Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Μαρ 30, 2020 12:27 am

ΘΕΜΑ 1
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC ( AB=AC) και τα σημεία D,E των πλευρών AB,AC αντίστοιχα, ώστε AD=CE .
Αν M είναι το μέσο του CD και N το μέσο του AE , να αποδειχθεί ότι MN\perp BC.


ΘΕΜΑ 2
Ο Γιώργος λέει αλήθεια κάποιες μέρες της εβδομάδας και ψέμματα τις υπόλοιπες, ακολουθώντας το ίδιο μοτίβο κάθε εβδομάδα (λέει δηλαδή την αλήθεια τις ίδιες μέρες κάθε εβδομάδας και ψέματα τις υπόλοιπες).
Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας, ο Γιώργος είπε "αύριο θα πω ψέμματα" δύο μέρες και "αύριο δεν θα πω ψέμματα" πέντε μέρες.
Πόσα διαφορετικά μοτίβα υπάρχουν;


ΘΕΜΑ 3
Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο k υπάρχει θετικός ακέραιος n τέτοιος, ώστε ο αριθμός n2^k − 7 να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.


ΘΕΜΑ 4
Αν \displaystyle{\rm x,y,z>0} με \displaystyle{\rm x+y+z=xy+yz+zx} να αποδείξετε ότι

\displaystyle{\rm \mathcal{F}=\frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{z+y}+\frac{zx}{z+x}>1}

και να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης \mathcal{F}.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 30, 2020 5:58 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:27 am

ΘΕΜΑ 2
Ο Γιώργος λέει αλήθεια κάποιες μέρες της εβδομάδας και ψέμματα τις υπόλοιπες, ακολουθώντας το ίδιο μοτίβο κάθε εβδομάδα (λέει δηλαδή την αλήθεια τις ίδιες μέρες κάθε εβδομάδας και ψέματα τις υπόλοιπες).
Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας, ο Γιώργος είπε "αύριο θα πω ψέμματα" δύο μέρες και "αύριο δεν θα πω ψέμματα" πέντε μέρες.
Πόσα διαφορετικά μοτίβα υπάρχουν;
Δίνω τιμή +1 σε κάθε μέρα που είπε αλήθεια και -1 σε κάθε μέρα που έλεγε ψέματα.Επίσης δίνω -ως δεύτερη μεταβλητή- τιμή +1 δίνω στις μέρες που είπε ''αύριο δεν θα πω ψέματα'' και -1 στις μέρες που είπε ''αύριο θα πω ψέματα''.
Έστω \rm a,b,c,d,e,f,g οι απαντήσεις για τις 7 ημέρες-πρώτη μεταβλητή-.
Εύκολα βλέπουμε πως για την δεύτερη μεταβλητή οι τιμές θα είναι \rm ab,bc,cd,de,ef,fg,ga.
Οπότε τώρα 2 εκ των \rm ab,bc,cd,de,ef,fg,ga ισούνται με -1 και τα άλλα 5 με +1.
Μένει τώρα να ελέγξω αν υπάρχει τοποθέτηση των -1 που δημιουργεί άτοπο.Λόγω συμμετρίας και κυκλικότητας αρκεί να ελέγξω τις περιπτώσεις που μεταξύ των γινομένων -1 υπάρχουν 0,1,2 άλλα γινόμενα.Επισημαίνω πως \rm xy=1\Leftrightarrow x=y,xy=-1\Leftrightarrow x\neq y.
  • Αν ανάμεσα υπάρχουν 0 γινόμενα τότε χωρίς βλάβη θεωρώ \rm ab=-1,bc=-1,cd=df=fg=ga=1\Leftrightarrow a=c=d=e=f=g\neq b που δεν δίδει άτοπο.Εδώ έχουμε 7 τρόπους να επιλέξουμε τις δυάδες και 2 για το ποιες μεταβλητές θα πάρουν τιμή +1,-1.Άρα 14 τρόποι.

Όμοια βλέπουμε πως ούτε οι άλλες περιπτώσεις δίνουν άτοπο ( δηλαδή δεν οδηγούν σε σχέση \rm x=y\neq x) και κάθε μία δίνει 14 μοτίβα.

Σύνολο 14 \cdot 3=42 μοτίβα.

Ίσως το παίδεψα λίγο....


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 30, 2020 7:24 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:27 am

ΘΕΜΑ 4
Αν \displaystyle{\rm x,y,z>0} με \displaystyle{\rm x+y+z=xy+yz+zx} να αποδείξετε ότι

\displaystyle{\rm \mathcal{F}=\frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{z+y}+\frac{zx}{z+x}>1}

και να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης \mathcal{F}.
Θα δείξω πως  \rm F_{max}=\dfrac{3}{2} (το \dfrac{3}{2} δεν είναι αυθαίρετο ,είναι η τιμή του \rm F όταν \rm x=y=z και ικανοποιείται η συνθήκη) .

Είναι \displaystyle {\rm \sum \dfrac{xy}{x+y}- \sum \dfrac{xy}{ x+y+z}=\sum \dfrac{xyz}{(x+y+z)(x+y)}=\dfrac{xyz}{x+y+z}(\sum \dfrac {1}{x+y})}
\Leftrightarrow \rm F=\dfrac{\displaystyle \sum x}{\displaystyle \sum xy}+\dfrac{xyz}{x+y+z}\left (\displaystyle \sum \dfrac{1}{x+y}  \right )=1+\dfrac{xyz}{x+y+z}\left (\displaystyle \sum \dfrac{1}{x+y}  \right )
Αρκεί λοιπόν \rm \dfrac{xyz}{x+y+z}\left (\displaystyle \sum \dfrac{1}{x+y}  \right )\leq \dfrac{1}{2}.
Είναι \displaystyle {\rm \dfrac{1}{x+y}\leq \dfrac{x+y}{4xy}\Rightarrow \sum \dfrac{1}{x+y}\leq \sum \dfrac{x+y}{4xy}=\dfrac{\displaystyle \sum xy}{2xyz}}
Άρα \rm \dfrac{xyz}{x+y+z}\left (\displaystyle \sum \dfrac{1}{x+y} \right )\leq \dfrac{1}{2}\leq \dfrac{xyz}{x+y+z}\cdot \dfrac{\displaystyle \sum xy}{2xyz} =\dfrac{1}{2}

Το \rm F>1 είναι άμεσο από την δεύτερη σειρά αφού \rm F=1+thetikos


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Μαρ 30, 2020 11:29 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 5:58 pm
socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:27 am

ΘΕΜΑ 2
Ο Γιώργος λέει αλήθεια κάποιες μέρες της εβδομάδας και ψέμματα τις υπόλοιπες, ακολουθώντας το ίδιο μοτίβο κάθε εβδομάδα (λέει δηλαδή την αλήθεια τις ίδιες μέρες κάθε εβδομάδας και ψέματα τις υπόλοιπες).
Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας, ο Γιώργος είπε "αύριο θα πω ψέμματα" δύο μέρες και "αύριο δεν θα πω ψέμματα" πέντε μέρες.
Πόσα διαφορετικά μοτίβα υπάρχουν;
Δίνω τιμή +1 σε κάθε μέρα που είπε αλήθεια και -1 σε κάθε μέρα που έλεγε ψέματα.Επίσης δίνω -ως δεύτερη μεταβλητή- τιμή +1 δίνω στις μέρες που είπε ''αύριο δεν θα πω ψέματα'' και -1 στις μέρες που είπε ''αύριο θα πω ψέματα''.
Έστω \rm a,b,c,d,e,f,g οι απαντήσεις για τις 7 ημέρες-πρώτη μεταβλητή-.
Εύκολα βλέπουμε πως για την δεύτερη μεταβλητή οι τιμές θα είναι \rm ab,bc,cd,de,ef,fg,ga.
Οπότε τώρα 2 εκ των \rm ab,bc,cd,de,ef,fg,ga ισούνται με -1 και τα άλλα 5 με +1.
Μένει τώρα να ελέγξω αν υπάρχει τοποθέτηση των -1 που δημιουργεί άτοπο.Λόγω συμμετρίας και κυκλικότητας αρκεί να ελέγξω τις περιπτώσεις που μεταξύ των γινομένων -1 υπάρχουν 0,1,2 άλλα γινόμενα.Επισημαίνω πως \rm xy=1\Leftrightarrow x=y,xy=-1\Leftrightarrow x\neq y.
  • Αν ανάμεσα υπάρχουν 0 γινόμενα τότε χωρίς βλάβη θεωρώ \rm ab=-1,bc=-1,cd=df=fg=ga=1\Leftrightarrow a=c=d=e=f=g\neq b που δεν δίδει άτοπο.Εδώ έχουμε 7 τρόπους να επιλέξουμε τις δυάδες και 2 για το ποιες μεταβλητές θα πάρουν τιμή +1,-1.Άρα 14 τρόποι.

Όμοια βλέπουμε πως ούτε οι άλλες περιπτώσεις δίνουν άτοπο ( δηλαδή δεν οδηγούν σε σχέση \rm x=y\neq x) και κάθε μία δίνει 14 μοτίβα.

Σύνολο 14 \cdot 3=42 μοτίβα.

Ίσως το παίδεψα λίγο....
Ωραία ανάλυση!

Πιο απλά, αλλά η ίδια ιδέα:
Η φράση "αύριο θα πω ψέμματα" αλλάζει την κατάσταση της επόμενης μέρας , ενώ η φράση "αύριο δεν θα πω ψέμματα" όχι.
Άρα αρκεί να επιλέξουμε τις μέρες που είπε τη φράση "αύριο θα πω ψέμματα" και σε ποια από αυτές είπε αλήθεια και σε ποια ψέμματα.
Αυτό γίνεται με 7\times 6=42 τρόπους.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9183
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 31, 2020 11:40 am

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:27 am
ΘΕΜΑ 1
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC ( AB=AC) και τα σημεία D,E των πλευρών AB,AC αντίστοιχα, ώστε AD=CE .
Αν M είναι το μέσο του CD και N το μέσο του AE , να αποδειχθεί ότι MN\perp BC.
Έστω P το μέσο της BC και F το σημείο τομής των MN, BA. Θέτω CE=AD=x.
40-μικροί.png
40-μικροί.png (11.16 KiB) Προβλήθηκε 426 φορές
Μενέλαος στο ADC με διατέμνουσα \displaystyle \overline {MNF}, \displaystyle \frac{{DM}}{{MC}} \cdot \frac{{CN}}{{NA}} \cdot \frac{{AF}}{{FD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{CN}}{{NA}} = \frac{{FD}}{{AF}} \Leftrightarrow \frac{{x + \frac{{AE}}{2}}}{{\frac{{AE}}{2}}} = \frac{{AF + x}}{{AF}} \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{{2x}}{{AE}} + 1 = 1 + \frac{x}{{AF}} \Leftrightarrow AF = \frac{{AE}}{2} = \frac{{DB}}{2} = MP. Άρα το AFMP είναι παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Απρ 09, 2020 12:36 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:27 am

ΘΕΜΑ 3
Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο k υπάρχει θετικός ακέραιος n τέτοιος, ώστε ο αριθμός n2^k − 7 να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Έστω \rm n2^k − 7=m^2\Leftrightarrow n2^k=m^2+7 αρκεί λοιπόν να δείξω πως για κάθε \rm k φυσικό υπάρχει \rm m που είναι λύση της \rm m^2\equiv -7\pmod{2^k}.Αυτό όπως έπεται από την γνωστή πρόταση :
Η \rm x^2\equiv a\pmod{2^k},k\geq3 και \rm a περιττός είναι επιλύσιμη αν και μόνο αν a\equiv1\pmod{8}.(βλέπε εδώ σελίδα 2).
Αφού -7\equiv 1\pmod{8} και για \rm k=1,2 εύκολα βρίσκουμε λύση η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Απρ 11, 2020 11:37 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Πέμ Απρ 09, 2020 12:36 pm
socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:27 am

ΘΕΜΑ 3
Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο k υπάρχει θετικός ακέραιος n τέτοιος, ώστε ο αριθμός n2^k − 7 να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Έστω \rm n2^k − 7=m^2\Leftrightarrow n2^k=m^2+7 αρκεί λοιπόν να δείξω πως για κάθε \rm k φυσικό υπάρχει \rm m που είναι λύση της \rm m^2\equiv -7\pmod{2^k}.Αυτό όπως έπεται από την γνωστή πρόταση :
Η \rm x^2\equiv a\pmod{2^k},k\geq3 και \rm a περιττός είναι επιλύσιμη αν και μόνο αν a\equiv1\pmod{8}.(βλέπε εδώ σελίδα 2).
Αφού -7\equiv 1\pmod{8} και για \rm k=1,2 εύκολα βρίσκουμε λύση η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Ωραία!

Μια άλλη κατασκευή μπορεί να γίνει επαγωγικά! (Πώς;)


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες