XXXI Μαθηματική Γιορτή, θέματα 7ης τάξης.
Πρόβλημα 1. (*) Στον εικονογρίφο
αντικαταστήστε κάθε γράμμα στο αριστερό μέλος της εξίσωσης με ψηφίο ή σύμβολο αριθμητικής πράξης (ίδια γράμματα αντιστοιχούν σε ίδια ψηφία ή σύμβολα) έτσι, ώστε να προκύψει αληθής ισότητα. Είναι αρκετό να φέρεται ένα παράδειγμα, δεν ζητείται επεξήγηση.Πρόβλημα 2. Σε τετραγωνισμένο τετράδιο ήταν σχεδιασμένος ένας λαβύρινθος: τετράγωνο
(τα εξωτερικά τοιχώματα) με έξοδο πλάτους ενός τετραγώνου καθώς και εσωτερικά τοιχώματα κατά μήκους των γραμμών του πλέγματος. Στο σχήμα κρύψαμε από σας όλα τα εσωτερικά τοιχώματα. Σχεδιάστε το πως αυτά θα μπορούσαν να υπήρχαν, γνωρίζοντας, ότι οι αριθμοί, που βρίσκονται στα κελιά, δεικνύουν τον ελάχιστο αριθμό βημάτων που θα χρειάζονται για να εξέλθουμε από τον λαβύρινθο, ξεκινώντας από αυτό το κελί (το βήμα γίνεται σε διπλανό κατά πλευρά κελί, αν δεν διαχωρίζεται με τοίχωμα). Αρκεί ένα παράδειγμα, δεν ζητείται εξήγηση. (Μ.Α. Ευδοκίμοβ, Α.Β. Χατσατουριάν)- mmo_2020_class7_pr2.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές
Πρόβλημα 3. Πάνω στο τραπέζι βρίσκονται
μήλα (όχι απαραίτητα ίδιου βάρους). Η Σοφία τοποθέτησε από 
σε κάθε πιατέλα ζυγού ισορροπίας και ο ζυγός ισορρόπησε. Η Αλεξάνδρα τοποθέτησε τα ίδια μήλα διαφορετικά: 
μήλα στη μία πιατέλα και 
στην άλλη και ο ζυγός πάλι ισορρόπησε. Να αποδείξετε ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε στη μία πιατέλα ένα μήλο και στην άλλη δυο έτσι, ώστε ο ζυγός να ισορροπήσει. (Α.Β. Σαποβάλοβ)Πρόβλημα 4. Τρεις πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες μεταξύ τους και οι γωνίες που σχηματίζουν αυτές οι πλευρές είναι ίσες, με
και 
. Να βρείτε τις άλλες δυο γωνίες αυτού του τετράπλευρου. (Μ.Α. Βόλτσκεβιτς) Πρόβλημα 5. Στο δάσος ζουν
άγρια ζώα. Αλεπούδες, λύκοι, λαγοί και κάστορες. Κάθε χρόνο οργανώνουν πάρτι μασκέ: το καθένα φοράει μάσκα ζώου διαφορετικού είδους, εξάλλου δυο συνεχόμενα χρόνια δεν φοράνε την ίδια μάσκα. Δυο χρόνια πριν στο πάρτι υπήρχαν 
«αλεπούδες» και 
«λύκοι», πέρσι - 
«λαγοί», 
«αλεπούδες» και «κάστορες», φέτος «λαγοί» και 
«αλεπούδες». Ποιο είδος στο δάσος είναι το πιο πολυάριθμο; (Μ.Α.Χατσατουριάν)Πρόβλημα 6. Μπορεί άραγε το παρακάτω σχήμα («καμήλα») να διαμεριστεί
α) κατά τις γραμμές του πλέγματος
β) όχι απαραίτητα κατά τις γραμμές του πλέγματος
σε τρία κομμάτια, από τα οποία μπορεί να σχηματιστεί τετράγωνο; (Ι.Σ. Μαρκέλοβ, μαθητής 10ης τάξης)
- mmo_2020_class7_pr6.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές
(*) Έγινε «ελληνοποίηση» του προβλήματος και η δυσκολία του έχει αλλάξει. Αρχικά δινόταν «ЯЕМЗМЕЯ = 2020» (τρώμε φίδι). (Α.Α Ζασλάβσκϊ, Ο.Α.Ζασλάβσκϊι)
τα βάρη των μήλων με 
.Αν τα δύο μήλα που τοποθέτησε η Αλεξάνδρα και ισορρόπισαν με τα άλλα τέσσερα άνηκαν στο ίδια τριάδα 
τότε χωρίς βλάβη αν 
η 
δίδει άτοπο(επειδή 
)Άρα ανήκουν σε διαφορετική τριάδα.Έστω 
τότε οι 
με πρόσθεση και απλοποιήσεις δίνουν 
δηλαδή το ζητούμενο.
και 
.
και έχω:
Άλλη μια λύση είναι η: 
.