Έστω μία συνάρτηση Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:
- και
Bonus: Βρείτε όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες
ΘΕΜΑ 2
Για όλους τους θετικούς ακεραίους να δείξετε ότι:
ΘΕΜΑ 3
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο με . Τα σημεία και είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές και , αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο τέμνει την στο . Η ευθεία που είναι παράλληλη στην και διέρχεται από το τέμνει την στο . Να αποδείξετε ότι η είναι κάθετη στη διάμεσο από το του τριγώνου .
ΘΕΜΑ 4
Προσδιορίστε αν είναι δυνατό να διατάξουμε τους αριθμούς έτσι ώστε να υπάρχουν αριθμοί μεταξύ δύο , όταν
i)
ii)
iii)
(Για παράδειγμα, για , είναι μια τέτοια διάταξη.)
To πρόβλημα 1 είναι κατασκευασμένο από τον Ορέστη.
Τα θέματα 2 και 4 προτείνει ο ksofsa.