Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 1
α) Βρείτε όλους τους πρώτους p, q, r τέτοιους ώστε 3 \nmid p+q+r και οι αριθμοί p+q+r και pq+qr+rp+3 να είναι τέλεια τετράγωνα.
β) Υπάρχουν πρώτοι p, q, r τέτοιοι ώστε 3 \mid p+q+r και οι αριθμοί p+q+r και pq+qr+rp+3 να είναι τέλεια τετράγωνα;


ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το σύνολο M=\{1,2,3,...,n\}.
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του n για την οποία υπάρχουν σύνολα X,Y τέτοια ώστε X\cup Y=M, \ X\cap Y=\emptyset , και κανένα από αυτά δεν περιέχει την μέση τιμή δύο οποιονδήποτε στοιχείων του.
Για την τιμή του n που θα βρείτε, να προσδιορίσετε το πλήθος των συνόλων X,Y.


ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}

όταν τα x και y διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.


ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο ABC, το έγκεντρό του I, το σημείο επαφής D του εγγεγραμμένου κύκλου με την BC και τη διχοτόμο του AE.
Αν M το μέσο του τόξου BC του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το A, και \{F\} = DI ∩ AM, να αποδείξετε ότι η ευθεία MI διέρχεται από το μέσο του τμήματος EF.


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Απρ 05, 2020 5:18 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 1
α) Βρείτε όλους τους πρώτους p, q, r τέτοιους ώστε 3 \nmid p+q+r και οι αριθμοί p+q+r και pq+qr+rp+3 να είναι τέλεια τετράγωνα.
β) Υπάρχουν πρώτοι p, q, r τέτοιοι ώστε 3 \mid p+q+r και οι αριθμοί p+q+r και pq+qr+rp+3 να είναι τέλεια τετράγωνα;
Ισχυρισμός:

Αν \rm p,q,r πρώτοι και \rm p+q+r,pq+qr+pr+3 ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα τότε (τουλάχιστον) ένας εκ των \rm p,q,r ισούται με 2.
Απόδειξη:

Έστω προς άτοπο ότι \rm p,q,r\neq 2.Τότε \rm p,q,r \equiv 1,-1 \pmod{4}.Άρα για να είναι \rm p+q+r τέλειο τετράγωνο πρέπει \rm p+q+r \equiv 1 \pmod{4}.Αν ήταν \rm p \equiv 1\pmod{4} τότε πρέπει \rm q+r\equiv 0\pmod{4} άρα έστω \rm q\equiv 1\pmod{4},r\equiv -1\pmod{4} (ή το αντίστροφο,δεν έχει σημασία).Τότε όμως είναι \rm pq+qr+pr+3\equiv 1-1-1+3\equiv 2\pmod{4} άτοπο αφού το 2 δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο \pmod{4}.Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο όταν \rm p \equiv -1\pmod{4}
Στην άσκηση τώρα:
α) Από τον ισχυρισμό έστω \rm p=2.Έστω \rm q,r\neq 3.Πρέπει \rm p+q+r\equiv 1\pmod{3} άρα \rm q+r \equiv 2\pmod{3} άρα \rm q\equiv r\equiv 1\pmod{3} (αφού \rm q,r\equiv 1,-1\pmod{3}.Τότε όμως \rm pq+qr+pr+3\equiv 2+2+1+3\equiv 2\pmod{3} άτοπο αφού το 2 δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο \pmod{3}.
Πρέπει λοιπόν \rm q=3\rm r=3,δεν έχει σχέση) και έτσι \rm 6+2r+3r+3=k^2 \Leftrightarrow 5r=(k-3)(k+3) με \rm k φυσικό.Επειδή το αριστερό μέλος είναι γινόμενο πρώτων έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
\rm k+3=5r,k-3=1\Rightarrow 7=5r άτοπο.
\rm k+3=r,k-3=5\Rightarrow r=11
\rm k-3=r,k+3=5\Rightarrow r< 0 άτοπο.
Άρα λύση η \rm (p,q,r)=(2,3,11) και οι αναδιατάξεις.
β)Ναι υπάρχουν \rm (p,q,r)=(2,11,23) (χρησιμοποιούμε τον ισχυρισμό και σχέσεις \pmod οπότε με δοκιμές καταλήγουμε σε αυτή)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9208
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 05, 2020 6:44 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}

όταν τα x και y διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.
Βρίσκω \displaystyle 1 \le K \le \frac{9}{8}, αλλά η λύση μου είναι μάλλον πολύπλοκη για "μικρούς". Θα περιμένω να δω κάτι άλλο πριν την αναρτήσω.

edit: Άρση απόκρυψης. Ίδια λύση με τον Θάνο.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Απρ 05, 2020 7:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Απρ 05, 2020 6:58 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}

όταν τα x και y διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.
Το ελάχιστο είναι το \displaystyle{1} ως άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και πιάνεται όταν \displaystyle{x=y.}

Πάμε στο μέγιστο: Παρατηρούμε ότι η παράσταση γράφεται

\displaystyle{1+\frac{xy}{x^2+y^2}-2\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)^2=-2t^2+t+1} με \displaystyle{t\in \left(0,\frac{1}{2}\right].}

Πρόκειται για παραβολή που πιάνει το μέγιστό της στο \displaystyle{t_0=\frac{1}{4}}.

Άρα η μέγιστη τιμή είναι η

\displaystyle{-2\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}+1=\frac{9}{8}.}


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 05, 2020 7:24 pm

matha έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 6:58 pm
socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}

όταν τα x και y διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.
Το ελάχιστο είναι το \displaystyle{1} ως άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και πιάνεται όταν \displaystyle{x=y.}

Πάμε στο μέγιστο: Παρατηρούμε ότι η παράσταση γράφεται

\displaystyle{1+\frac{xy}{x^2+y^2}-2\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)^2=-2t^2+t+1} με \displaystyle{t\in \left(0,\frac{1}{2}\right].}

Πρόκειται για παραβολή που πιάνει το μέγιστό της στο \displaystyle{t_0=\frac{1}{4}}.

Άρα η μέγιστη τιμή είναι η

\displaystyle{-2\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}+1=\frac{9}{8}.}
Κάτι δεν πάει καλά.
(υποθέτω ότι δεν μπορεί να γίνει \displaystyle{t_0=\frac{1}{4}})

Το ότι δεν πάει καλά οφείλεται στο ότι το μέγιστο το βγάζω 2

\frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}\leq 2

είναι ισοδύναμη με την
x^4+y^4+x^3y+y^3x\leq 2(x^4+y^4+2x^2y^2)(1)
Αλλά από Holder είναι
x^3y+y^3x\leq (x^4+y^4)
Αρα η (1) ισχύει.

Η τιμή 2 δεν πιάνεται.
Το παρακάτω είναι λάθος οπότε το μέγιστο δεν είναι το 2
Για x σταθερό και y\rightarrow 0
βλέπουμε ότι το 2 δεν μπορεί να γίνει μικρότερο.
συμπλήρωμα.
Για x σταθερό και y\rightarrow 0 η παράσταση πάει στο 1
Ευχαριστώ τον Xriiiistos που μου το επισήμανε με π.μ


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1126
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Απρ 05, 2020 8:27 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am


ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}

όταν τα x και y διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.
Μια άλλη λίγο μπελαλίδικη λύση αλλά οδηγεί σε αποτέλεσμα, είναι να εκμεταλευτούμε το ότι ο αριθμητής και παρονομαστής είναι ομογενής παραστάσης 4 βαθμού συν το ότι η εξίσωση που προκύπτει είναι συμμετρική τετάρτου βαθμού.

Θέτουμε y=kx, και έστω ότι το δεδομένο κλασμα πάιρνει την τιμή a, τότε η εξίσωση

\dfrac{x^4+xy^3+y^3x+y^4}{x^4+2x^2y^2+y^4} = \dfrac{k^4+k^3+k+1}{k^4+2k^2+1} = a

θα πρέπει να έχει λύσεις ως προς k. Η εξίσωση αυτή γράφεται

k^4+k^3+k+1=ak^4+2ak^2+a \Leftrightarrow

(a-1)k^4-k^3+2ak^2-k+a-1 = 0 , διαιρούμε με k^2 και έχουμε

(a-1)k^2 +(a-1)\dfrac{1}{k^} -\left (k+\dfrac{1}{k} \right ) +2a =0 \Leftrightarrow

(a-1)\left ( \left (k+\dfrac{1}{k} \right)^2 -2 \right ) -\left (k+\dfrac{1}{k} \right ) +2a =0, θέτουμε k+\dfrac{1}{k} =t και έχουμε

(a-1)(t^2-2) -t +2a=0 \Leftrightarrow

(a-1)t^2-t+2=0

Για να έχει λύσεις η τελευταία θα πρέπει η διακρίνουσά της να είναι μη αρνητική, δηλαδή

D=1-4\cdot 2(a-1) \geq 0 \Rightarrow a \leq \dfrac{9}{8}

Επειδή k+\dfrac{1}{k} \geq 2 έχουμε τις επιπλέον συνθήκες οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 2. Επίσης να εξεταστεί η περίπτωση a=1 που μηδενίζει τον συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου ξεχωριστά. Οπότε πρέπει να εξετάσουμε και τις ανισότητες

t_{\pm} = \dfrac{1\pm \sqrt{9-8a}}{2(a-1)} \geq 2

Επιλύοντας τις οποίες και εξετάζoντας την περίπτωση a=1, βρίσκουμε ότι πρέπει a \geq 1.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Απρ 05, 2020 9:21 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο ABC, το έγκεντρό του I, το σημείο επαφής D του εγγεγραμμένου κύκλου με την BC και τη διχοτόμο του AE.
Αν M το μέσο του τόξου BC του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το A, και \{F\} = DI ∩ AM, να αποδείξετε ότι η ευθεία MI διέρχεται από το μέσο του τμήματος EF.
297.PNG
297.PNG (45.51 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές
Θεωρώ τα παράκεντρα \rm I_A,I_B,I_C.Η τετράδα \rm (A,E,I,I_A) είναι αρμονική άρα αρκεί \rm MI_A\parallel EF.
Έστω \rm AM\cap CB\equiv S.Στο \rm \Delta FSE το \rm I είναι ορθόκεντρο άρα \rm SI\perp FE.Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι \rm SI\perp MI_A.Για να ισχύει αυτό αρκεί \rm MI\perp I_AS καθώς τότε το \rm I θα ήταν ορθόκεντρο του \rm \Delta SMI_A.
Έστω \rm P\equiv BI_B\cap (A,B,C).Είναι γνωστό ότι \rm PI=PI_B.Είναι \rm \angle MCI=\dfrac{\angle C}{2}+\angle MCB-\angle C=90^{\circ}-\dfrac{BMC}{2}-\dfrac{\angle C}{2}=90^{\circ}-\dfrac{\angle A}{2}-\dfrac{\angle C}{2}=\dfrac{\angle B}{2}=\angle CMP άρα \rm II_C\parallel MP\Leftrightarrow MI_B=MI_C.Έτσι αν \rm Ix η παράλληλη από το \rm I στην \rm I_B,I_C (στο σχήμα η πορτοκαλί διακεκομμένη) τότε σχηματίζεται η αρμονική δέσμη \rm I(I_B,I_C,M,x.Επίσης και η δέσμη \rm I_A(S,E,B,C) είναι αρμονική.Παρατηρούμε πως οι δύο αυτές δέσμες έχουν κάθετα τα τρία ζεύγη ομόλογων ακτίνων τους άρα και το τέταρτο,δηλαδή τις \rm IM,I_AS και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1610
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 05, 2020 9:22 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης

\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2}

όταν τα x και y διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.
Καλησπέρα σε όλους. :) Βάζω μία ακόμα λύση (παρεμφερής με τις υπόλοιπες).

Προφανώς από Cauchy-Schwarz το ελάχιστο είναι 1.

Έστω τώρα x^2+y^2=M, xy=N, οπότε εύκολα προκύπτει ότι K=1+\dfrac{MN-2N^2}{M^2}.

Όμως, ισχύει ότι \dfrac{MN-2N^2}{M^2} \leqslant 1/8 (*), καθώς γράφεται ως (M-4N)^2 \geqslant 0, οπότε K \leqslant 9/8.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Απρ 06, 2020 2:10 pm

socrates έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο ABC, το έγκεντρό του I, το σημείο επαφής D του εγγεγραμμένου κύκλου με την BC και τη διχοτόμο του AE.
Αν M το μέσο του τόξου BC του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το A, και \{F\} = DI ∩ AM, να αποδείξετε ότι η ευθεία MI διέρχεται από το μέσο του τμήματος EF.
Θα αποδείξω το γενικότερο με μόνη διαφορά M τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου του BC.
Έστω AH ύψος του ABC και P μέσο της BC

T.E.37 (1).png
T.E.37 (1).png (330.24 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές


θεώρημα Μενέλαου στο AFE με διατέμνουσα την INM
\dfrac{NE}{NF}\cdot \dfrac{MF}{MA}\cdot \dfrac{IA}{IE}=1\Leftrightarrow \dfrac{NE}{NF}= \dfrac{MA}{MF}\cdot \dfrac{IE}{IA} (1)

Aπό Θ.Θαλή \dfrac{MA}{MF}=\dfrac{PH}{PD}=\dfrac{a/2-BH}{a/2-BD}=\dfrac{a-2ccosB}{a-2t+2b}=\dfrac{a-2c\cdot cosB}{b-c}

Aπό θ. διχοτόμου
\dfrac{IE}{IA}=\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{ca/(b+c)}{c}=\dfrac{a}{b+c}

θα δείξω ότι
\dfrac{MA}{MF}= \dfrac{IA}{IE}\Leftrightarrow \dfrac{a-2c\cdot cosB}{b-c}=\dfrac{b+c}{a}\Leftrightarrow b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca \cdot cosB
που ισχύει ως νόμος συνημιτώνων

άρα \dfrac{MA}{MF}\dfrac{IE}{IA}=1 και η (1) δίνει NE=NF

Y.Γ. Δίχως βλάβη δουλεύω σε τρίγωνο με b>c


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 309
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Απρ 06, 2020 2:37 pm

Μια σύντομη για την 4.
Παίρνοντας το συμμετρικό I_{A}' του I_{A} ως προς το M βλέπουμε λόγω ισοτομικότητας των A-Nagel,A-Gergonne πως I_{A}' \in EF και επομένως αρκεί EF//MI_{A}.Είναι όμως στο σχήμα του Προδρόμου AF/AM=AI/AT=AE/AI_{A} από συμμετρική αντιστροφή που δίνει το ζητούμενο


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες