Σύστημα

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 4770; Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm; Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Σύστημα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Μάιος 15, 2021 10:20 pm

Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x+y+z = 3}$

$\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 = 9}$

$\displaystyle{3y^2 + 4yz - 4x = -13}$

Λέξεις Κλειδιά:

Σύστημα

Joaakim: Δημοσιεύσεις: 120; Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Σύστημα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Σάβ Μάιος 15, 2021 11:01 pm

Με πρόσθεση κατά μέλη της δεύτερης και της τρίτης εξίσωσης του συστήματος παίρνουμε:
$(x^{2}-4x)+(4y^{2}+4yz+z^{2})=-4 \Rightarrow (x^{2}-4x+4)+(4y^{2}+4yz+z^{2})=0 \Rightarrow (x-2)^{2}+(2y+z)^{2}=0$ .
Όμως $LHS \geq 0$ , με το ίσον για x=2, z=-2y

.
Με αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι τώρα: $y+z=1 \Rightarrow -y=1 \Rightarrow y=-1 \Rightarrow z=-2 \cdot (-1)=2$ .
Τελικά $\boxed{(x,y,z)=(2,-1,2)}$ .

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες