Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της σταθεράς και τη μικρότερη τιμή της σταθεράς για τις οποίες η ανισότητα
ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς
ΘΕΜΑ 2
Σε μια παιδική χαρά παίζουν παιδιά, όπου Κάθε παιδί φοράει ένα χρωματιστό καπέλο και κάθε ζευγάρι παιδιών κρατά μια χρωματιστή κορδέλα. Για κάθε παιδί, το χρώμα κάθε κορδέλας που κρατά είναι διαφορετικό και επίσης διαφορετικό από το χρώμα του καπέλου που φορά. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν;
ΘΕΜΑ 3
Έστω το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου
Τα σημεία και ανήκουν στις ευθείες και ώστε
Δείξτε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες.
ΘΕΜΑ 4
Έστω θετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε ο αριθμός να διαιρείται με τον
Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της σταθεράς και τη μικρότερη τιμή της σταθεράς για τις οποίες η ανισότητα
ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς
ΘΕΜΑ 2
Σε μια παιδική χαρά παίζουν παιδιά, όπου Κάθε παιδί φοράει ένα χρωματιστό καπέλο και κάθε ζευγάρι παιδιών κρατά μια χρωματιστή κορδέλα. Για κάθε παιδί, το χρώμα κάθε κορδέλας που κρατά είναι διαφορετικό και επίσης διαφορετικό από το χρώμα του καπέλου που φορά. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν;
ΘΕΜΑ 3
Έστω το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου
Τα σημεία και ανήκουν στις ευθείες και ώστε
Δείξτε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες.
ΘΕΜΑ 4
Έστω θετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε ο αριθμός να διαιρείται με τον
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Θα το δείξω επαγωγικά:ΘΕΜΑ 4
Έστω θετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος k τέτοιος ώστε ο αριθμός να διαιρείται με τον
Για προφανώς ισχύει το ζητούμενο
Έστω για κάποιο υπάρχει τέτοιο ώστε:
Για το αν προφανώς τελειώσαμε, αλλιώς θέλω να κατασκευάσω τέτοιο ώστε
Τότε: , δηλαδή αρκεί
(το επιπλέον δυάρι προκύπτει εύκολα αφού με περιττούς)
Από LTE για το :
Επομένως, o δουλεύει και το ζητούμενο έπεται.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Έστω τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις αντίστοιχα, η ακτίνα του έγκυκλου και η ημιπερίμετρος του .
Είναι .
Άρα .
Επίσης οπότε από την συνθήκη καθετότητας έπεται το ζητούμενο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Stamas (Σταμάτης;) έχεις δίκιο. Οι ανισότητες (και ειδικότερα η αριστερή) πρέπει να έχουν και ίσον (στη δεξιά δεν είναι απαραίτητο).
Ευχαριστώ για την παρατήρηση και ζητώ συγγνώμη για την ταλαιπωρία!
Περιμένουμε τη λύση σου
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Μια προσπάθεια:
Αφού ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς θέτω με θετικό πραγματικό, να "τρέχει" δηλαδή στο .
Η τελευταία γίνεται:
Θέτω:
Άρα μέγιστο για και ελέγχοντας τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού η f πλησιάζει ασυμπτωτικά το .
'Αρα: και
Ας εξετάσω τώρα αν αυτές οι τιμές δουλεύουν:
Κάνοντας τις πράξεις για το (άνω φράγμα) ΔΕΝ (edit μετά από ΠΜ του κ.Θανάση) ισχύει
Για :
Από η τελευταία: και η τελευταία ισχύει αφού μετά από πράξεις καταλήγει στην που ισχύει. Ας εστιάσω εδώ:
Το γράφω ως
Θέτω: και μάλιστα έχω .
Τότε:
Κάνω πράξεις για να καταλήξω στην:
Θέτω και το ως f(t).
και παίρνω περιπτώσεις για να δω πως επηρεάζει το το πρόσημο της παραγώγου.
Για η αρχική ισχύει καθώς η f έχει ελάχιστο στο 1 και με απλές πράξεις καταλήγω στο ζητούμενο.
Για και σε συνδυασμό με το παίρνω και σε κάθε περίπτωση (συγκριτικά με την άλλη ρίζα, το 1) τα όρια στο +άπειρο "φεύγουν" στο -άπειρο άτοπο.
Άρα το οποίο μου δίνει το οποίο ισχύει αν πάμε και κάνουμε τις πράξεις στην ανισότητα (1).
Μέσω Λαμίας όμως. Τίποτα κομψότερο;
τελευταία επεξεργασία από miltosk σε Παρ Μαρ 27, 2020 2:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Το άνω φράγμα δεν ξέρω αν είναι σωστό. Αρχικά θέτω στην αρχική όπου , , και βγαίνει και με πρόσθεση κατά μέλη της αρχικής με αυτή βγαίνει (1).Όμως από την γνωστή ανισότητα άρα η (1) είναι δηλαδή το .Για το M η (1) γίνεται άρα το M είναι .Τέλος δεν λέγομαι Σταμάτης αλλά Σταματέλος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Είναι και όμοια .
Έστω τα σημεία επαφής των και παραγεγραμμένων με τις αντίστοιχα. Τότε από γνωστό Λήμμα, . Όμοια, .
Άρα, , οπότε το είναι εγγράψιμο.
Έστω, .
Τότε, αρκεί , και αφού , αρκεί .
Όμως, , οπότε αρκεί .
Έστω, . Τότε, είναι:
, και
(η τελευταία ισχύει επειδή και όμοια ).
Οπότε, . Επίσης, είναι .
Άρα, και θέλω (τότε είναι δηλαδή ).
Έστω, , τότε είναι εύκολο να δούμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα, άρα αφού , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε ...
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Συνεχίζω από αυτό το σημείο, δίνοντας μία μη-τριγωνομετρική λύση .Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 26, 2020 12:18 amΕίναι και όμοια .
Έστω τα σημεία επαφής των και παραγεγραμμένων με τις αντίστοιχα. Τότε από γνωστό Λήμμα, . Όμοια, .
Άρα, , οπότε το είναι εγγράψιμο.
Έστω, .
Τότε, αρκεί , και αφού , αρκεί .
Όμως, , οπότε αρκεί .
Αποδεικνύω ένα Λήμμα:
Λήμμα: Έστω τρίγωνο και τα ίχνη των υψών από τα αντίστοιχα. Έστω ακόμη το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο Euler του . Έστω ακόμη τα ίχνη των καθέτων από τα στις , αντίστοιχα. Τότε, ισχύει και , όπου είναι το ορθόκεντρο του .
Απόδειξη: Έστω, . Τότε, είναι:
, άρα , και , άρα το είναι το περίκεντρο του (πιο απλά, αν το είναι ορθόκεντρο του , τότε από Θ.Nagel , άρα δηλαδή περίκεντρο).
Έστω το κέντρο του κύκλου Euler. Τότε, είναι γνωστό ότι , και αφού , το είναι παραλληλόγραμμο, οπότε .
Έστω τώρα . Τότε, , καθώς . Ακόμη, , καθώς . Άρα .
Συνεπώς, . Άρα, τα ορθογώνια τρίγωνα , έχουν , οπότε είναι ίσα.
Επομένως, , όπου η τελευταία ισότητα ισχύει διότι , οπότε το είναι εγγράψιμο.
Συνεπώς, , και εύκολα πλέον .
Πίσω στην άσκηση, εφαρμόζοντας το Λήμμα στο , όπου το κέντρο του παραγεγραμμένου κύκλου, έχω ότι , και τελειώσαμε!
(Στο προηγούμενο τρίγωνο, είναι γνωστό ότι είναι το ορθόκεντρό του)
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
socrates έγραψε: ↑Δευ Μαρ 23, 2020 1:32 amΘΕΜΑ 2
Σε μια παιδική χαρά παίζουν παιδιά, όπου Κάθε παιδί φοράει ένα χρωματιστό καπέλο και κάθε ζευγάρι παιδιών κρατά μια χρωματιστή κορδέλα. Για κάθε παιδί, το χρώμα κάθε κορδέλας που κρατά είναι διαφορετικό και επίσης διαφορετικό από το χρώμα του καπέλου που φορά. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν;
Το κάθε παιδί κρατάει διαφορετικού χρώματος κορδέλες και φοράει ένα, επίσης διαφορετικού χρώματος, καπέλο. Άρα, χρειαζόμαστε τουλάχιστον χρώματα. Θα δείξω ότι χρώματα αρκούν.
Σχηματίζω έναν πίνακα. Συμβολίζω για ευκολία τα χρώματα που θα χρησιμοποιήσω. Γεμίζω τον πίνακα ως εξής:
Στο κάτω αριστερά τετραγωνάκι βάζω τον αριθμό . Σε όλα τα γειτονικά τετραγωνάκια του προηγούμενου βάζω τον . Σε όλα τα γειτονικά τετραγωνάκια των προηγούμενων (που δεν έχουν αριθμό), βάζω τον , κ.ο.κ. Κάνω την ίδια διαδικασία τώρα, ξεκινώντας από την πάνω δεξιά γωνία, δηλαδή βάζοντας στο πάνω δεξιά τετραγωνάκι , και συνεχίζοντας.
(γειτονικά θεωρώ δύο κελιά με κοινή πλευρά)
Έτσι, για παράδειγμα, ένας πίνακας θα γίνει:
Ας ονομάσω τώρα τα παιδιά , και ας τα τοποθετήσω όπως στην περίπτωση παραπάνω, δηλαδή:
στην οστή γραμμή και στην στήλη τοποθετώ το παιδί .
Έτσι, η τομή της οστής γραμμής με την οστής στήλης, με , αντιστοιχίζεται στο χρώμα της κορδέλας που κρατάνε τα παιδιά και . Προφανώς, η τομή της οστής γραμμής με την οστής στήλη και η τομή της οστής γραμμής με την οστής στήλης θα πρέπει να έχουν το ίδιο νούμερο (και τα δύο συμβολίζουν το χρώμα της κορδέλας μεταξύ των ), αλλά από τον τρόπο που έβαλα τους αριθμούς στον πίνακα αυτό καλύπτεται.
Αν πάλι είναι , η τομή της οστής γραμμής με την οστή στήλη είναι το χρώμα του καπέλου που φορά το παιδί .
Είναι εύκολο τώρα να δούμε, ότι για κάθε μαθητή, το χρώμα του καπέλου που φορά είναι διαφορετικό από τα χρώματα των κορδελών που κρατά, τα οποία είναι επίσης διαφορετικά (ουσιαστικά αυτό σημαίνει ότι κάθε γραμμή και στήλη έχει διαφορετικούς αριθμούς).
Άρα, ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που χρειαζόμαστε είναι .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Ωραία!
Αυτή είναι ουσιαστικά η ιδέα. Τα συμμαζεύω λίγο:
Για το
για έχουμε
Για η δοθείσα ανισότητα ισχύει για κάθε
Είναι
και από BCS
αφού η τελευταία μετά από πράξεις καταλήγει στην
Για το
για
έχουμε, αφήνοντας ότι
Για η δοθείσα ανισότητα ισχύει για κάθε
Αρκεί να είναι
το οποίο ισχύει από BCS:
(η τελευταία μετά από πράξεις καταλήγει στην )
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Δεν το εχω καταλαβει αυτο. Σε ανισοτητες που πρεπει να βρουμε εμεις το φραγμα μπορουμε να βαζουμε οτι αριθμους μας βολευουν για να βρουμε το φραγμα?
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Ναι, υποθέτουμε ότι η ανισότητα ισχύει για κάθε Τότε θα ισχύει και για τις τιμές που επιλέγουμε εμείς.
Οπότε αναγκαία θα πρέπει π.χ.
Για να είναι π.χ. το 1 η καλύτερη σταθερά, πρέπει να δείξουμε ότι όταν η ανισότητα ισχύει.
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες