Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη διαφορετικών θετικών ακεραίων (m, n)

για τα οποία ο αριθμός m!n!

είναι τέλειο τετράγωνο.

ΘΕΜΑ 2
Έστω

το σύνολο όλων των επταψήφιων θετικών ακεραίων που αποτελούνται από τα ψηφία 1, 3, 4, 6, 7, 8 , 9

χωρίς να επαναλαμβάνεται κανένα από αυτά.
(α) Να προσδιορίσετε την ελάχιστη θετική διαφορά

δύο διαφορετικών στοιχείων του

(β) Να προσδιορίσετε το πλήθος των ζευγών (x,y)

με $x, \ y \in M$ για τα οποία x - y = d.

ΘΕΜΑ 3
Έστω $a, b, c \geq 0$ με ab + bc + ca = 3.

Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{a}{a^2 + 7}+\frac{b}{b^2 + 7}+\frac{c}{c^2 + 7} \leq \frac{3}{8}.}$

ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

με

και

σημείο της πλευράς BC.

Έστω

και

οι προβολές του

στις πλευρές

και

αντίστοιχα. Έστω ακόμη

το σημείο τομής των ευθειών

και

το σημείο τομής των

και

Να αποδείξετε ότι η ευθεία

είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle NMP.$

#2

socrates έγραψε: Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm ΘΕΜΑ 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη διαφορετικών θετικών ακεραίων για τα οποία ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.

Για οποιονδήποτε φυσικό

παίρνουμε

. Τότε $\displaystyle{m!n!=m(m-1)!n!=mn!n!=k^2(n!)^2=(kn!)^2}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο με και σημείο της πλευράς Έστω και οι προβολές του στις πλευρές και αντίστοιχα. Έστω ακόμη το σημείο τομής των ευθειών και και το σημείο τομής των και
Να αποδείξετε ότι η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle NMP.$

: 299.PNG (24.85 KiB) Προβλήθηκε 2642 φορές

Με θεώρημα Μενελάου στα $\rm \Delta NPC.\Delta ANC$ με διατέμνουσες $\rm \overline{QRA},\overline{BQP}$ αντίστοιχα παίρνω:
$\rm \dfrac{NR}{PR}\cdot \dfrac{AP}{AC}\cdot \dfrac{QC}{QN}=1\Leftrightarrow \dfrac{QC}{QN}=\dfrac{AC\cdot RP}{AP\cdot NR}\,\,(1)$
$\rm \dfrac{QC}{QN}\cdot \dfrac{BN}{AB}\cdot \dfrac{PA}{PC}=1\Leftrightarrow \dfrac{QC}{QN}=\dfrac{AB\cdot PC}{BN\cdot AP}\,\,(2)$
Οι (1),(2)

δίνουν $\rm \dfrac{AB\cdot PC}{BN\cdot AP}=\dfrac{AC\cdot RP}{AP\cdot NR}\overset{AC=AB}{\Leftrightarrow }\dfrac{PR}{NR}=\dfrac{PC}{BN}\overset{\Delta MCP\sim \Delta MBN}{=}\dfrac{MP}{MN}$ και το ζητούμενο έπεται.

ksofsa · #4

Καλησπέρα!

Μια λύση για το θέμα 3:

$\sum \dfrac{a}{a^2+7}=\sum \dfrac{a}{(a+b)(a+c)+4}\leq \dfrac{1}{4}\sum \dfrac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq$

$\leq \dfrac{1}{8}\sum (\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c})=\dfrac{3}{8}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

socrates έγραψε: Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm
ΘΕΜΑ 2
Έστω το σύνολο όλων των επταψήφιων θετικών ακεραίων που αποτελούνται από τα ψηφία χωρίς να επαναλαμβάνεται κανένα από αυτά.
(α) Να προσδιορίσετε την ελάχιστη θετική διαφορά δύο διαφορετικών στοιχείων του
(β) Να προσδιορίσετε το πλήθος των ζευγών με $x, \ y \in M$ για τα οποία

α) Οι

διαφέρουν κατά

Αν δύο αριθμοί $\rm x,y \in M$ έχουν κοινά τα πρώτα (από αριστερά)

ψηφία αλλά όχι τις εκατοντάδες τότε με $\rm x=\overline{..a_1b_1c_1},y=\overline{..a_2b_2c_2},a_1>a_2$ είναι $\rm x-y=100(a_1-a_2)+10(b_1-b_2)+(c_2-c_1)> 100+10(1-9)+(2-8)=100-80-6>9$ .Όμοια αν έχουν κοινά τα πρώτα

αλλά όχι τις χιλιάδες κλπ.
Οπότε την μικρότερη διαφορά θα έχουμε όταν έχουν κοινά τα πρώτα

και κατά συνέπεια οι δεκάδες και οι μονάδες θα είναι αντεστραμένες ,οπότε η διαφορά τους θα είναι της μορφής $\rm \overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b)\geq 9$ .Συνεπώς $\rm d=9$ .
β)Τα ζευγάρια ψηφίων της μορφής $\rm a,a+1$ είναι τα $\rm (3,4),(6,7),(8,9)$ .Για κάθε ζεύγος αριθμών που έχουν κοινά τα πρώτα πέντε και τις δεκάδες,μονάδες αντεστραμένες τα άλλα πέντε μπορούν να μπουν με

διαφορετικούς τρόπους και έτσι συνολικά $3\cdot 5!=360$ ζεύγη.

#6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Σάβ Απρ 11, 2020 2:04 pm
socrates έγραψε: Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm
ΘΕΜΑ 2
Έστω το σύνολο όλων των επταψήφιων θετικών ακεραίων που αποτελούνται από τα ψηφία χωρίς να επαναλαμβάνεται κανένα από αυτά.
(α) Να προσδιορίσετε την ελάχιστη θετική διαφορά δύο διαφορετικών στοιχείων του
(β) Να προσδιορίσετε το πλήθος των ζευγών με $x, \ y \in M$ για τα οποία

α) Οι διαφέρουν κατά Αν δύο αριθμοί $\rm x,y \in M$ έχουν κοινά τα πρώτα (από αριστερά) ψηφία αλλά όχι τις εκατοντάδες τότε με $\rm x=\overline{..a_1b_1c_1},y=\overline{..a_2b_2c_2},a_1>a_2$ είναι $\rm x-y=100(a_1-a_2)+10(b_1-b_2)+(c_2-c_1)> 100+10(1-9)+(2-8)=100-80-6>9$ .Όμοια αν έχουν κοινά τα πρώτα αλλά όχι τις χιλιάδες κλπ.
Οπότε την μικρότερη διαφορά θα έχουμε όταν έχουν κοινά τα πρώτα και κατά συνέπεια οι δεκάδες και οι μονάδες θα είναι αντεστραμμένες ,οπότε η διαφορά τους θα είναι της μορφής $\rm \overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b)\geq 9$ .Συνεπώς $\rm d=9$ .
β)Τα ζευγάρια ψηφίων της μορφής $\rm a,a+1$ είναι τα $\rm (3,4),(6,7),(8,9)$ .Για κάθε ζεύγος αριθμών που έχουν κοινά τα πρώτα πέντε και τις δεκάδες,μονάδες αντεστραμμένες τα άλλα πέντε μπορούν να μπουν με διαφορετικούς τρόπους και έτσι συνολικά $3\cdot 5!=360$ ζεύγη.

Ωραία!

Στο (α), αφού οι αριθμοί του Μ είναι ισοϋπόλοιποι $\pmod 9$ αφού έχουν ίδιο άθροισμα ψηφίων, θα είναι $d\geq 9.$

Στο (β), μπορεί να έχουμε και κρατούμενο... Οπότε τα τελευταία ψηφία των x,y

(κοιτώντας την x=y+9

) μπορεί να είναι
$3 \ \& \ 4$ ή $6 \ \& \ 7$ ή $7 \ \& \ 8$ ή $8 \ \& \ 9$
Οπότε συνολικά $5! \cdot 4=480.$

#7

socrates έγραψε: Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm ΘΕΜΑ 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη διαφορετικών θετικών ακεραίων για τα οποία ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.

Άλλη μια που μου άρεσε:

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειρες τριάδες θετικών ακεραίων (x,y,z)

με

για τις οποίες $\displaystyle{x!y! = z!.}$

JimNt. · #8

#9

socrates έγραψε: Παρ Απρ 10, 2020 11:33 pm
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τρίγωνο με και σημείο της πλευράς

Έστω και οι προβολές του στις πλευρές και

αντίστοιχα. Έστω ακόμη το σημείο τομής των ευθειών και και το σημείο τομής των και

Να αποδείξετε ότι η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle NMP.$

: Test_45_μικροί.png (28.03 KiB) Προβλήθηκε 2468 φορές

Οι γωνίες $\widehat {{\omega _{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{\theta _{}}}$ είναι ίσες ως συμπληρώματα των ίσων παρά τη βάση

γωνιών του ισοσκελούς $\vartriangle ABC$ .

Δηλαδή η

είναι εξωτερική διχοτόμος του $\vartriangle MNP$ . Ας είναι

το σημείο τομής των ευθειών $CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PN$ .

Η πολική του

ως προς τις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ είναι η ευθεία : $\overline {ARQ}$ ( κατασκευή πολικής).

Θα είναι λοιπόν , η δέσμη $A\left( {S,R\backslash N,P} \right)$ αρμονική και άρα και η δέσμη $M\left( {S,R\backslash N,P} \right)$ αρμονική ,

οπότε η

είναι εσωτερική διχοτόμος του $\vartriangle MNP$ .

Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (45), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση