Cyberspace Mathematical Competition 2020
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Cyberspace Mathematical Competition 2020
Φέτος διεξήχθει για πρώτη φορά ο διαγωνισμός Cyberspace Mathematical Competition. Ελλάδα και Κύπρος λάβαμε μέρος με πλήρεις ομάδες των 8 ατόμων εκ των οποίων τα 2 ήταν απαραίτητα κορίτσια.
Ο διαγωνισμός έλαβε μέρος τη Δευτέρα 13/7 και Τρίτη 14/7. Κάθε μέρα αποτελείτο από 4 προβλήματα το πρώτο εκ των οποίων ήταν «αισθητά ευκολότερο» από τα προβλήματα της ΙΜΟ ενώ τα άλλα τρία ήταν ανάλογου επιπέδου με αυτά της ΙΜΟ. Σύντομα θα έχουμε νέα για το πως τα πήγαν τα παιδιά. Παραθέτω τα προβλήματα:
Πρόβλημα 1. Θεωρούμε ένα τετράγωνο που χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα με τον συνήθη τρόπο. Η κύρια διαγώνιος του πίνακα είναι τα μοναδιαία τετράγωνα στην κύρια διαγώνιο του πίνακα από άνω αριστερά μέχρι κάτω δεξιά. Έχουμε απεριόριστη ποσότητα από πλακίδια της μορφής:
Τα πλακίδια μπορούν να περιστραφούν. Θέλουμε να τοποθετήσουμε τα πλακίδια στον πίνακα ώστε κάθε πλακίδιο να καλύπτει ακριβώς τρία μοναδιαία τετράγωνα ώστε να μην υπάρχει ζεύγος πλακιδίων που να επικαλύπτονται, κάθε μοναδιαίο τετράγωνο στην κύρια διαγώνιο του πίνακα να μην καλύπτεται από πλακίδιο και όλα τα άλλα μοναδιαία τετράγωνα του πίνακα να καλύπτονται ακριβώς από μία φορά. Για ποια είναι δυνατό να επιτευχθεί αυτό;
Πρόβλημα 2. Έστω . Να δειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο , το γινόμενο
έχει το πολύ πρώτους διαιρέτες που είναι διαφορετικοί ανά δύο.
Πρόβλημα 3. Έστω τρίγωνο τέτοιο ώστε και έστω μεταβλητό σημείο στο εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος . Έστω το σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ώστε και επιπλέον τα να βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα που ορίζει η . Έστω το έγκεντρο του τριγώνου και έστω το έγκεντρο του τριγώνου . Να δειχθεί ότι η ευθεία περνάει από ένα σταθερό σημείο, το οποίο είναι ανεξάρτητο του .
Πρόβλημα 4. Έστω περιττός θετικός ακέραιος . Κάποια τετράγωνα μιας σκακιέρας έχουν βαφτεί πράσινα. Δίνεται ότι ο βασιλιάς μπορεί να κινηθεί από οποιοδήποτε πράσινο τετράγωνο της σκακιέρας σε οποιοδήποτε άλλο πράσινο τετράγωνο της σκακιέρας. Να αποδειχθεί ότι μπορεί πάντα να το κάνει αυτό το πολύ σε κινήσεις. (Σε μία κίνηση, ο βασιλιάς μπορεί να μετακινηθεί από ένα τετράγωνο σε ένα άλλο αν και μόνο αν τα δύο τετράγωνα έχουν κοινή πλευρά ή κοινή κορυφή.)
Πρόβλημα 5. Σε έναν πίνακα είναι γραμμένοι θετικοί ακέραιοι. Κάθε ένα λεπτό ο Zuming σβήνει δύο από τους αριθμούς και τους αντικαθιστά από το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο ή το πηλίκο τους. Π.χ. αν ο Zuming σβήσει τους και , μπορεί να τους αντικαταστήσει με ένα από τους αριθμούς του συνόλου . Μετά από 2019 λεπτά μένει μόνο ένας αριθμός γραμμένος στον πίνακα, ο . Να αποδειχθεί ότι θα μπορούσε ο Zuming, ακολουθώντας τους ίδιους κανόνες και ξεκινώντας από τους ίδιους ακεραίους, να γράψει στο τέλος τον αριθμό .
Πρόβλημα 6. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι για τους οποίους η ακόλουθη πρόταση είναι αληθής: Αν το είναι ένα κυρτό -γωνο τέτοιο ώστε από τις πλευρές του έχουν όλες το ίδιο μήκος και από τις γωνιές του είναι όλες ίσες μεταξύ τους, τότε το είναι ένα κανονικό πολύγωνο.
Πρόβλημα 7. Κάθε ένα από τα κελιά ενός πλέγματος χρωματίζεται είτε μαύρο είτε άσπρο. Έστω το πλήθος των άσπρων κελιών στην οριζόντια σειρά και το πλήθος των μαύρων κελιών στην κάθετη στήλη . Να υπολογιστεί η μέγιστη δυνατή τιμή του που μπορεί να προκύψει.
Πρόβλημα 8. Έστω μια άπειρη ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε θετικό ακέραιο να έχουμε
Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία είναι σταθερή.
Ο διαγωνισμός έλαβε μέρος τη Δευτέρα 13/7 και Τρίτη 14/7. Κάθε μέρα αποτελείτο από 4 προβλήματα το πρώτο εκ των οποίων ήταν «αισθητά ευκολότερο» από τα προβλήματα της ΙΜΟ ενώ τα άλλα τρία ήταν ανάλογου επιπέδου με αυτά της ΙΜΟ. Σύντομα θα έχουμε νέα για το πως τα πήγαν τα παιδιά. Παραθέτω τα προβλήματα:
Πρόβλημα 1. Θεωρούμε ένα τετράγωνο που χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα με τον συνήθη τρόπο. Η κύρια διαγώνιος του πίνακα είναι τα μοναδιαία τετράγωνα στην κύρια διαγώνιο του πίνακα από άνω αριστερά μέχρι κάτω δεξιά. Έχουμε απεριόριστη ποσότητα από πλακίδια της μορφής:
Τα πλακίδια μπορούν να περιστραφούν. Θέλουμε να τοποθετήσουμε τα πλακίδια στον πίνακα ώστε κάθε πλακίδιο να καλύπτει ακριβώς τρία μοναδιαία τετράγωνα ώστε να μην υπάρχει ζεύγος πλακιδίων που να επικαλύπτονται, κάθε μοναδιαίο τετράγωνο στην κύρια διαγώνιο του πίνακα να μην καλύπτεται από πλακίδιο και όλα τα άλλα μοναδιαία τετράγωνα του πίνακα να καλύπτονται ακριβώς από μία φορά. Για ποια είναι δυνατό να επιτευχθεί αυτό;
Πρόβλημα 2. Έστω . Να δειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο , το γινόμενο
έχει το πολύ πρώτους διαιρέτες που είναι διαφορετικοί ανά δύο.
Πρόβλημα 3. Έστω τρίγωνο τέτοιο ώστε και έστω μεταβλητό σημείο στο εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος . Έστω το σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ώστε και επιπλέον τα να βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα που ορίζει η . Έστω το έγκεντρο του τριγώνου και έστω το έγκεντρο του τριγώνου . Να δειχθεί ότι η ευθεία περνάει από ένα σταθερό σημείο, το οποίο είναι ανεξάρτητο του .
Πρόβλημα 4. Έστω περιττός θετικός ακέραιος . Κάποια τετράγωνα μιας σκακιέρας έχουν βαφτεί πράσινα. Δίνεται ότι ο βασιλιάς μπορεί να κινηθεί από οποιοδήποτε πράσινο τετράγωνο της σκακιέρας σε οποιοδήποτε άλλο πράσινο τετράγωνο της σκακιέρας. Να αποδειχθεί ότι μπορεί πάντα να το κάνει αυτό το πολύ σε κινήσεις. (Σε μία κίνηση, ο βασιλιάς μπορεί να μετακινηθεί από ένα τετράγωνο σε ένα άλλο αν και μόνο αν τα δύο τετράγωνα έχουν κοινή πλευρά ή κοινή κορυφή.)
Πρόβλημα 5. Σε έναν πίνακα είναι γραμμένοι θετικοί ακέραιοι. Κάθε ένα λεπτό ο Zuming σβήνει δύο από τους αριθμούς και τους αντικαθιστά από το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο ή το πηλίκο τους. Π.χ. αν ο Zuming σβήσει τους και , μπορεί να τους αντικαταστήσει με ένα από τους αριθμούς του συνόλου . Μετά από 2019 λεπτά μένει μόνο ένας αριθμός γραμμένος στον πίνακα, ο . Να αποδειχθεί ότι θα μπορούσε ο Zuming, ακολουθώντας τους ίδιους κανόνες και ξεκινώντας από τους ίδιους ακεραίους, να γράψει στο τέλος τον αριθμό .
Πρόβλημα 6. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι για τους οποίους η ακόλουθη πρόταση είναι αληθής: Αν το είναι ένα κυρτό -γωνο τέτοιο ώστε από τις πλευρές του έχουν όλες το ίδιο μήκος και από τις γωνιές του είναι όλες ίσες μεταξύ τους, τότε το είναι ένα κανονικό πολύγωνο.
Πρόβλημα 7. Κάθε ένα από τα κελιά ενός πλέγματος χρωματίζεται είτε μαύρο είτε άσπρο. Έστω το πλήθος των άσπρων κελιών στην οριζόντια σειρά και το πλήθος των μαύρων κελιών στην κάθετη στήλη . Να υπολογιστεί η μέγιστη δυνατή τιμή του που μπορεί να προκύψει.
Πρόβλημα 8. Έστω μια άπειρη ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε θετικό ακέραιο να έχουμε
Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία είναι σταθερή.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Cyberspace Mathematical Competition 2020
Επαναφέρω το θέμα για να δώσω τη λύση μου στο Πρόβλημα 3.
Ας θεωρήσουμε ότι η ευθεία τέμνει την προέκταση της πλευράς σε σημείο . Θα δείξουμε ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά.
Ισχύει
Αρχικά παρατηρούμε πως τα τρίγωνα και είναι όμοια, διότι
και (ως εγγεγραμμένες στο τόξο ) άρα .
Επομένως και Από τις σχέσεις και συμπεραίνουμε ότι και τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Ας θεωρήσουμε μία σπειροειδή ομοιότητα (σύνθεση στροφής και ομοιοθεσίας) που στέλνει το τρίγωνο στο τρίγωνο
Ο μετασχηματισμός αυτός, θα στείλει το τρίγωνο στο τρίγωνο . Επομένως
Συνεπώς τα τρίγωνα και είναι όμοια, άρα
Από τη σχέση προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Επομένως
Η σχέση δίνει ότι και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα
Συμπεραίνουμε, λοιπόν ότι
Το ζητούμενο έπεται.
Ας θεωρήσουμε ότι η ευθεία τέμνει την προέκταση της πλευράς σε σημείο . Θα δείξουμε ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά.
Ισχύει
Αρχικά παρατηρούμε πως τα τρίγωνα και είναι όμοια, διότι
και (ως εγγεγραμμένες στο τόξο ) άρα .
Επομένως και Από τις σχέσεις και συμπεραίνουμε ότι και τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Ας θεωρήσουμε μία σπειροειδή ομοιότητα (σύνθεση στροφής και ομοιοθεσίας) που στέλνει το τρίγωνο στο τρίγωνο
Ο μετασχηματισμός αυτός, θα στείλει το τρίγωνο στο τρίγωνο . Επομένως
Συνεπώς τα τρίγωνα και είναι όμοια, άρα
Από τη σχέση προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Επομένως
Η σχέση δίνει ότι και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα
Συμπεραίνουμε, λοιπόν ότι
Το ζητούμενο έπεται.
Ματθαίος Κουκλέρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: MSN [Bot] και 15 επισκέπτες