Σύστημα

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4286
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Σύστημα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Μάιος 15, 2021 10:20 pm

Να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{x+y+z = 3}

\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 = 9}

\displaystyle{3y^2 + 4yz - 4x = -13}



Λέξεις Κλειδιά:
Joaakim
Δημοσιεύσεις: 97
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 22, 2020 4:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Σύστημα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Joaakim » Σάβ Μάιος 15, 2021 11:01 pm

Με πρόσθεση κατά μέλη της δεύτερης και της τρίτης εξίσωσης του συστήματος παίρνουμε:
(x^{2}-4x)+(4y^{2}+4yz+z^{2})=-4 \Rightarrow (x^{2}-4x+4)+(4y^{2}+4yz+z^{2})=0 \Rightarrow (x-2)^{2}+(2y+z)^{2}=0.
Όμως LHS \geq 0, με το ίσον για x=2, z=-2y.
Με αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι τώρα: y+z=1 \Rightarrow -y=1 \Rightarrow y=-1 \Rightarrow z=-2 \cdot (-1)=2.
Τελικά \boxed{(x,y,z)=(2,-1,2)}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Joaakim, Philip.kal και 2 επισκέπτες