Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020-21
Θέματα της 1ης φάσης για την 6η τάξη


1. Μια πόλη έχει την μορφή ενός τετραγωνισμένου σχήματος. Οι γραμμές είναι οι δρόμοι και τα τετράγωνα είναι τα οικοδομικά τετράγωνα. Ο Κώστας και η Όλγα ξεκίνησαν από την διασταύρωση προς την ίδια διεύθυνση και στην συνέχεια ο καθένας τους σε κάθε διασταύρωση είτε έστριβε (δεξιά ή αριστερά), είτε προχωρούσε ευθεία μπροστά. Ο Κώστας έστριψε φορές αριστερά, φορές δεξιά και φορές προχώρησε ευθεία. Η Όλγα έστριψε φορές δεξιά, φορές αριστερά και φορές προχώρησε ευθεία. Θα μπορούσαν άραγε, ως αποτέλεσμα της κίνησής τους και οι δυο τους να βρεθούν στην ίδια διασταύρωση ;


2. Σε ένα μοναστήρι κάθε μοναχός είναι είτε εξομολογούμενος, είτε εξομολόγος. Στη συζήτηση με εξομολογούμενο κάθε άτομο λέει πάντα την αλήθεια και στη συζήτηση με τον εξομολόγο, ψεύδεται. Ακριβώς έναν από τους μοναχούς τον λένε Ψευτούλη. Μια φορά ο μοναχός είπε στον μοναχό : «Εν τέλη ο Ψευτούλης είναι εξομολογούμενος». Ύστερα ο μοναχός είπε στον : “Ο Ψευτούλης είναι εξομολόγος». Στο τέλος ο είπε στον μοναχό : «Ο Ψευτούλης είμαι εγώ!!». Μπορεί άραγε ο μοναχός να είναι εξομολογούμενος;


3. Ένα τετράγωνο διαστάσεων είναι κομμένο σε σχήματα της μορφής

Screen Shot 2020-12-22 at 22.49.14.png (3.39 KiB) Προβλήθηκε 964 φορές

(τα σχήματα μπορεί να έχουν περιστραφεί και αναποδογυριστεί). Για κάθε γραμμή κελιών (οριζόντια ή κάθετη) σημειώθηκε: κελιά πόσων σχημάτων αυτή περιέχει. Το άθροισμα αυτών τον διακοσίων αριθμών προέκυψε ίσο με . Πόσα μεταξύ των σχημάτων είναι τετράγωνα; Μη ξεχάσετε να δικαιολογήσετε την απάντηση. (Για παράδειγμα στο σχήμα φαίνονται οι σημειωμένοι αριθμοί των γραμμών για ένα ορθογώνιο .)

Screen Shot 2020-12-22 at 22.48.07.png (7.68 KiB) Προβλήθηκε 964 φορές

4. Από τους φυσικούς αριθμούς και διαλέξαμε από έναν διαιρέτη τους. Το άθροισμά των διαιρετών προέκυψε ίσο με . Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο αριθμός ;


Πηγή

[Joaakim]

4. Από τους φυσικούς αριθμούς και διαλέξαμε από έναν διαιρέτη τους. Το άθροισμά των διαιρετών προέκυψε ίσο με . Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο αριθμός ;


Πηγή

Έστω ο διαιρέτης του και ο διαιρέτης του .
Τότε και . Προσθέτοντάς τες κατά μέλη λαμβάνουμε που δίνει που δίνει
που δίνει . Επομένως .
Χάνω κάτι?

[Al.Koutsouridis]

Έστω ο διαιρέτης του και ο διαιρέτης του .
Τότε και . Προσθέτοντάς τες κατά μέλη λαμβάνουμε που δίνει που δίνει
που δίνει . Επομένως .
Χάνω κάτι?

Αν , τότε . Εξέτασε τους διαιρέτες του , δίνει κάποιος ως άθροισμα μαζί με τους διαιρέτες του τον αριθμό ; Αν όχι, τότε ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι ο ελάχιστος που επαληθεύει το πρόβλημά μας.

[Joaakim]

Έστω ο διαιρέτης του και ο διαιρέτης του .
Τότε και . Προσθέτοντάς τες κατά μέλη λαμβάνουμε που δίνει που δίνει
που δίνει . Επομένως .
Χάνω κάτι?

Αν , τότε . Εξέτασε τους διαιρέτες του , δίνει κάποιος ως άθροισμα μαζί με τους διαιρέτες του τον αριθμό ; Αν όχι, τότε ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι ο ελάχιστος που επαληθεύει το πρόβλημά μας.

Ακριβώς, απλά επειδή είδα ότι δεν επαληθεύει απόρησα τι λάθος έχει η λύση μου. Παρατήρησα μόλις το λάθος μου. Είναι όντως , απλά δεν επαληθεύει απαραίτητα η ελάχιστη τιμή του που επαληθεύει την ανίσωση. Θα προσπαθήσω να ανεβάσω ολόκληρη τη λύση αργότερα, απλά τώρα δεν μπορώ.

[Mihalis_Lambrou]

Αν , τότε . Εξέτασε τους διαιρέτες του , δίνει κάποιος ως άθροισμα μαζί με τους διαιρέτες του τον αριθμό ; Αν όχι, τότε ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι ο ελάχιστος που επαληθεύει το πρόβλημά μας.

Ακριβώς, απλά επειδή είδα ότι δεν επαληθεύει απόρησα τι λάθος έχει η λύση μου. Παρατήρησα μόλις το λάθος μου. Είναι όντως , απλά δεν επαληθεύει απαραίτητα η ελάχιστη τιμή του που επαληθεύει την ανίσωση. Θα προσπαθήσω να ανεβάσω ολόκληρη τη λύση αργότερα, απλά τώρα δεν μπορώ.

Ωραία άσκηση.

Επειδή είσαι στο σωστό μονομάτι, και αφού είδες ότι αποτυγχάνουν οι ίδιοι οι διαιρέτες των και , αντίστοιχα, δοκίμασε όταν ο ένας από τους δύο διαιρέτες είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης του εκτός από τον εαυτό του (δηλαδή πάρε το δεύτερο μεγαλύτερο διαιρέτη του).

[Mihalis_Lambrou]

Επειδή είσαι στο σωστό μονομάτι, και αφού είδες ότι αποτυγχάνουν οι ίδιοι οι διαιρέτες των και , αντίστοιχα, δοκίμασε όταν ο ένας από τους δύο διαιρέτες είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης του εκτός από τον εαυτό του (δηλαδή πάρε το δεύτερο μεγαλύτερο διαιρέτη του).

Εννοείται ότι η άσκηση είναι ανοικτή σε όλους. Παροτρύνω ιδίως τους μαθητές μας να την κοιτάξουν.

[Joaakim]

Αν , τότε . Εξέτασε τους διαιρέτες του , δίνει κάποιος ως άθροισμα μαζί με τους διαιρέτες του τον αριθμό ; Αν όχι, τότε ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι ο ελάχιστος που επαληθεύει το πρόβλημά μας.

Ακριβώς, απλά επειδή είδα ότι δεν επαληθεύει απόρησα τι λάθος έχει η λύση μου. Παρατήρησα μόλις το λάθος μου. Είναι όντως , απλά δεν επαληθεύει απαραίτητα η ελάχιστη τιμή του που επαληθεύει την ανίσωση. Θα προσπαθήσω να ανεβάσω ολόκληρη τη λύση αργότερα, απλά τώρα δεν μπορώ.

Ωραία άσκηση.

Επειδή είσαι στο σωστό μονομάτι, και αφού είδες ότι αποτυγχάνουν οι ίδιοι οι διαιρέτες των και , αντίστοιχα, δοκίμασε όταν ο ένας από τους δύο διαιρέτες είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης του εκτός από τον εαυτό του (δηλαδή πάρε το δεύτερο μεγαλύτερο διαιρέτη του).

Με επιφύλαξη (συνεχίζω από εκεί που τελείωσα):
Θα δούμε τώρα την περίπτωση που ο ένας διαιρέτης είναι ο μεγαλύτερος δυνατός και ο άλλος ο δεύτερος μεγαλύτερος. Τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι:
και , με:
που δίνει που δίνει
που δίνει που δίνει
. Πράγματι για θα έχουμε τους διαιρέτες και με άθροισμα
.

[Manolis Petrakis]

4. Από τους φυσικούς αριθμούς και διαλέξαμε από έναν διαιρέτη τους. Το άθροισμά των διαιρετών προέκυψε ίσο με . Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο αριθμός ;

Αν τότε παίρνουμε ως διαιρέτη του τον και ως διαιρέτη του τον
Τότε
Αν τότε θεωρούμε τους διαιρέτες και των αντίστοιχα.
Αν τότε αδύνατο
όπου και τουλάχιστον ένας εκ των δύο είναι διαφορετικός του

Έτσι

[Mihalis_Lambrou]

Ιωακείμ και Μανώλης από