EGMO 2021
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
EGMO 2021
Από σήμερα ξεκινάει η EGMO 2021 με διοργανώτρια χώρα την Γεωργία. Όπως ανέφερα πρόσφατα η Ελλάδα είναι η μοναδική χώρα που δεν έστειλε εθνική ομάδα παρά τις φιλότιμες προσπάθειες της Ε.Μ.Ε. Θα ήθελα να ευχηθώ ολόψυχα καλή επιτυχία στις μαθήτριες της Κύπρου καθώς και στον δικό μας Δημήτρη Χριστοφίδη (Demetres) που θα είναι ο Leader της αποστολής! Όταν θα επιτραπεί από την επιτροπή αναμένουμε εδώ τα θέματα για να τα δούμε και οι υπόλοιποι
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2021
Καλησπέρα,
Σήμερα είχαμε την πρώτη ημέρα του διαγωνισμού. Όσο για τα θέματα πρέπει να κάνετε λίγη υπομονή μιας και μπορούμε να τα αναρτήσουμε από την Τρίτη το απόγευμα ( η ώρα 15:00) και μετά.
Σήμερα είχαμε την πρώτη ημέρα του διαγωνισμού. Όσο για τα θέματα πρέπει να κάνετε λίγη υπομονή μιας και μπορούμε να τα αναρτήσουμε από την Τρίτη το απόγευμα ( η ώρα 15:00) και μετά.
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2021
Τα θέματα του διαγωνισμού:
Πρόβλημα 1
Ο αριθμός είναι φανταστυπέροχος. Αν για κάποιον θετικό ακέραιο , οποιοδήποτε από τα στοιχεία του συνόλου είναι φανταστυπέροχο, τότε είναι όλα φανταστυπέροχα. Είναι ο αριθμός απαραίτητα φανταστυπέροχος;
Πρόβλημα 2
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις , τέτοιες ώστε να ισχύει η εξίσωση
για όλους τους ρητούς αριθμούς και .
Εδώ, το συμβολίζει το σύνολο των ρητών αριθμών.
Πρόβλημα 3
Έστω τρίγωνο με τη γωνία να είναι αμβλεία. Έστω και οι τομές της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας , με τα ύψη του τριγώνου από τις κορυφές και αντίστοιχα. Έστω και τα σημεία στα ευθύγραμμα τμήματα και αντίστοιχα, τέτοια ώστε και . Να αποδείξετε ότι τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά, δηλαδή ανήκουν πάνω στον ίδιο κύκλο.
Πρόβλημα 4
Έστω τρίγωνο με έγκεντρο και έστω ένα αυθαίρετο σημείο στην πλευρά . Η κάθετη ευθεία από το σημείο στην ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Η κάθετη ευθεία από το σημείο
στην ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία βρίσκεται πάνω στην ευθεία .
Πρόβλημα 5
Σε ένα επίπεδο υπάρχει ειδικό σημείο το οποίο ονομάζουμε αρχή των αξόνων. Έστω ένα σύνολο από σημεία του επιπέδου, τέτοια ώστε
(i) δεν υπάρχουν τρία σημεία του πάνω στην ίδια ευθεία
(ii) δεν υπάρχουν δύο σημεία του πάνω σε ευθεία η οποία περνά από την αρχή των αξόνων.
Ένα τρίγωνο με κορυφές στο σύνολο ονομάζεται χοντρό, αν το είναι αυστηρά μέσα στο τρίγωνο. Να βρείτε το μέγιστο δυνατό πλήθος των χοντρών τριγώνων.
Πρόβλημα 6
Υπάρχει μη αρνητικός ακέραιος αριθμός~, για τον οποίο η εξίσωση
έχει περισσότερα από ένα εκατομμύριο ζεύγη λύσεων , όπου οι και είναι θετικοί ακέραιοι;
Η παράσταση συμβολίζει το ακέραιο μέρους του πραγματικού αριθμού . Έτσι, ,, και .
Πρόβλημα 1
Ο αριθμός είναι φανταστυπέροχος. Αν για κάποιον θετικό ακέραιο , οποιοδήποτε από τα στοιχεία του συνόλου είναι φανταστυπέροχο, τότε είναι όλα φανταστυπέροχα. Είναι ο αριθμός απαραίτητα φανταστυπέροχος;
Πρόβλημα 2
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις , τέτοιες ώστε να ισχύει η εξίσωση
για όλους τους ρητούς αριθμούς και .
Εδώ, το συμβολίζει το σύνολο των ρητών αριθμών.
Πρόβλημα 3
Έστω τρίγωνο με τη γωνία να είναι αμβλεία. Έστω και οι τομές της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας , με τα ύψη του τριγώνου από τις κορυφές και αντίστοιχα. Έστω και τα σημεία στα ευθύγραμμα τμήματα και αντίστοιχα, τέτοια ώστε και . Να αποδείξετε ότι τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά, δηλαδή ανήκουν πάνω στον ίδιο κύκλο.
Πρόβλημα 4
Έστω τρίγωνο με έγκεντρο και έστω ένα αυθαίρετο σημείο στην πλευρά . Η κάθετη ευθεία από το σημείο στην ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Η κάθετη ευθεία από το σημείο
στην ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία βρίσκεται πάνω στην ευθεία .
Πρόβλημα 5
Σε ένα επίπεδο υπάρχει ειδικό σημείο το οποίο ονομάζουμε αρχή των αξόνων. Έστω ένα σύνολο από σημεία του επιπέδου, τέτοια ώστε
(i) δεν υπάρχουν τρία σημεία του πάνω στην ίδια ευθεία
(ii) δεν υπάρχουν δύο σημεία του πάνω σε ευθεία η οποία περνά από την αρχή των αξόνων.
Ένα τρίγωνο με κορυφές στο σύνολο ονομάζεται χοντρό, αν το είναι αυστηρά μέσα στο τρίγωνο. Να βρείτε το μέγιστο δυνατό πλήθος των χοντρών τριγώνων.
Πρόβλημα 6
Υπάρχει μη αρνητικός ακέραιος αριθμός~, για τον οποίο η εξίσωση
έχει περισσότερα από ένα εκατομμύριο ζεύγη λύσεων , όπου οι και είναι θετικοί ακέραιοι;
Η παράσταση συμβολίζει το ακέραιο μέρους του πραγματικού αριθμού . Έτσι, ,, και .
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2021
Για ευκολία στην πληκτρολόγηση γράφω αντί για φανταστυπέροχος απλά καλός.
Θα δείξουμε ότι κάθε φυσικός αριθμός είναι καλός. Επίσης μπορούμε να αντικαταστήσουμε το με οποιονδήποτε φυσικό .
Ισχυρισμός 1: O είναι καλός, αν και μόνο αν ο είναι καλός.
Απόδειξη: Γράφω για να δηλώσω ότι αν ο είναι καλός τότε είναι και ο , και τούμπαλιν.
Είναι, .
Ισχυρισμός 2: O είναι καλός, αν και μόνο αν ο είναι καλός.
Απόδειξη: Είναι,
Από τους Ισχυρισμούς 1 και 2, έχουμε ότι για κάθε καλό αριθμό, υπάρχει πάντα ένας μικρότερός του, άρα αφού ο είναι καλός, συμπεραίνουμε ότι και ο είναι καλός. Από τους Ισχυρισμούς 1 και 2 τώρα, προκύπτει ότι κάθε φυσικός είναι καλός, άρα η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2021
Έστω η δοσμένη σχέση.
Ισχυρισμός: Η είναι επί.
Απόδειξη: Έστω και το σύνολο τιμών της . Παρατηρούμε από την ότι αν , για κάθε φυσικό και ρητό.
Άρα, αν είναι , παρατηρούμε ότι , οπότε το .
Ισχυρισμός 2: .
Απόδειξη: Έστω , τέτοιο ώστε . Τότε η δίνει
Ισχυρισμός 3: .
Απόδειξη: Η δίνει , άρα συγκρίνοντας τις και έχουμε το ζητούμενο
Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι . Τότε, η δίνει , δηλαδή η είναι η ταυτοτική στο .
Επιπλέον, παίρνοντας διαδοχικά στην αρχική προκύπτει για κάθε ρητό και για κάθε φυσικό.
Σταθεροποιώντας τώρα το και παίρνοντας τέτοιο ώστε έχουμε ότι άρα για κάθε .
Όμοια εργαζόμαστε αν , οπότε προκύπτει η λύση .
Και οι δύο συναρτήσεις ικανοποιούν, άρα είναι και οι μοναδικές λύσεις.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2021
BashDemetres έγραψε: ↑Τρί Απρ 13, 2021 5:11 pmΠρόβλημα 3: Έστω τρίγωνο με τη γωνία να είναι αμβλεία. Έστω και οι τομές της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας , με τα ύψη του τριγώνου από τις κορυφές και αντίστοιχα. Έστω και τα σημεία στα ευθύγραμμα τμήματα και αντίστοιχα, τέτοια ώστε και . Να αποδείξετε ότι τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά, δηλαδή ανήκουν πάνω στον ίδιο κύκλο.
Είναι, και , άρα τα τρίγωνα είναι όμοια.
Συνεπώς, , οπότε , που δίνει (*).
Είναι, όμως,
, και όμοια
.
Άρα, , άρα από την (*), .
Τελικά, , άρα , που δίνει άμεσα ότι τα είναι ομοκυκλικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2021
Αποδεικνύουμε τον επόμενο Ισχυρισμό:Demetres έγραψε: ↑Τρί Απρ 13, 2021 5:11 pmΠρόβλημα 4: Έστω τρίγωνο με έγκεντρο και έστω ένα αυθαίρετο σημείο στην πλευρά . Η κάθετη ευθεία από το σημείο στην ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Η κάθετη ευθεία από το σημείο
στην ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείου ως προς την ευθεία βρίσκεται πάνω στην ευθεία .
Ισχυρισμός: Τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Απόδειξη: Αφού , αρκεί να δείξουμε ότι , το οποίο ισχύει, καθώς (είναι )
Άρα, από τον Ισχυρισμό,
,
άρα , όπου η τελευταία ισότητα ισχύει διότι το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου .
Άρα, , που δίνει ότι το είναι εγγράψιμο, άρα και όμοια
Έστω τώρα το σημείο όπου ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την (αν εφάπτεται τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές - δεν αλλάζει κάτι στην απόδειξη καθώς τότε το είναι το συμμετρικό του ως προς την ).
Τότε, είναι και όμοια , άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, συνεπώς το είναι το συμμετρικό του ως προς την .
Αφού , τελειώσαμε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2021
Η απάντηση είναι ναι.
Έστω ένας πολύ μεγάλος φυσικός, και η παράσταση του αριστερού μέλους.
Θεωρούμε τα ζεύγη τέτοια ώστε και , καθώς και τις πιθανές τιμές της παράστασης .
Ο στόχος είναι, εάν ο αριθμός αυτών των ζευγών και οι πιθανές τιμές της παράστασης, το να τείνει στο καθώς το μεγαλώνει. Τότε, θα έχουμε το ζητούμενο καθώς για κάποιο συγκεκριμένο μεγάλο από την αρχή του περιστερώνα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε η παράσταση να λαμβάνει την ίδια τιμή τουλάχιστον φορές.
Bound για το : Για κάθε , υπάρχουν τιμές του ώστε να ισχύει . Αφού όμως για κάθε , υπάρχουν τουλάχιστον τιμές, ή αθροίζοντας από το ως το , τουλάχιστον τιμές.
Αποδεικνύουμε τον επόμενο Ισχυρισμό:
Ισχυρισμός: για κάθε μεγάλο .
Απόδειξη: Επαγωγικά. Για ισχύει. Αν ισχύει για τότε για αρκεί , ή ότι , που για μεγάλα ισχύει .
(Motivation για τον Ισχυρισμό: Ψάχνουμε κάτω φράγμα για το άθροισμα. Κατά προτίμηση θα θέλαμε μια δύναμη του , ίσως μαζί με μια σταθερά, δηλαδή κάτι της μορφής . Το είναι πολύ χαλαρό και δεν κάνει την δουλειά πιο κάτω. Το σαν φράγμα είναι πολύ ισχυρό για να ισχύει, άρα πάμε στην ''μέση λύση'', δηλαδή , και στη συνέχεια προσθέτουμε και μια σταθερά για να ισχύει για μεγάλα η ανισότητα)
Οπότε, υπάρχουν σίγουρα τουλάχιστον ζεύγη για μεγάλα .
Bound για το : Έστω για κάθε . Αποδεικνύουμε το εξής:
Ισχυρισμός: για κάθε .
Απόδειξη: Επαγωγικά. Για ισχύει. Αν ισχύει για , τότε για αρκεί , δηλαδή ότι .
Έστω . Από το Θ.Μ.Τ στο υπάρχει ώστε . Όμως, είναι , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε .
Είναι λοιπόν,
, συνεπώς και , δηλαδή υπάρχουν το πολύ πιθανές τιμές.
Στο πρόβλημα, ο λόγος για μεγάλα είναι , και με DLH προκύπτει ότι το όριο ισούται με άρα έχουμε το ζητούμενο, καθώς για επαρκώς μεγάλο θα ισχύει ότι .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2021
Ας ονομάσουμε ένα τρίγωνο λεπτό όταν δεν είναι χοντρό.Demetres έγραψε: ↑Τρί Απρ 13, 2021 5:11 pmΠρόβλημα 5: Σε ένα επίπεδο υπάρχει ειδικό σημείο το οποίο ονομάζουμε αρχή των αξόνων. Έστω ένα σύνολο από σημεία του επιπέδου, τέτοια ώστε
(i) δεν υπάρχουν τρία σημεία του πάνω στην ίδια ευθεία
(ii) δεν υπάρχουν δύο σημεία του πάνω σε ευθεία η οποία περνά από την αρχή των αξόνων.
Ένα τρίγωνο με κορυφές στο σύνολο ονομάζεται χοντρό, αν το είναι αυστηρά μέσα στο τρίγωνο. Να βρείτε το μέγιστο δυνατό πλήθος των χοντρών τριγώνων.
Αρκεί να βρούμε το ελάχιστο πλήθος των λεπτών τριγώνων.
Έστω ένα τυχαίο σημείο. Η ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε 2 ημιεπίπεδα. Έστω πως το αριστερό ημιεπίπεδο εχει σημεία και το δεξί έχει σημεία .
Είναι προφανές, ότι αν δύο σημεία ανήκουν και τα δύο στο ή και τα δύο στο , το τρίγωνο είναι λεπτό.
Άρα, το πλήθος των λεπτών τριγώνων που έχουν ως κορυφή το είναι , και αφού η είναι κυρτή, έχουμε από Jensen .
Εργαζόμενοι όμοια για κάθε ένα από τα σημεία, έχουμε τουλάχιστον λεπτά τρίγωνα.
Όμως, κάθε λεπτό τρίγωνο έχει μετρηθεί 2 φορές. Πράγματι, αν το είναι λεπτό τρίγωνο με τα στο αριστερό ημιεπίπεδο της και το πιο αριστερά από το , τότε το θα προέκυπτε και αν εργαζόμασταν με κορυφή την , καθώς τότε τα ανήκουν στο δεξί ημιεπίπεδο της .
Άρα, ο αριθμός των λεπτών τριγώνων είναι , οπότε τα χοντρά τρίγωνα είναι το πολύ .
Μένει να κατασκευάσουμε ένα παράδειγμα που να δείχνει ότι είναι εφικτό να έχουμε ακριβώς χοντρά τρίγωνα.
Αυτό είναι απλό, παίρνοντας ένα κανονικό γωνο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: EGMO 2021
Έστω τα ύψη και το ορθόκεντρο του Γράφω τον περίκυκλο του που τέμνει τις σταDemetres έγραψε: ↑Τρί Απρ 13, 2021 5:11 pmΤα θέματα του διαγωνισμού:
Πρόβλημα 3
Έστω τρίγωνο με τη γωνία να είναι αμβλεία. Έστω και οι τομές της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας , με τα ύψη του τριγώνου από τις κορυφές και αντίστοιχα. Έστω και τα σημεία στα ευθύγραμμα τμήματα και αντίστοιχα, τέτοια ώστε και . Να αποδείξετε ότι τα σημεία , , , είναι ομοκυκλικά, δηλαδή ανήκουν πάνω στον ίδιο κύκλο.
αντίστοιχα. Θα δείξω ότι και που είναι ισοδύναμο με το αρχικό πρόβλημα. Τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ισογώνια. Άρα, O περίκυκλος του τέμνει την
στο οπότε άρα το είναι το ορθόκεντρο του οπότε
Αλλά από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα είναι:
που σημαίνει ότι και το είναι εγγράψιμο δηλαδή
Ομοίως αποδεικνύεται ότι και ολοκληρώνεται η απόδειξη.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2021
Πρόβλημα 4: Δίνω μια άλλη λύση που έκανε ο Ισραηλίτης αρχηγός:
Το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Επειδή το βρίσκεται στην , από το αντίστροφο του θεωρήματος Steiner, οι συμμετρικές ευθείες της ως προς τις συντρέχουν (σε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ). Οι συμμετρικές της ως προς τις και είναι η και η . Άρα η συμμετρική της ως προς την περνά από το . Δηλαδή το συμμετρικό του ως προς την ανήκει στην όπως θέλαμε να δείξουμε.
Το σημείο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Επειδή το βρίσκεται στην , από το αντίστροφο του θεωρήματος Steiner, οι συμμετρικές ευθείες της ως προς τις συντρέχουν (σε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ). Οι συμμετρικές της ως προς τις και είναι η και η . Άρα η συμμετρική της ως προς την περνά από το . Δηλαδή το συμμετρικό του ως προς την ανήκει στην όπως θέλαμε να δείξουμε.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: EGMO 2021
Άλλη μια λύση για το Πρόβλημα 5:
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα σημεία του βρίσκονται πάνω σε κύκλο, έστω ακτίνας . (Γιατί;) Για ορίζουμε ως το μήκος του τόξου που ξεκινάει από το και καταλήγει στο πηγαίνοντας αντιωρολογιακά. Ορίζουμε το να είναι ίσο με αν και ίσο με σε διαφορετική περίπτωση.
Παρατηρούμε ότι και για κάθε η ποσότητα είναι ίση με ή αναλόγως του αν το τρίγωνο είναι χοντρό ή λεπτό.
Έτσι έχουμε
Με τους δείκτες modulo , για κάθε , έχουμε ότι το εμφανίζεται φορές στο πιο πάνω άθροισμα και άρα το εμφανίζεται φορές. Προσθέτοντας αυτά τα δύο έχουμε .
Έτσι έχουμε
Αυτό ισχύει διότι στο πάμε φορές γύρω από τον κύκλο.
Άρα με ισότητα αν και μόνο αν για κάθε , δηλαδή η γωνία είναι σε αυτές τις περιπτώσεις πάντα μικρότερη του . Αυτό ισχύει π.χ. αν τα σημεία του αποτελούν κορυφές κανονικού πολυγώνου.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα σημεία του βρίσκονται πάνω σε κύκλο, έστω ακτίνας . (Γιατί;) Για ορίζουμε ως το μήκος του τόξου που ξεκινάει από το και καταλήγει στο πηγαίνοντας αντιωρολογιακά. Ορίζουμε το να είναι ίσο με αν και ίσο με σε διαφορετική περίπτωση.
Παρατηρούμε ότι και για κάθε η ποσότητα είναι ίση με ή αναλόγως του αν το τρίγωνο είναι χοντρό ή λεπτό.
Έτσι έχουμε
Με τους δείκτες modulo , για κάθε , έχουμε ότι το εμφανίζεται φορές στο πιο πάνω άθροισμα και άρα το εμφανίζεται φορές. Προσθέτοντας αυτά τα δύο έχουμε .
Έτσι έχουμε
Αυτό ισχύει διότι στο πάμε φορές γύρω από τον κύκλο.
Άρα με ισότητα αν και μόνο αν για κάθε , δηλαδή η γωνία είναι σε αυτές τις περιπτώσεις πάντα μικρότερη του . Αυτό ισχύει π.χ. αν τα σημεία του αποτελούν κορυφές κανονικού πολυγώνου.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: EGMO 2021
Από περιέργεια, ποια ήταν η δικαιολογία της μη "αποστολής" ελληνικής ομάδας; Να σημειώσουμε ότι το αποστολή είναι παραπλανητικό εδώ, καθώς η ολυμπιάδα έγινε εξ αποστάσεως.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Παρ Απρ 09, 2021 3:24 pmΌπως ανέφερα πρόσφατα η Ελλάδα είναι η μοναδική χώρα που δεν έστειλε εθνική ομάδα παρά τις φιλότιμες προσπάθειες της Ε.Μ.Ε.
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 17 επισκέπτες