AB. Αν M,N είναι τα μέσα των DC,DE αντίστοιχα , δείξτε ότι η γωνία \widehat{ANM} είναι ορθή.


ΘΕΜΑ 4
Έστω A σύνολο θετικών ακεραίων τέτοιο ώστε για κάθε \displaystyle{ x, y \in A} με x > y να ισχύει \displaystyle{x - y \geq \frac{xy}{16}.}
Πόσα το πολύ στοιχεία έχει το A;


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
geoberdenis2004
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2020 3:36 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από geoberdenis2004 » Κυρ Μαρ 22, 2020 5:09 pm

Καλησπέρα!Το δεύτερο θέμα βασίζεται στην ανισότητα Nesbitt, η οποία λέει ότι αν a,b,c> 0 τότε \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}, με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν a= b= c.Ισχύει ότι\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{ca}{b(b+c)}+\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{3}{2}.Όμως από Cauchy-Schwarz έχουμε ότι:\frac{ca}{b(b+c)}+\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{abc(b+c)+abc(c+a)+abc(a+b)}=\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(a+b+c)}\geq \frac{3}{2},που είναι και η ζητούμενη, αφού πολλαπλασιάζοντας τα κλάσματα του πρώτου μέλους αντίστοιχα με \frac{1}{c},\frac{1}{a},\frac{1}{b}παίρνουμε τη ζητούμενη ανισότητα.


Filippos Athos
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός

Re: Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Filippos Athos » Τρί Μαρ 24, 2020 9:38 pm

res3744112af469898c7603fbe21d80b5b5640a34b5.png
res3744112af469898c7603fbe21d80b5b5640a34b5.png (37.7 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
ΘΕΜΑ 3


Για αρχή ας φέρουμε παράλληλη NZ με την BE όπου Z μέσο της B\Delta οπότε BZ=Z\Delta (αφού N μέσο της E\Delta).

Επίσης φέρουμε κάθετη από το M προς την A\Gamma και ονομάζουμε το σημείο τομής τους με K.

Ας ονομάσουμε τις ίσες γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου και όλες οι οποίες είναι ίσες με αυτές με x.

Παρατηρούμε τα τρίγωνα ZN\Delta και  MK\Gamma που προφανώς είναι ίσα.Οπότε N\Delta= KM και αφού N\widehat{\Delta }M= K\widehat{M}\Delta,το τετράπλευρο N\Delta MK είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα είναι και εγγράψιμο.

Αυτό σημαίνει ότι \Delta \widehat{N}M= \Delta \widehat{K}M

Επίσης αφού το A\Delta MK είναι εγγράψιμο

\Delta \widehat{K}M=\Delta \widehat{A}M

Δηλαδή \Delta \widehat{N}M=\Delta \widehat{A}M
άρα το τετράπλευρο N\Delta MA είναι εγγράψιμο,οπότε A\widehat{\Delta }M=A\widehat{N}M=90 ^{\circ }

Φαντάζομαι ότι υπάρχει και ευκολότερος τρόπος ;)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9214
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 31, 2020 1:42 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:21 am
ΘΕΜΑ 3
Από το μέσο D της βάσης BC του ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , φέρω τμήμα DE \perp AB. Αν M,N είναι τα μέσα των DC,DE αντίστοιχα , δείξτε ότι η γωνία \widehat{ANM} είναι ορθή.
Αλλιώς.
32-μικροί.png
32-μικροί.png (19.44 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
Τα τρίγωνα AED, ADC είναι όμοια, άρα \displaystyle \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{ED}}{{DC}} = \frac{{EN}}{{DM}}, οπότε και τα AEN, ADM είναι όμοια, δηλαδή οι

κόκκινες γωνίες είναι ίσες. Άρα, \displaystyle N\widehat AM = E\widehat AD = E\widehat DB που σημαίνει ότι το ANDM είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης