Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζευγάρια των πρώτων αριθμών για τα οποία ισχύει η εξίσωση
Πρόβλημα 2: Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και . Αν είναι οι αριθμοί
να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή της διαφοράς .
Πρόβλημα 3: Δίνεται παραλληλόγραμμο και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του. Οι παράλληλες ευθείες από τα σημεία και προς τις και αντίστοιχα τέμνονται στο σημείο . Η ευθεία τέμνει τις και στα σημεία και αντίστοιχα. Αν το σημείο τομής των ευθειών και να αποδείξετε:
(α) Η ευθεία περνά από το μέσο του
(β)
Πρόβλημα 4: Δύο παιδιά, ο Νικόλας και ο Γιώργος παίζουν μερικές φορές ένα παιχνίδι στο οποίο ο νικητής συγκεντρώνει πόντους και ο χαμένος πόντους, όπου είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί με . Υποθέτουμε ότι σε κάθε παιχνίδι ένα από τα παιδιά είναι ο νικητής και ο άλλος ο χαμένος.
Αφού έπαιξαν ορισμένα παιχνίδια, ο Νικόλας συγκέντρωσε συνολικά πόντους και ο Γιώργος συγκέντρωσε συνολικά πόντους. Αν ξέρουμε ότι ο Γιώργος κέρδισε παιχνίδια, να βρείτε τα και .
Πρόβλημα 2: Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και . Αν είναι οι αριθμοί
να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή της διαφοράς .
Πρόβλημα 3: Δίνεται παραλληλόγραμμο και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του. Οι παράλληλες ευθείες από τα σημεία και προς τις και αντίστοιχα τέμνονται στο σημείο . Η ευθεία τέμνει τις και στα σημεία και αντίστοιχα. Αν το σημείο τομής των ευθειών και να αποδείξετε:
(α) Η ευθεία περνά από το μέσο του
(β)
Πρόβλημα 4: Δύο παιδιά, ο Νικόλας και ο Γιώργος παίζουν μερικές φορές ένα παιχνίδι στο οποίο ο νικητής συγκεντρώνει πόντους και ο χαμένος πόντους, όπου είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί με . Υποθέτουμε ότι σε κάθε παιχνίδι ένα από τα παιδιά είναι ο νικητής και ο άλλος ο χαμένος.
Αφού έπαιξαν ορισμένα παιχνίδια, ο Νικόλας συγκέντρωσε συνολικά πόντους και ο Γιώργος συγκέντρωσε συνολικά πόντους. Αν ξέρουμε ότι ο Γιώργος κέρδισε παιχνίδια, να βρείτε τα και .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Πρόβλημα 1:
Αν διάφορη του 2 τότε άρτιος=περιττός.
Άρα η:
Αν έχουμε: που σημαίνει τα δέχτη
Αν τοτε: που σημαίνει που δεν είναι δέχτη
Άρα
Αν διάφορη του 2 τότε άρτιος=περιττός.
Άρα η:
Αν έχουμε: που σημαίνει τα δέχτη
Αν τοτε: που σημαίνει που δεν είναι δέχτη
Άρα
-
- Δημοσιεύσεις: 203
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Έστω το πλήθος των νικών του Νικόλα τότε:
Με πρόσθεση έχουμε
Με αφερεση έχουμε
Και εστί έχουμε
Αλλά αλλιώς θα πρέπει
Άρα .
Με πρόσθεση έχουμε
Με αφερεση έχουμε
Και εστί έχουμε
Αλλά αλλιώς θα πρέπει
Άρα .
τελευταία επεξεργασία από 2nisic σε Κυρ Μαρ 14, 2021 7:53 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Και η τιμή είναι όντως εφικτή με .Άρα η ελάχιστη τιμή είναι το 12
Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Η συνέχεια σχεδόν προφανής ...
Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Το Πρόβλημα 2 είναι και η άσκηση 3.60 στην σελίδα 138 του βιβλίου <<Αλγεβρικές Ανισότητες>> του κυρίου Μπάμπη Στεργίου σε παραπλήσια μορφή.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες