Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020
Μαθητική Ολυμπιάδα Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου Αγίας Πετρούπολης.
Θέματα 10 και 11ης τάξης, 2020.
1. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος φυσικών αριθμών από το έως το που μπορούμε να βάψουμε με κυανό χρώμα έτσι, ώστε για οποιοδήποτε κυανό ο αριθμός να μην είναι κυανός;
2. Δίνονται οι αριθμοί . Να βρείτε την μέγιστη τιμή της παράστασης
.
3. Στη διαγώνιο παραλληλογράμμου δίνεται σημείο , που δεν ανήκει στην διαγώνιο . Στην ημιευθεία δίνεται σημείο , ώστε . Από το σημείο φέρουμε παράλληλη ευθεία προς την πλευρά , η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο . Επίσης από το σημείο φέρουμε ευθεία, παράλληλη προς την πλευρά , η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να βρείτε την γωνία .
4. Στο οκταδικό σύστημα δίνεται ο αριθμός , όπου το τριψήφιο κομμάτι επαναλαμβάνεται φορές. Ο οκταδικός αριθμός προκύπτει από τον με κάποια μετάθεση των ψηφίων του. Προέκυψε, η οκταδική αναπαράσταση του αριθμού να είναι ίση με . Για ποια αυτό είναι δυνατόν;
5. Στο σχολείο υπάρχουν μαθητές. Μια όμορφη μέρα μερικοί από αυτούς χαιρετήθηκαν μεταξύ τους με χειραψία, εξάλλου σε οποιαδήποτε τριάδα μαθητών τουλάχιστον δυο δεν χαιρετήθηκαν. Για ποιο μέγιστο μπορεί να προκύψει, ότι για οποιοδήποτε , που δεν υπερβαίνει το , θα βρεθεί μαθητής, που έχει χαιρετηθεί ακριβώς με μαθητές;
6. Δυο κανονικές τριγωνικές πυραμίδες έχουν κοινή παράπλευρη έδρα και δεν έχουν άλλα κοινά σημεία. Στις πυραμίδες είναι εγγεγραμμένες σφαίρες ακτίνα . Μια τρίτη σφαίρα ακτίνας εφάπτεται εξωτερικά και των δυο πυραμίδων καθώς και των εγγεγραμμένων σφαιρών τους. Να βρείτε την επίπεδη γωνία στην κορυφή των πυραμίδων, αν .
Πηγή
Θέματα 10 και 11ης τάξης, 2020.
1. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος φυσικών αριθμών από το έως το που μπορούμε να βάψουμε με κυανό χρώμα έτσι, ώστε για οποιοδήποτε κυανό ο αριθμός να μην είναι κυανός;
2. Δίνονται οι αριθμοί . Να βρείτε την μέγιστη τιμή της παράστασης
.
3. Στη διαγώνιο παραλληλογράμμου δίνεται σημείο , που δεν ανήκει στην διαγώνιο . Στην ημιευθεία δίνεται σημείο , ώστε . Από το σημείο φέρουμε παράλληλη ευθεία προς την πλευρά , η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο . Επίσης από το σημείο φέρουμε ευθεία, παράλληλη προς την πλευρά , η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να βρείτε την γωνία .
4. Στο οκταδικό σύστημα δίνεται ο αριθμός , όπου το τριψήφιο κομμάτι επαναλαμβάνεται φορές. Ο οκταδικός αριθμός προκύπτει από τον με κάποια μετάθεση των ψηφίων του. Προέκυψε, η οκταδική αναπαράσταση του αριθμού να είναι ίση με . Για ποια αυτό είναι δυνατόν;
5. Στο σχολείο υπάρχουν μαθητές. Μια όμορφη μέρα μερικοί από αυτούς χαιρετήθηκαν μεταξύ τους με χειραψία, εξάλλου σε οποιαδήποτε τριάδα μαθητών τουλάχιστον δυο δεν χαιρετήθηκαν. Για ποιο μέγιστο μπορεί να προκύψει, ότι για οποιοδήποτε , που δεν υπερβαίνει το , θα βρεθεί μαθητής, που έχει χαιρετηθεί ακριβώς με μαθητές;
6. Δυο κανονικές τριγωνικές πυραμίδες έχουν κοινή παράπλευρη έδρα και δεν έχουν άλλα κοινά σημεία. Στις πυραμίδες είναι εγγεγραμμένες σφαίρες ακτίνα . Μια τρίτη σφαίρα ακτίνας εφάπτεται εξωτερικά και των δυο πυραμίδων καθώς και των εγγεγραμμένων σφαιρών τους. Να βρείτε την επίπεδη γωνία στην κορυφή των πυραμίδων, αν .
Πηγή
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Οκτ 09, 2022 7:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020
Έστω τα μέσα των τμημάτων αντίστοιχα.Επειδή θα είναι .Έτσι τα τρίγωνα είναι όμοια .Όμως από το παίρνουμε επίσης ότι οπότε συνευθειακά,.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 20, 2020 9:50 am
3. Στη διαγώνιο παραλληλογράμμου δίνεται σημείο , που δεν ανήκει στην διαγώνιο . Στην ημιευθεία δίνεται σημείο , ώστε . Από το σημείο φέρουμε παράλληλη ευθεία προς την πλευρά , η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο . Επίσης από το σημείο φέρουμε ευθεία, παράλληλη προς την πλευρά , η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να βρείτε την γωνία .
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020
Έστω το σύνολο των αριθμών που χρωματίστηκαν.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 20, 2020 9:50 amΜαθητική Ολυμπιάδα Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου Αγίας Πετρούπολης.
Θέματα 10 και 11ης τάξης, 2020.
1. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος φυσικών αριθμών από το έως το που μπορούμε να βάψουμε με κυανό χρώμα έτσι, ώστε για οποιοδήποτε κυανό ο αριθμός να μην είναι κυανός;
Ορίζω .
Η επιλογή των αριθμών έγινε έτσι ώστε .
Οπότε αν το πλήθος των στοιχείων του είναι
.
Η τιμή μπορεί να επιτευχθεί ως εξής:
Re: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020
Για το 2ο:
Από ανισότητα δυνάμεων:
Όμως
Επομένως:
Τελικά: , με την ισότητα να πιάνεται όταν όλοι είναι .
Από ανισότητα δυνάμεων:
Όμως
Επομένως:
Τελικά: , με την ισότητα να πιάνεται όταν όλοι είναι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες