Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
ΘΕΜΑ 1
α) Βρείτε όλους τους πρώτους τέτοιους ώστε και οι αριθμοί και να είναι τέλεια τετράγωνα.
β) Υπάρχουν πρώτοι τέτοιοι ώστε και οι αριθμοί και να είναι τέλεια τετράγωνα;
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το σύνολο .
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του για την οποία υπάρχουν σύνολα τέτοια ώστε , και κανένα από αυτά δεν περιέχει την μέση τιμή δύο οποιονδήποτε στοιχείων του.
Για την τιμή του που θα βρείτε, να προσδιορίσετε το πλήθος των συνόλων
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης
όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο , το έγκεντρό του , το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την και τη διχοτόμο του
Αν το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το και να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος
α) Βρείτε όλους τους πρώτους τέτοιους ώστε και οι αριθμοί και να είναι τέλεια τετράγωνα.
β) Υπάρχουν πρώτοι τέτοιοι ώστε και οι αριθμοί και να είναι τέλεια τετράγωνα;
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το σύνολο .
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του για την οποία υπάρχουν σύνολα τέτοια ώστε , και κανένα από αυτά δεν περιέχει την μέση τιμή δύο οποιονδήποτε στοιχείων του.
Για την τιμή του που θα βρείτε, να προσδιορίσετε το πλήθος των συνόλων
ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης
όταν τα και διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών.
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο , το έγκεντρό του , το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την και τη διχοτόμο του
Αν το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του, που περιέχει το και να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Ισχυρισμός:
Αν πρώτοι και ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα τότε (τουλάχιστον) ένας εκ των ισούται με .
Απόδειξη:
Έστω προς άτοπο ότι .Τότε .Άρα για να είναι τέλειο τετράγωνο πρέπει .Αν ήταν τότε πρέπει άρα έστω (ή το αντίστροφο,δεν έχει σημασία).Τότε όμως είναι άτοπο αφού το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο .Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο όταν
Στην άσκηση τώρα:
α) Από τον ισχυρισμό έστω .Έστω .Πρέπει άρα άρα (αφού .Τότε όμως άτοπο αφού το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο .
Πρέπει λοιπόν (ή ,δεν έχει σχέση) και έτσι με φυσικό.Επειδή το αριστερό μέλος είναι γινόμενο πρώτων έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
άτοπο.
άτοπο.
Άρα λύση η και οι αναδιατάξεις.
β)Ναι υπάρχουν (χρησιμοποιούμε τον ισχυρισμό και σχέσεις οπότε με δοκιμές καταλήγουμε σε αυτή)
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Βρίσκω αλλά η λύση μου είναι μάλλον πολύπλοκη για "μικρούς". Θα περιμένω να δω κάτι άλλο πριν την αναρτήσω.
edit: Άρση απόκρυψης. Ίδια λύση με τον Θάνο.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Απρ 05, 2020 7:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Το ελάχιστο είναι το ως άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και πιάνεται όταν
Πάμε στο μέγιστο: Παρατηρούμε ότι η παράσταση γράφεται
με
Πρόκειται για παραβολή που πιάνει το μέγιστό της στο .
Άρα η μέγιστη τιμή είναι η
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Κάτι δεν πάει καλά.
(υποθέτω ότι δεν μπορεί να γίνει )
Το ότι δεν πάει καλά οφείλεται στο ότι το μέγιστο το βγάζω
είναι ισοδύναμη με την
(1)
Αλλά από Holder είναι
Αρα η (1) ισχύει.
Η τιμή δεν πιάνεται.
Το παρακάτω είναι λάθος οπότε το μέγιστο δεν είναι το
Για σταθερό και
βλέπουμε ότι το δεν μπορεί να γίνει μικρότερο.
συμπλήρωμα.
Για σταθερό και η παράσταση πάει στο
Ευχαριστώ τον Xriiiistos που μου το επισήμανε με π.μ
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Μια άλλη λίγο μπελαλίδικη λύση αλλά οδηγεί σε αποτέλεσμα, είναι να εκμεταλευτούμε το ότι ο αριθμητής και παρονομαστής είναι ομογενής παραστάσης βαθμού συν το ότι η εξίσωση που προκύπτει είναι συμμετρική τετάρτου βαθμού.
Θέτουμε , και έστω ότι το δεδομένο κλασμα πάιρνει την τιμή , τότε η εξίσωση
θα πρέπει να έχει λύσεις ως προς . Η εξίσωση αυτή γράφεται
, διαιρούμε με και έχουμε
, θέτουμε και έχουμε
Για να έχει λύσεις η τελευταία θα πρέπει η διακρίνουσά της να είναι μη αρνητική, δηλαδή
Επειδή έχουμε τις επιπλέον συνθήκες οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του . Επίσης να εξεταστεί η περίπτωση που μηδενίζει τον συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου ξεχωριστά. Οπότε πρέπει να εξετάσουμε και τις ανισότητες
Επιλύοντας τις οποίες και εξετάζoντας την περίπτωση , βρίσκουμε ότι πρέπει .
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Θεωρώ τα παράκεντρα .Η τετράδα είναι αρμονική άρα αρκεί .
Έστω .Στο το είναι ορθόκεντρο άρα .Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι .Για να ισχύει αυτό αρκεί καθώς τότε το θα ήταν ορθόκεντρο του .
Έστω .Είναι γνωστό ότι .Είναι άρα .Έτσι αν η παράλληλη από το στην (στο σχήμα η πορτοκαλί διακεκομμένη) τότε σχηματίζεται η αρμονική δέσμη .Επίσης και η δέσμη είναι αρμονική.Παρατηρούμε πως οι δύο αυτές δέσμες έχουν κάθετα τα τρία ζεύγη ομόλογων ακτίνων τους άρα και το τέταρτο,δηλαδή τις και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Καλησπέρα σε όλους. Βάζω μία ακόμα λύση (παρεμφερής με τις υπόλοιπες).
Προφανώς από Cauchy-Schwarz το ελάχιστο είναι .
Έστω τώρα , οπότε εύκολα προκύπτει ότι .
Όμως, ισχύει ότι (*), καθώς γράφεται ως , οπότε .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Θα αποδείξω το γενικότερο με μόνη διαφορά τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου του .
Έστω ύψος του και μέσο της
θεώρημα Μενέλαου στο με διατέμνουσα την
(1)
Aπό Θ.Θαλή
Aπό θ. διχοτόμου
θα δείξω ότι
που ισχύει ως νόμος συνημιτώνων
άρα και η (1) δίνει
Y.Γ. Δίχως βλάβη δουλεύω σε τρίγωνο με
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Μια σύντομη για την 4.
Παίρνοντας το συμμετρικό του ως προς το βλέπουμε λόγω ισοτομικότητας των πως και επομένως αρκεί .Είναι όμως στο σχήμα του Προδρόμου από συμμετρική αντιστροφή που δίνει το ζητούμενο
Παίρνοντας το συμμετρικό του ως προς το βλέπουμε λόγω ισοτομικότητας των πως και επομένως αρκεί .Είναι όμως στο σχήμα του Προδρόμου από συμμετρική αντιστροφή που δίνει το ζητούμενο
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Το Πρόβλημα 1 είναι και το Πρόβλημα 2 του JBMO Test επιλογής της Τουρκίας το 2013.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 19p3082188
https://artofproblemsolving.com/communi ... 19p3082188
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες