Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (11η τάξη, 1η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
28 Μαρτίου 2021 $\bullet$ 11η τάξη, 1η μέρα

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας φυσικός αριθμός. Αν σβήσουμε το τελευταίο του ψηφίο (των μονάδων), τότε προκύπτει μη μηδενικός αριθμός, ο οποίος διαιρείται με το

, και αν το πρώτο τότε με το

. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα αν το δεύτερο ψηφίο του δεν είναι ίσο με

;

Πρόβλημα 2. Υπάρχει άραγε συνάρτηση

, ορισμένη στο διάστημα [-1,1]

η οποία για όλους τους πραγματικούς αριθμούς

ικανοποιεί την ισότητα

$2f \left ( \cos x \right)= f\left ( \sin x\right) + \sin x$ ;

Πρόβλημα 3. Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

του τριγώνου ABC

. Ο κύκλος $\omega$ διέρχεται από το σημείο

, εφάπτεται της ευθείας

στο σημείο

και τέμνει τις πλευρές

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Τα σημεία

και

είναι τα μέσα των τμημάτων

και

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου MXY

εφάπτεται του κύκλου $\omega$ .

Πρόβλημα 4. Σε μια χώρα υπάρχουν 100

πόλεις, οι οποίες είναι συνδεδεμένες με τέτοιο οδικό δίκτυο, ώστε από οποιαδήποτε πόλη σε οποιαδήποτε άλλη μπορεί κάποιος να μεταβεί μόνο με ένα τρόπο χωρίς αναστροφές. Το σχέδιο του οδικού δικτύου είναι γνωστό, οι διακλαδώσεις και οι διασταυρώσεις του δικτύου δεν είναι απαραίτητο να είναι πόλεις, οποιαδήποτε διακλάδωση που είναι τερματική καταλήγει σε πόλη. Μια συσκευή πλοήγησης μπορεί να μετρήσει το μήκος της διαδρομής αυτού του δικτύου μεταξύ οποιονδήποτε δυο πόλεων. Μπορούμε άραγε με 100

τέτοιες μετρήσεις εγγυημένα να προσδιορίσουμε το μήκος όλου του οδικού δικτύου;

Πρόβλημα 5. Πολύεδρο με κορυφές τα μέσα των ακμών ενός κύβου το ονομάζουμε κυβοοκτάεδρο. Στην τομή κυβοοκταέδρου με επίπεδο προέκυψε ένα κανονικό πολύγωνο. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός πλευρών που μπορεί να έχει;

Πρόβλημα 6. Άνω ακέραιο μέρος ενός αριθμού

ονομάζεται ο μικρότερος ακέραιος αριθμός, μεγαλύτερος ή ίσος του

. Υπάρχει άραγε τέτοιος αριθμός

, ώστε για οποιοδήποτε μη μηδενικό φυσικό αριθμό

η απόσταση από το άνω ακέραιο μέρος του $A^{n}$ μέχρι το πλησιέστερο τετράγωνο μη μηδενικού φυσικού αριθμού πάντα να είναι ίση με

;

Πηγή: Επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας

Joaakim · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Κυρ Μαρ 28, 2021 10:58 pm LXXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
28 Μαρτίου 2021 $\bullet$ 11η τάξη, 1η μέρα

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας φυσικός αριθμός. Αν σβήσουμε το τελευταίο του ψηφίο (των μονάδων), τότε προκύπτει μη μηδενικός αριθμός, ο οποίος διαιρείται με το , και αν το πρώτο τότε με το . Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα αν το δεύτερο ψηφίο του δεν είναι ίσο με ;

Έστω $x= \overline {a_{n} a_{n-1} ... a_{1} a_{0}}$ ένας φυσικός αριθμός με τις παραπάνω ιδιότητες, γραμμένος στην γενικότερή του μορφή.
Αν n=1

, τότε έχουμε προφανώς άτοπο.
Υποθέτουμε τώρα ότι $n \ge 2$ .
Έχουμε ότι
- $20| \overline {a_{n-1} ... a_{1} a_{0}}$ (1)

- $21|\overline {a_{n} a_{n-1} ... a_{1}}$ (2)

Από την

παίρνουμε ότι $10|a_{0} \Rightarrow a_{0}=0$ .
Επίσης από την (1)

παίρνουμε ότι $20|x-10^{n} a_{n}$ , και λόγω του ότι $n \ge 2$ , έπεται ότι 20|x

.

Από την

παίρνουμε ότι $21|x- a_{0} =x \Rightarrow 21|x$ . (4)

Με πολλαπλασιασμό των (3)

και

παίρνουμε ότι $420|x \Rightarrow x \ge 420$ .
Βλέπουμε ότι ο αριθμός 420

ικανοποιεί το πρόβλημά μας, οπότε $x_{min.}=420$ .

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: Κυρ Μαρ 28, 2021 10:58 pm
Πρόβλημα 2. Υπάρχει άραγε συνάρτηση , ορισμένη στο διάστημα η οποία για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ικανοποιεί την ισότητα

$2f \left ( \cos x \right)= f\left ( \sin x\right) + \sin x$ ;

Όχι!

Θέτοντας στη δοθείσα $\displaystyle{x\to \frac{\pi}{2}-x}$ προκύπτει $\displaystyle{2f(\sin x)=f(\cos x)+\cos x}$ .

Από αυτές τις σχέσεις λαμβάνουμε

$\displaystyle{f(\cos x)=\frac{2\sin x+\cos x}{3}.}$

Σε αυτήν θέτουμε $\displaystyle{x\to -x}$ , οπότε έχουμε $\displaystyle{f(\cos x)=\frac{-2\sin x+\cos x}{3}.}$

Οι σχέσεις αυτές μάς λένε ότι

$\displaystyle{2\sin x+\cos x=-2\sin x+\cos x}$ για κάθε $\displaystyle{x}$ , φανερά αδύνατο.

#4

Joaakim έγραψε: Δευ Μαρ 29, 2021 12:45 am
Al.Koutsouridis έγραψε: Κυρ Μαρ 28, 2021 10:58 pm LXXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
28 Μαρτίου 2021 $\bullet$ 11η τάξη, 1η μέρα

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας φυσικός αριθμός. Αν σβήσουμε το τελευταίο του ψηφίο (των μονάδων), τότε προκύπτει μη μηδενικός αριθμός, ο οποίος διαιρείται με το , και αν το πρώτο τότε με το . Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα αν το δεύτερο ψηφίο του δεν είναι ίσο με ;

Έστω $x= \overline {a_{n} a_{n-1} ... a_{1} a_{0}}$ ένας φυσικός αριθμός με τις παραπάνω ιδιότητες, γραμμένος στην γενικότερή του μορφή.
Αν , τότε έχουμε προφανώς άτοπο.
Υποθέτουμε τώρα ότι $n \ge 2$ .
Έχουμε ότι
- $20| \overline {a_{n-1} ... a_{1} a_{0}}$
- $21|\overline {a_{n} a_{n-1} ... a_{1}}$
Από την παίρνουμε ότι $10|a_{0} \Rightarrow a_{0}=0$ .
Επίσης από την παίρνουμε ότι $20|x-10^{n} a_{n}$ , και λόγω του ότι $n \ge 2$ , έπεται ότι .
Από την παίρνουμε ότι $21|x- a_{0} =x \Rightarrow 21|x$ .
Με πολλαπλασιασμό των και παίρνουμε ότι $420|x \Rightarrow x \ge 420$ .
Βλέπουμε ότι ο αριθμός ικανοποιεί το πρόβλημά μας, οπότε $x_{min.}=420$ .

Νομίζω έχεις μπερδέψει το πρώτο με το τελευταίο ψηφίο. Με παρόμοιο σκεπτικό βγάζω 1609

για την τελική απάντηση.

S.E.Louridas · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: Κυρ Μαρ 28, 2021 10:58 pm LXXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
28 Μαρτίου 2021 $\bullet$ 11η τάξη, 1η μέρα
.......
Πρόβλημα 3. Το σημείο είναι το μέσο της πλευράς του τριγώνου . Ο κύκλος $\omega$ διέρχεται από το σημείο , εφάπτεται της ευθείας στο σημείο και τέμνει τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα. Τα σημεία και είναι τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του κύκλου $\omega$ .
...
[Πηγή: Επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας

Μία λύση:
Παρατηρούμε ότι:
$\displaystyle{BD \cdot BA = B{M^2} = C{M^2} = CE \cdot CA \Rightarrow \frac{{BD}}{2}BA = \frac{{CE}}{2} \cdot CA \Rightarrow }$ $\displaystyle{MY \cdot BA = MX \cdot CA \Rightarrow \frac{{MX}}{{MY}} = \frac{{BA}}{{CA}} \Rightarrow \,\vartriangle MXY \sim \vartriangle ABC,}$ οπότε προκύπτει $\displaystyle{\angle MXY = \angle B\mathop = \limits^{BA\parallel MY} \angle CMY.}$

Έτσι έχουμε καθαρά πλέον ότι ο κύκλος (MXY)

εφάπτεται της ευθείας

στο σημείο της

άρα και του κύκλου

στο ίδιο σημείο.

: qw.png (66.03 KiB) Προβλήθηκε 1014 φορές

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (11η τάξη, 1η μέρα)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (11η τάξη, 1η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση