Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1194
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Απρ 03, 2020 11:54 pm

LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXXI Μαθηματική Γιορτή, θέματα 7ης τάξης.



Πρόβλημα 1. (*) Στον εικονογρίφο MEN\Omega \Sigma \Pi ITI=2020 αντικαταστήστε κάθε γράμμα στο αριστερό μέλος της εξίσωσης με ψηφίο ή σύμβολο αριθμητικής πράξης (ίδια γράμματα αντιστοιχούν σε ίδια ψηφία ή σύμβολα) έτσι, ώστε να προκύψει αληθής ισότητα. Είναι αρκετό να φέρεται ένα παράδειγμα, δεν ζητείται επεξήγηση.


Πρόβλημα 2. Σε τετραγωνισμένο τετράδιο ήταν σχεδιασμένος ένας λαβύρινθος: τετράγωνο 5 \times 5 (τα εξωτερικά τοιχώματα) με έξοδο πλάτους ενός τετραγώνου καθώς και εσωτερικά τοιχώματα κατά μήκους των γραμμών του πλέγματος. Στο σχήμα κρύψαμε από σας όλα τα εσωτερικά τοιχώματα. Σχεδιάστε το πως αυτά θα μπορούσαν να υπήρχαν, γνωρίζοντας, ότι οι αριθμοί, που βρίσκονται στα κελιά, δεικνύουν τον ελάχιστο αριθμό βημάτων που θα χρειάζονται για να εξέλθουμε από τον λαβύρινθο, ξεκινώντας από αυτό το κελί (το βήμα γίνεται σε διπλανό κατά πλευρά κελί, αν δεν διαχωρίζεται με τοίχωμα). Αρκεί ένα παράδειγμα, δεν ζητείται εξήγηση. (Μ.Α. Ευδοκίμοβ, Α.Β. Χατσατουριάν)
mmo_2020_class7_pr2.png
mmo_2020_class7_pr2.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές


Πρόβλημα 3. Πάνω στο τραπέζι βρίσκονται 6 μήλα (όχι απαραίτητα ίδιου βάρους). Η Σοφία τοποθέτησε από 3 σε κάθε πιατέλα ζυγού ισορροπίας και ο ζυγός ισορρόπησε. Η Αλεξάνδρα τοποθέτησε τα ίδια μήλα διαφορετικά: 2 μήλα στη μία πιατέλα και 4 στην άλλη και ο ζυγός πάλι ισορρόπησε. Να αποδείξετε ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε στη μία πιατέλα ένα μήλο και στην άλλη δυο έτσι, ώστε ο ζυγός να ισορροπήσει. (Α.Β. Σαποβάλοβ)


Πρόβλημα 4. Τρεις πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες μεταξύ τους και οι γωνίες που σχηματίζουν αυτές οι πλευρές είναι ίσες, με 90^{0} και 150^{0}. Να βρείτε τις άλλες δυο γωνίες αυτού του τετράπλευρου. (Μ.Α. Βόλτσκεβιτς)


Πρόβλημα 5. Στο δάσος ζουν 40 άγρια ζώα. Αλεπούδες, λύκοι, λαγοί και κάστορες. Κάθε χρόνο οργανώνουν πάρτι μασκέ: το καθένα φοράει μάσκα ζώου διαφορετικού είδους, εξάλλου δυο συνεχόμενα χρόνια δεν φοράνε την ίδια μάσκα. Δυο χρόνια πριν στο πάρτι υπήρχαν 12 «αλεπούδες» και 28 «λύκοι», πέρσι - 15 «λαγοί», 10 «αλεπούδες» και 15 «κάστορες», φέτος 15 «λαγοί» και 25 «αλεπούδες». Ποιο είδος στο δάσος είναι το πιο πολυάριθμο; (Μ.Α.Χατσατουριάν)


Πρόβλημα 6. Μπορεί άραγε το παρακάτω σχήμα («καμήλα») να διαμεριστεί

α) κατά τις γραμμές του πλέγματος
β) όχι απαραίτητα κατά τις γραμμές του πλέγματος

σε τρία κομμάτια, από τα οποία μπορεί να σχηματιστεί τετράγωνο; (Ι.Σ. Μαρκέλοβ, μαθητής 10ης τάξης)

mmo_2020_class7_pr6.png
mmo_2020_class7_pr6.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές


(*) Έγινε «ελληνοποίηση» του προβλήματος και η δυσκολία του έχει αλλάξει. Αρχικά δινόταν «ЯЕМЗМЕЯ = 2020» (τρώμε φίδι). (Α.Α Ζασλάβσκϊ, Ο.Α.Ζασλάβσκϊι)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 04, 2020 1:21 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 11:54 pm

Πρόβλημα 3. Πάνω στο τραπέζι βρίσκονται 6 μήλα (όχι απαραίτητα ίδιου βάρους). Η Σοφία τοποθέτησε από 3 σε κάθε πιατέλα ζυγού ισορροπίας και ο ζυγός ισορρόπησε. Η Αλεξάνδρα τοποθέτησε τα ίδια μήλα διαφορετικά: 2 μήλα στη μία πιατέλα και 4 στην άλλη και ο ζυγός πάλι ισορρόπησε. Να αποδείξετε ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε στη μία πιατέλα ένα μήλο και στην άλλη δυο έτσι, ώστε ο ζυγός να ισορροπήσει. (Α.Β. Σαποβάλοβ)
Έστω \rm a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 τα βάρη των μήλων με \rm a_1+a_2+a_3=a_4+a_5+a_6\,\,(*).Αν τα δύο μήλα που τοποθέτησε η Αλεξάνδρα και ισορρόπισαν με τα άλλα τέσσερα άνηκαν στο ίδια τριάδα \rm (a_1,a_2,a_3),(a_4,a_5,a_6) τότε χωρίς βλάβη αν \rm a_1+a_2=a_3+a_4+a_5+a_6 η (*) δίδει άτοπο(επειδή \rm a_i>0)Άρα ανήκουν σε διαφορετική τριάδα.Έστω \rm a_1+a_4=a_2+a_3+a_5+a_6 (**) τότε οι (*),(**) με πρόσθεση και απλοποιήσεις δίνουν \rm a_1=a_5+a_6 δηλαδή το ζητούμενο.


stamas1
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 19, 2019 5:43 pm

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stamas1 » Σάβ Απρ 04, 2020 3:47 pm

Για το 1
(2+3)\cdot 404=2020
Δεν ξέρω αν αυτό πιάνεται..


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1194
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Απρ 04, 2020 4:27 pm

stamas1 έγραψε:
Σάβ Απρ 04, 2020 3:47 pm
Για το 1
(2+3)\cdot 404=2020
Δεν ξέρω αν αυτό πιάνεται..
Όχι, η παρένθεση δεν αποτελεί πράξη. Αριθμητικές πράξεις και τα σύμβολά τους στα πλαίσια του προβλήματος είναι οί +, -, \times και  \div .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 04, 2020 5:42 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 11:54 pm
LXXXIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXXI Μαθηματική Γιορτή, θέματα 7ης τάξης.



Πρόβλημα 1. (*) Στον εικονογρίφο MEN\Omega \Sigma \Pi ITI=2020 αντικαταστήστε κάθε γράμμα στο αριστερό μέλος της εξίσωσης με ψηφίο ή σύμβολο αριθμητικής πράξης (ίδια γράμματα αντιστοιχούν σε ίδια ψηφία ή σύμβολα) έτσι, ώστε να προκύψει αληθής ισότητα. Είναι αρκετό να φέρεται ένα παράδειγμα, δεν ζητείται επεξήγηση.
Αντιστοιχίζω \displaystyle M = 2,E = 0,N = 1,\Omega  = 4,\Sigma  =  + ,\Pi  = 3,I = 6,T =\div και έχω:

2014+36\div 6=2020


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1194
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Απρ 04, 2020 10:04 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Απρ 04, 2020 5:42 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Απρ 03, 2020 11:54 pm


Πρόβλημα 1. (*) Στον εικονογρίφο MEN\Omega \Sigma \Pi ITI=2020 αντικαταστήστε κάθε γράμμα στο αριστερό μέλος της εξίσωσης με ψηφίο ή σύμβολο αριθμητικής πράξης (ίδια γράμματα αντιστοιχούν σε ίδια ψηφία ή σύμβολα) έτσι, ώστε να προκύψει αληθής ισότητα. Είναι αρκετό να φέρεται ένα παράδειγμα, δεν ζητείται επεξήγηση.
Αντιστοιχίζω \displaystyle M = 2,E = 0,N = 1,\Omega  = 4,\Sigma  =  + ,\Pi  = 3,I = 6,T =\div και έχω:

2014+36\div 6=2020
:coolspeak: Άλλη μια λύση είναι η: 608+4 \times 353 = 2020.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες